人教版22.3 实际问题与二次函数课时练习

第06讲 实际问题与二次函数

(重点题型方法与技巧)

目录

类型一：利用二次函数解决利润问题

类型二：利用二次函数求图形面积的最值

类型三：利用二次函数解决抛物线形问题

类型一：利用二次函数解决利润问题

二次函数与利润最大问题

（1）调整价格分涨价和降价．

（2）总利润=单件商品的利润×销售量．

（3）商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加．两种情况都会导致利润的变化．

典型例题

例题1．（2022·全国·九年级课时练习）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（       ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·浙江·九年级专题练习）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（       ）

A．21元 B．22元 C．23元 D．24元

例题3．（2022·全国·九年级课时练习）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润和月份之间的函数关系式为，则该企业一年中应停产的月份是（     ）

A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月

例题4．（2022·浙江·九年级专题练习）阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量y（kg）与销售单价x（元）之间满足一次函数的关系.若不计其他成本（利润=售价-进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是_________元．

例题5．（2022·湖北武汉·九年级期末）某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人．当每日销售收入最大时，票价下调_______元．

例题6．（2022·重庆·模拟预测）某品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

同类题型演练

1．（2021·福建省福州第十九中学九年级阶段练习）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（       ）

A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）

C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x

2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（       ）

A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元

3．（2022·全国·九年级课时练习）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元．

A．60 B．65 C．70 D．75

4．（2021·全国·九年级课时练习）某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润y（元）与童装的销售价x（元/件）之间的函数解析式为y＝﹣x2+160x﹣4800．若想每天获得的利润最大，则销售价应定为（　　）

A．110元/件 B．100元/件 C．90元/件 D．80元/件

5．（2022·全国·九年级）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（       ）

A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月

6．（2022·山东枣庄·九年级期末）将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个．设单价降价x元，则每天的利润y与x的关系式是：________；最大利润为________元．

7．（2022·全国·九年级课时练习）学子书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y ＝－3x＋108（29 ≤ x ≤ 36）．如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么在这种关系下销售单价定为________元时，每天获得的利润最大？

8．（2021·福建·长汀县第四中学九年级阶段练习）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．

(1)如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？

(2)设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

9．（2021·四川成都·三模）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大

(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

类型二：利用二次函数求图形面积的最值

求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变量，构建二次函数模型求解．

典型例题

例题1．（2020·甘肃武威·九年级期中）用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm，面积是Scm2，则S与x的函数关系式为（       ）

A．S＝x（20﹣x） B．S＝x（20﹣2x） C．S＝x（10﹣x） D．S＝2x（10﹣x）

例题2．（2023·安徽·九年级专题练习）已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且．在点从移向（与不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（       ）

A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变

B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大

C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大

D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小

例题3．（2020·浙江·湖州市第五中学九年级阶段练习）已知点与点，，是一平行四边形的四个顶点，则长的最小值是（       ）

A．10 B． C． D．9

例题4．（2022·广东梅州·九年级期末）某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____．

例题5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．

例题6．（2022·浙江丽水·九年级期中）如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

(1)若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积．

同类题型演练

1．（2021·北京·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，AC+BD=10，设AC=x(0<x<10)，四边形ABCD的面积为y，则y与x的函数关系式为（ ）

A．y=x(10－x) B．y=x(10－x) C．y=x(10+x) D．y=(10－x)2

2．（2019·四川·树德中学九年级）设、、为实数，且，抛物线，顶点在上，与轴交于点，，与轴交于点，当为直角三角形时，的最大值是（       ）

A．1 B． C．3 D．4

3．（2020·重庆一中九年级阶段练习）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（　　）

A． B． C． D．

4．（2019·浙江温州·九年级期末）如图，在矩形中，，点E，F分别是，上的点，且满足．分别以，为边向矩形内部构造正方形和正方形，记阴影部分的面积为S，则S的最小值为（       ）

A．9 B．10.5 C．12 D．15

5．（2022·江苏二模）如图利用135°的墙角修建一个梯形的储料场，并使∠C=90°．如果新建的墙BCD总长24m，那么BC=________储料场的面积最大．

6．（2022·广西·南丹县教学研究室二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为_________．

7．（2022·广西·防城港外国语学校九年级阶段练习）如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．

(1)探究1：如果木板边长为2米，FC＝1米，则一块木板用墙纸的费用需_____元；

(2)探究2：如果木板边长为1米，当FC的长为多少时，一块木板需用墙纸的费用最省？最省是多少元？

(3)探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最省？

8．（2022·河北秦皇岛·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S

(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；

(2)若S是21cm2时，确定t值；

(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．

类型三：利用二次函数解决抛物线形问题

用二次函数解决抛物线形问题

（1）建立恰当的平面直角坐标系；

（2）将已知条件转化为点的坐标，正确写出关键点的坐标；

（3）合理地设出函数解析式；

（4）将点的坐标代入函数解析式求出解析式；

（5）利用解析式求解．

在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意对数形结合思想的应用．

典型例题

例题1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（             ）

A．12米 B．13米 C．14米 D．15米

例题2．（2021·安徽芜湖·九年级阶段练习）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（   ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·浙江·九年级专题练习）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（   ）

A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m

例题4．（2022·湖北襄阳·二模）如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米

例题5．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．

例题6．（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）某大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中画出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的水平距离最大为________米．

例题7．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是（x＞0）．

(1)柱子OA的高度是______米；

(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

例题8．（2022·甘肃兰州·中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

同类题型演练

1．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（　　）

A．4m B．10m C．20m D．8m

2．（2022·全国·九年级课时练习）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（   ）

A．柱子的高度为

B．喷出的水流距柱子处达到最大高度

C．喷出的水流距水平面的最大高度是

D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外

3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一小球从斜坡点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．则下列结论错误的是（       ）

A．当小球达到最高处时，它离斜坡的竖直距离是

B．当小球落在斜坡上时，它离点的水平距离是

C．小球在运行过程中，它离斜坡的最大竖直距离是

D．该斜坡的坡度是：

4．（2021·山东·青岛大学附属中学九年级阶段练习）有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现将它的图形放在坐标系里（如图所示）．若在离跨度中心M点10m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，这铁柱长______米．

5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．

6．（2022·吉林长春·九年级期末）如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是________米．

7．（2022·全国·九年级单元测试）某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中，水池的正中心有一支高度为 的喷水管，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，最高处距喷水管水平距离为．

(1)求在如图所示的平面直角坐标系中的抛物线水柱的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

(2)求这个的喷水管的水柱落水处离水池中心的距离是多少？

8．（2022·山东青岛·一模）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1:3．

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；

(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．