初中人教版24.2.2 直线和圆的位置关系练习题

这是一份初中人教版24.2.2 直线和圆的位置关系练习题，文件包含九年级数学上册第12讲点和圆直线和圆的位置关系二原卷版docx、九年级数学上册第12讲点和圆直线和圆的位置关系二解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。

第12讲 点和圆、直线和圆的位置关系（二）
(重点题型方法与技巧)

目录
类型一：直线和圆的位置关系
类型二：切线的性质与判定
类型三：切线长定理
类型四：三角形的内切圆

类型一：直线和圆的位置关系
利用数量关系判断直线与圆的位置关系
（1）当图形中直线与圆的位置关系不明显时，一般不利用交点个数来判断直线与圆的位置关系，应通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来确定它们之间的位置关系.
（2）在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先根据已知条件求出d与r的值，再通过比较它们的大小确定直线与圆的位置关系.
典型例题
例题1．（2022·全国·九年级课时练习）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交
【答案】A
【详解】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d＝5cm，r＝6cm，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
故选：A．
点评：例题1考查了直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径是解题的关键．
例题2．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，3为半径的圆，一定（    ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
【答案】B
【详解】解：∵点(2,3)到x轴的距离是3，等于半径，
到y轴的距离是2，小于半径，
∴圆与y轴相交，与x轴相切．
故选B．
点评：例题2考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．由已知点(2,3)可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若dr，则直线与圆相离．
例题3．（2021·河北·保定市满城区白龙乡龙门中学九年级期末）已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【详解】解：∵⊙O与直线l无公共点，
∴⊙O与直线l相离．
∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∵⊙O直径为10cm，
∴⊙O半径为5cm，
∴圆心O到直线l的距离大于5cm．
故选：A．
点评：例题3主要考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆相离，圆心O到直线l的距离大于圆的半径解答是解题的关键．
例题4．（2022·上海虹口·九年级期中）已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为______cm．
【答案】3或7
【详解】解：设圆的半径为rcm
如图一所示，

r-5=2，得r=7cm，
如图二所示，

r+2=5，得r=3cm，
故答案为：3或7．
点评：例题4考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
例题5．（2022·山东枣庄·二模）如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．

(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若EB⊥BC，ED=3，求BG的长．
【答案】(1)直线AC是⊙O的切线，理由见解析
(2)
【详解】(1)解：直线AC是⊙O的切线．
理由如下：如图，连接OE，

∵AB=BC，D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠OBE=∠DBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE//BD，
∴OE⊥AC，
而OE为⊙O的半径，
∴直线AC是⊙O的切线．
(2)解：如图，过O作OM⊥BD于M，

∴四边形OEDM是矩形，
∴OM=ED=3，BM=BG，
∵EB⊥BC，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴∠1 =∠2=∠A=30°，
在中，，
∴，
∴，
∴．
点评：例题5考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交d r．
同类题型演练
1．（2022·江苏·九年级课时练习）如果⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，且，那么⊙O和直线的位置关系是（    ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】A
【详解】解：∵⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，且，
∴d>r，
∴直线和圆相离．
故选：A．
2．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（　　）

A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
【答案】D
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，

∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，AH==3，
∵AB=5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH=3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
3．（2022·上海金山·二模）在直角坐标系中，点的坐标是，圆的半径为2，下列说法正确的是（    ）
A．圆与轴有一个公共点，与轴有两个公共点
B．圆与轴有两个公共点，与轴有一个公共点
C．圆与轴、轴都有两个公共点
D．圆与轴、轴都没有公共点
【答案】B
【详解】解：∵点的坐标是，
∴点P到x轴的距离为，点P到y轴的距离为2，
∵圆的半径为2，＜2，
∴点P到x轴的距离小于圆的半径，点P到y轴的距离等于圆的半径，
∴圆与x轴相交，圆与轴有两个公共点，
∴圆与y轴相切，圆与轴有一个公共点，
故选： B．
4．（2021·河南许昌·九年级期中）已知⊙O的半径为4，点O到直线l的距离为d若直线l与⊙O的公共点的个数为2个则d的值不能为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【详解】解：∵直线l与⊙O公共点的个数为2个，
∴直线l与⊙O相交，
∴d＜半径＝4，
故选D．
5．（2021·浙江金华·一模）已知⊙O的直径为5，设圆心O到直线l的距离为d，当直线l与⊙O相交时，d的取值范围是 __________．
【答案】0≤d＜2.5
【详解】解：∵⊙O的直径为5，
∴⊙O的半径是2.5，
∵直线l与⊙O相交，
∴圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜2.5，
故答案为：0≤d＜2.5．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（－3，0），点 B（0，），圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是________．

【答案】
【详解】∵圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切与点O
∴⊙P的半径为1
∵点A（－3，0），点 B（0，）
∴OA=3，
∴
∴∠BAO=30°
当⊙P在直线AB下方与直线AB相切时，如图，设切点为C，连接PC

则PC⊥AB，且PC=1
∴AP=2PC=2
∴OP=OA−AP=3−2=1
∴P点坐标为(−1，0)
即m=−1
当⊙P在直线AB上方与直线AB相切时，如图，设切点为C，连接PD

则PD⊥AB，且PD=1
∴AP=2PD=2
∴OP=OA+AP=3+2=5
∴P点坐标为(−5，0)
即m=−5
∴⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与直线AB相交时，m的取值范围为
故答案为：
7．（2022·江苏常州·九年级期末）如图，AB是ΘO的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

(1)判断DE所在直线与ΘO的位置关系，并说明理由；
(2)若AE＝4，ED＝2，求ΘO的半径．
【答案】(1)相切，理由见解析
(2)
【详解】(1)解：所在直线与相切．
理由：连接．

∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵是半径，
∴所在直线与相切．
(2)解：连接．
∵是的直径，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴的半径为．
8．（2022·安徽淮南·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且点C的坐标为（1，0），直线l过点A（﹣1，0），与⊙C相切于点D，解答下列问题：

(1)求点D的坐标；
(2)求直线l的解析式；
(3)是否存在⊙P，使圆心P在x轴上，且与直线l相切，与⊙C外切吗？如果存在请求出圆心P的坐标，如果不存在请说明理由
【答案】(1)（，）
(2)y=x＋
(3)存在，(－，0)或(5，0)
【详解】（1）如图所示，当直线l在x轴的上方时，连接CD，

∵直线l为⊙C的切线，
∴CD⊥AD．
∵C点坐标为（1，0），
∴OC=1，即⊙C的半径为1，
∴CD=OC=1．
又∵点A的坐标为（-1，0），
∴AC=2，
∴∠CAD=30°，
∴AD=ACsin30°=，DE=ADsin30°=
CE= CDsin30°=，
∴OE=1－CE=，
∴D（，）
（2）
设直线l为y=kx＋b，则

解得：，
∴y=x＋
（3）
存在两种情况，讨论如下：
①如图2，过P作PF⊥l于F，设⊙P的半径为r，则CD∥PE，△ACD∽△APE，

∴，
即，
解得r=3，
∴P(5，0)
②如图3，过P作PE⊥l于E，设⊙P的半径为r，则CD∥PE，△ACD∽△APE，

∴，
即，解得r=，
∴P(－，0)
综上，点P的坐标为(－，0)或(5，0)
类型二：切线的性质与判定
切线的判定方法一——连半径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”.
切线的判定方法二——作垂直，证半径
证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”.
典型例题
例题1．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆的一个公共点为C，且C是中点，则直线与小圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【详解】解：连接

∵为中点
∴
∴
∴为小圆的切线
故选：
点评：例题1主要考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，灵活运用垂径定理是解题的关键．
例题2．（2021·全国·九年级专题练习）下列说法中错误的是（    ）
A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
【答案】C
【详解】A、B、D说法均正确；
C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误；
故选：C．
点评：例题2考查圆的切线的判定与性质，及切线长定理，熟记基本概念并准确判断是解题关键．
例题3．（2020·广东深圳·三模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF＝45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE＋BF＝EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④弧BD与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（    ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【详解】解：延长CB到G，使BG=DE，连接AG．

在△ABG和△ADE中，

∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=45°
∴∠GAF=∠EAF=45°．
在△AFG和△AFE中，

∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF=BG+BF，
又∵DE=BG，
∴EF=DE+BF；故①正确；
在AG上截取AH=AM，连接BH、HN，
在△AHB和△AMD中，

∴△AHB≌△AMD，
∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，
又∵∠ABD=45°，
∴∠HBN=90°．
∴BH2+BN2=HN2．
在△AHN和△AMN中，

∴△AHN≌△AMN，
∴MN=HN．
∴BN2+DM2=MN2；故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAM．
∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°-∠ABM-∠AMN=180°-∠MAN-∠AMN=∠AND，
∴∠AEF=∠ANM，
又∠MAN=∠FAE，
∴△AMN∽△AFE，故③正确；
过A作AP⊥EF于P，
∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE，
∴AP=AD，
与EF相切；故④正确；
∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，
∴∠AMN不一定等于∠AEF，
∴MN不一定平行于EF，故⑤错误，
故选：B．
点评：例题3考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
例题4．（2022·全国·九年级专题练习）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可）

【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．

点评：例题4主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
例题5．（2022·辽宁·沈阳市尚品学校九年级阶段练习）如图，内接于，是的直径，过外一点作，交线段于点，交于点，交于点，连接，，．

(1)求证：与相切；
(2)若，平分，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：是的直径
，
，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：如图，连接，

平分，
，

，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
．
点评：例题5考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第问关键是证明∽．
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，再由平行线的性质可得，结合与三角形内角和定理即可得到，即可得证；
（2）如图，连接，先根据垂径定理证明，再证明∽，列比例式可得，即的半径为，根据勾股定理可得的长．
同类题型演练
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（    ）

A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
【答案】D
【详解】解：于，
以为圆心，为半径的圆与直线相切，
故选：D．
2．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，已知P为☉O外一点，连接OP交☉O于点A，且OA=2AP，求作直线PB，使PB与☉O相切．以下是甲、乙两同学的作法．
甲：作OP的中垂线，交☉O于点B，则直线PB即所求．
乙：取OP的中点M，以M为圆心、OM长为半径画弧，交☉O于点B，则直线PB即所求．
对于两人的作法，下列说法正确的是(　　)

A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对．
【答案】D
【详解】如图1，作OP的垂直平分线交OP于点H，连接OB，
设AP=x，则OA=2x，OB=2x．
∵BH垂直平分OP，
∴BO=BP=2x．
∵OB2+BP2=(2x)2+(2x)2=8x2，OP2=(3x)2=9x2，
∴△OBP不是直角三角形，
∴PB不是☉O的切线，
∴甲的作法错误．
如图2，连接OB，
∵点M为OP的中点，
∴OP为☉M的直径，
∴∠OBP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB与☉O相切，
∴乙的作法正确．
故选：D．
．
3．（2018·全国·九年级单元测试）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，在上取一点，使，连接，对于下列结论：①；②；③弧弧；④为的切线，结论一定正确的是（ ）

A．②③ B．②④ C．①② D．①③
【答案】B
【详解】如图：

∵AB=CB，
∴∠1=∠2，
而CD=ED，
∴∠3=∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴和不能确定相等，所以③错误；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴AD=DC，
∵DE=DC，
∴AD=DC=DE，
∴△AEC是直角三角形，
∴∠AEC=90°，
∵AB∥CE，
∴AB⊥AE，
∴AE是⊙O的切线，故④正确，
故选B．
4．（2021·全国·九年级课时练习）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是________．

【答案】或
【详解】解：若添加BD=CD，理由如下：
如图，连接OD，

∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC，
∵，
∴DE⊥OD，
∵交于D，
∴是的切线；
若添加AB=AC，理由如下：
如图，连接AD，
∵是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴点D是BC的中点，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵，
∴DE⊥OD，
∵交于D，
∴是的切线．
故答案为：或
5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线．

【答案】60
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
6．（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图1，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点E，连接BE，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于点D，且．

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)如图2，延长ED交直线AB于点P，若．
①求的值；
②若，求⊙O的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)①=2；②⊙O的半径长为
【详解】（1）证明：∵AB是直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：①如图2中，连接OD．

∵BD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
②∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴⊙O的半径长为．
7．（2022·广东·广州市第一中学模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，∠OFE=∠A．过点F作FG⊥BC于点G，交⊙O于点H，连接EH．

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)连接ED，过点E作EQ⊥AB，垂足为Q，△EQD和△EGH全等吗？若全等，请予以证明；若不全等，请说明理由；
(3)当BO=5，BE=4时，求△EHG的面积．
【答案】(1)见解析
(2)△EQD和△EGH全等，证明见解析
(3)S△EHG =
【详解】（1）证明：连接，

在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：和全等，理由如下：
由（1）知，，
，
．
，，
．
在与中，
，
；
（3）解：，，，
由勾股定理得到：，
，
，
，
，
，，
是切线，
，
，
，
，
．
类型三：切线长定理
典型例题
例题1．（2022·福建省福州铜盘中学九年级阶段练习）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则BD的长是（    ）

A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【详解】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB-AP=4-3=1．
故选：D．
点评：例题1考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
例题2．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，则的周长是（    ）

A．10 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故选：C．
点评：例题2考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB．
例题3．（2022·山东淄博·二模）如图，内切于，点P、点Q分别在直角边、斜边上，，且与相切，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如下图所示，设与相切于点D，E，G，与PQ相切于点F，连接OD，OE，OF，OG，设的半径为r，BQ=x，PE=y．

∵与相切于点D，E，G，与PQ相切于F，PQ⊥AB，
∴OD=OE=OF=OG=r，∠ODC=∠OEC=∠OGQ=∠OFQ=∠ACB=∠PQB=∠FQG=90°，PF=PE=y，BE=BG．
∴四边形ODCE是矩形，四边形OFQG是矩形，．
∴矩形ODCE是正方形，矩形OFQG是正方形．
∴CE=OE=r，FQ=GQ=OG=r．
∴BG=BQ+GQ=x+r，PQ=PF+FQ=y+r．
∵AC=2PQ，
∴．
∵∠ABC=∠PBQ，
∴．
∴．
∴BC=2BQ=2x．
∴BE=BC-CE=2x-r．
∴x+r=2x-r．
∴x=2r．
∴BQ=2r．
∴BE=3r．
∴BP=BE-PE=3r-y．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
故选：B．
点评：例题3考查切线的性质，正方形的判定定理和性质，相似三角形的判定定理和性质，切线长定理，勾股定理，解直角三角形，综合应用这些知识点是解题关键．
例题4．（2022·山东德州·九年级期末）如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（    ）

A．70° B．64° C．62° D．51°
【答案】B
【详解】解：∵AB、AC为⊙O的切线，
∴∠BAO＝∠CAO，OB⊥AB，
∵BD＝OB，
∴AB垂直平分OD，
∴AO＝AD．
∴△AOD为等腰三角形，
∴∠BAO＝∠BAD，
∴∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，
∵∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°，
∴3∠BAD＝78°，
解得∠BAD＝26°，
∴∠ADO＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°．
故选：B．
点评：例题4考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理。先根据切线长定理，由AB、AC为⊙O的切线得到∠BAO＝∠CAO，根据切线的性质得OB⊥AB，加上BD＝OB，则可判断△AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠BAO＝∠BAD，即∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，然后利用∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°可计算出∠BAD＝26°，再利用∠ADO＝90°﹣∠BAD求解．
例题5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，则∠ABO＝________．

【答案】35°
【详解】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OB⊥PB，PA＝PB，
∴∠PBO＝90°，∠ABP＝∠BAP
∵∠P＝70°，
∴∠ABP＝∠BAP55°，
∴∠ABO＝∠PBO﹣∠ABP＝90°﹣55°＝35°，
故答案为：35°．
点评：例题5考查了切线的性质和切线长定理，熟记性质是解题的关键．利用切线的性质和切线长定理可得OB⊥PB，PA＝PB，进而得到∠PBO＝90°，∠ABP＝∠BAP，结合∠P＝70°求得∠ABP的度数，即可求得∠ABO
例题6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．

(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE＝6
【详解】（1）证明：连接OC，如图，

∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAD，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∴∠ACO＝∠DCB，
∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2＋CD2＝OD2，
∴OB2＋42＝（OB＋2）2，
∴OB＝3，
∴AB＝6，AD＝8，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线，
∴AE＝CE，
∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，
∴82＋AE2＝（4＋AE）2，
∴AE＝6．
点评：例题6考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
同类题型演练
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，是四边形的内切圆，分别切于F，E两点，若，则的长是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如图，

∵，
∴四边形ABGD是矩形，
∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3，
∵点E、F、H是切点，
∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，
∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线，
∴EM=FM，
设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R，，
∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，
∵，
∴
解得：R=2，
∴CE=6-2=4，
∴，
∵，  
∴，
∴，
故选 A．
2．（2022·浙江·宁波市兴宁中学一模）如图，是外一点，，分别与相切于点，，是上任意一点，过点作的切线，交于点，交于点．若的半径为4，，则的周长为（    ）

A． B．8 C． D．12
【答案】C
【详解】解：，分别与相切于点，，
，
是的切线，切点为P，
，
的周长，
，
，
中，
，
，
，
的周长=，
故选：C．
3．（2022·湖北·武汉市崇仁路中学九年级阶段练习）如图，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，连接DE，EF．若AD＝6，BE＝7，CF＝8，则tan∠DEF的值是（    ）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】解：过点B作BM⊥AC于点M，连接OD、OE、OF、AO、BO、CO，如图所示：

∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，，
，，，
设，
∴，，，
∵BM⊥AC，
∴，
∴与为直角三角形，
∴根据勾股定理可得：，，
即，
，
解得：，
则，
∴，
∵




∴，解得：，
∵在Rt△AOD和Rt△AOF中，，
∴（HL），
，
∵，
，
，
∴，故A正确．
故选：A．
4．（2022·浙江浙江·一模）如图，AD是⊙O的直径，PA，PB分别切⊙O于点A，B，弦BC∥AD．当的度数为126°时，则∠P的度数为（　　）

A．54° B．55° C．63° D．64°
【答案】A
【详解】如图，连接，，，

的度数为126°，
．
，
．
，
．
，
，，
．
，是⊙的切线，
，，，
．
故选A．
5．（2021·广东·广州市第二中学南沙天元学校九年级阶段练习）如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠AOB＝120°，则AB＝_____．

【答案】6
【详解】解：∵PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，
∴ PA ＝PB ，CA ＝CE ，DB ＝DE ，
∵△PCD的周长为12，
∴ PC + CE + PD + DE ＝PC + CA + PD + DB ＝PA + PB ＝12 ，
∴ PA ＝PB ＝6 ，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝PA＝6，
故答案为：6．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．

(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)；
【详解】（1）证明：连接OB，则OC＝OB，如图所示：

∵OA⊥BC，
∴EC＝BE，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴AC＝AB，
∵在△CAO和△BAO中
，
∴△CAO≌△BAO（SSS），
∴∠OCA＝∠OBA．
∵AB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠ABO＝90°，
∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵OC＝2，OD＝5，

∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，
∵∠OBD＝90°，
∴BD，
设AC＝x，则AC＝AB＝x，
∵CD2+AC2＝AD2，
∴，
解得，
∴，
∴AD＝AB+BD＝AC+BD．
7．（2022·湖北武汉·二模）如图，PA与⊙O相切于点A，AB是直径，点C在⊙O上，连接CB，CP，2∠B+∠P＝180°．

(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)过O作OD∥PC，交AP于点D，若AB＝8，∠AOD＝30°．求由线段PA，PC及弧AC所围成阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)由线段PA，PC及弧AC所围成阴影部分的面积为
【详解】（1）证明：连接，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴
∵，
∴，
∴
又是的切线，
则，
∴
∴是的切线

（2）连接OP，
由，知，
∵，则
又由（1）知，是的切线
∴，则
∵，则，，则
同理，
∵，，
则
∴

类型四：三角形的内切圆
有关三角形内心的常用辅助线作法，解答该类问题时一般有两种作辅助线的方法：一是连接内心与三角形的顶点，即构建出三角形的角平分线；二是连接内心与切点得到线段垂直的位置关系，再连接内心与三角形的顶点进而运用直角三角形的相关知识来解答.
典型例题
例题1．（2022·湖北·黄石十四中九年级阶段练习）如图，在四边形中，，，，，分别以B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线与延长线交于点E，连接，则的内切圆半径是（    ）

A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：由题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，
∵
∴BH=BC=AD= ，
∵∠MBH=∠ABC=30°，
∴在Rt△BMH中,
MH=BH×tan30°=×=4．
∴的内切圆半径是4．
故选：A．

点评：例题1考查了线段垂直平分线定理，等边三角形的判定，等边三角形内切圆半径的求法，解直角三角形，解题关键在于理解题意，运用正确的方法求三角形内切圆半径．分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH=BC=AD=，∠MBH=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长．
例题2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，中，，是内心，则等于（ ）

A．120° B．130° C．150° D．160°
【答案】B
【详解】解：∵I是内心，
∴BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠BIC=180°-（∠CBI+∠BCI）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=130°，
故选B．
点评：例题2考查了三角形的内心，解题的关键是掌握三角形的内心是三条角平分线的交点．根据内心的性质得到BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，再利用角平分线的定义和三角形内角和定理计算可得．
例题3．（2022·河北邢台·九年级期末）如图，O是△ABC的内心，OD⊥BC于点D，OD＝2，若△ABC的周长为12，则△ABC的面积是（    ）

A．12 B．24 C．6 D．3
【答案】A
【详解】解：连接OA、OB、OC，

∵O是三角形ABC的内心，
∴O到三角形ABC各边的距离相等，都等于OD的长度，
∵，
∴
=，
故选：A．
点评：例题3考查了三角形内心的性质，掌握三角形内心的性质：到三角形三边距离相等是解题的关键．连接OA、OB、OC，根据三角形内心性质，知O到三角形ABC各边距离相等，利用三角形ABC面积等于三角形AOB、三角形AOC、三角形BOC的面积之和求解．
例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，点是内切圆的圆心，若，那么______度．

【答案】115
【详解】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=130°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-×130°=115°．
故答案为：115．
点评：例题4考查了三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．由点O是△ABC的内切圆的圆心，可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，又由∠BAC=50°，可求得∠ABC+∠ACB的度数，继而求得答案．
例题5．（2022·湖北黄石·模拟预测）在Rt中，，且，，则该三角形内切圆的周长是______．
【答案】
【详解】解：如图：

在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，
根据勾股定理AB==13，
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形，
由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
∴CE=CF=（AC+BC-AB），
即：r=（5+12-13）=2．
∴该三角形内切圆的周长=．
故答案为：．
点评：例题5主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出CE=CF=（AC+BC-AB）是解题关键．设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．
例题6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点．

(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)如果，，求内切圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)1
【详解】（1）证明：∵BC，AC分别切于点D，E，
∴，，
又∵，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵，
∴矩形ODCE是正方形．
（2）解：设的半径为r，
∵四边形ODCE是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
∵与各边相切于点D，E，F，
∴，，
又∵，
∴，解得
∴内切圆的半径是1．
点评：例题6主要考查了切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
（1）根据切线判定定理可得，先证四边形ODCE是矩形，再根据正方形的判定即可求证；
（2）设的半径为r，根据正方形的性质可得，从而得到，，再由切线长定理可得，，然后根据，即可求解．
同类题型演练
1．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，⊙I是Rt△ABC中的内切圆，，过点I作分别交CA，CB于E，F，若EA＝4，BF＝3，则⊙I的半径是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设⊙I与三角形ABC的各边的切点分别为M、N、P，连接IM、IN、IP，过E、F分别作AB的垂线段，垂足为G、H，如图所示，

设半径为r，
由题意知，EG=FH=IP=r，∠IME=∠AGE=90°，
∵EF∥AB，
∴∠A=∠MEI，
∴△AEG≌△EIM，
∴AE=IE=4，
由∠A+∠B=90°，∠MEI+∠MIE=90°，得：∠B=∠MIE，
∴sin∠B=sin∠MIE，
即，
∴，
解得：EM=，
在Rt△EIM中，由勾股定理得：，
解得：r=或r=（舍），
故选：C．
2．（2022·云南大理·九年级期末）如图，是的内心，已知，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)
＝ (180°−∠A)
＝×130°
＝65°，
∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）
＝180°−65°
＝115°，
故选：C．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．30﹣4π B． C．60﹣16π D．
【答案】A
【详解】解：过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，

，
∴四边形CEOF是矩形，
，
∴四边形CEOF是正方形，
，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
，
设，
在中，，
，
解得，
，
．
故选A．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接、、，交于，作交BC于点G，如图，

∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
设内切圆的半径为r，
则，解得：，
的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
又∵OD=OE， OB=OB，
∴，
∴BD=BE，
同理， CE=CF，AD=AF，
∵BE+CE=BC=7，
∴BD+BE+CE+CF=14，
∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，
∴，
∴，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
故选：D．
5．（2022·河北承德·九年级期末）如图，在扇形CAB中，，垂足为D，是△ACD的内切圆，连接AE，BE．

（1）∠AEB的度数为______；
（2）若，，则的长为______．
【答案】     135°    
【详解】解：（1）如图，连接EC．

∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°，
∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，
∴∠AEC＝180°−(∠ACD＋∠CAD)＝135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB＝∠AEC＝135°，
故答案为135°．
（2）∵，∠AEB＝135°，
∴ ，
∴，
∵，，
∴中，，
解得，
∴，
故答案为：
6．（2021·安徽·利辛中学九年级阶段练习）如图，圆是的内切圆，其中，，求其内切圆的半径．

【答案】．
【详解】解：过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，
设AD=x，CD=8-x, 其内切圆的半径为r，
根据勾股定理，即，
解方程得，
∴BD=，
∵圆是的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，OE=OF=OG=r，
∴S△ABC=，
∴，
∴．

7．（2022·全国·九年级专题练习）已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．

(1)四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．
(2)若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．
【答案】(1)正方形，理由见解析
(2)2
【详解】（1）解：（1）四边形IECF是正方形，理由如下：
∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，即AC、BC都是⊙I的切线，
∴∠IEC=∠IFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵IE=IF，
∴四边形IECF是正方形；
（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴，
由切线长定理可知： AE=AD，BD=BF，CE=CF，
设半径IE的长为x，则CE=CF=x，
∴AE=AD=8-x，BD=BF=6-x，
∴（8-x）+（6-x）=10， 解得x=2，
∴IE的长为2．