初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程达标测试

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第02讲 解一元二次方程
(重点题型方法与技巧)

目录
类型一：直接降次解一元二次方程
类型二：用配方法解一元二次方程
类型三：用公式法解一元二次方程
类型四：用因式分解法解一元二次方程
类型五：一元二次方程的根与系数的关系

类型一：直接降次解一元二次方程
（1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．
（2）步骤：
①将方程转化为（或）的形式；
②分三种情况降次求解：（ⅰ）当时，，；（ⅱ）当时，；（ⅲ）当时，方程无实数根．
典型例题
例题1．（2022·江苏宿迁·九年级期末）一元二次方程x2＝4的解是（     ）
A．x＝±4 B．x＝2 C．x＝±2 D．x＝﹣2
【答案】C
【详解】解：∵x2=4，
∴x=±2．
故选C．
点评：例题1是简单的一元二次方程，可根据数的开方直接解，也可通过观察法求出其解．
例题2．（2022·江苏·九年级）用直接开平方法解方程(x﹣3)2＝8，得方程的根为（　　）
A．x＝3+2 B．x＝3﹣2 C．x＝3±2 D．x＝3±2
【答案】D
【详解】解：方程两边开平方得：x﹣3＝±2，
解得：x1＝3+2，x2＝3﹣2，
故选：D．
点评：例题2主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
例题3．（2022·全国·九年级单元测试）小明用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为____．
【答案】x-4=-（5-2x）
【详解】解：开平方，得x-4=±（5-2x），
∴x-4=5-2x或x-4=-（5-2x），
∴他漏掉的另一个方程为x-4=-（5-2x），
故答案为：x-4=-（5-2x）．
点评：例题2、3主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
同类题型演练
1．（2022·江苏·九年级专题练习）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（       ）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25
【答案】B
【详解】解：x2﹣25＝0，则x2＝25，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故选：B．
2．（2022·全国·九年级）若方程（x﹣1）2＝m＋1有解，则m的取值范围是（       ）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0
【答案】B
【详解】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，
∴m+1≥0，
∴m≥﹣1．
故选：B．
3．（2022·河南平顶山·九年级期末）方程的根为（       ）
A． B．， C． D．，
【答案】B
【详解】解：由，得，
解得；
故选：B．
4．（2022·全国·九年级课时练习）解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程化成一次方程求解．一元二次方程可以化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋3＝5，则另一个一元一次方程是________．
【答案】
【详解】解：，
或，
故答案为：．
5．（2022·广东·模拟预测）方程的解是_______．
【答案】
【详解】解：
即
或

故答案为：
类型二：用配方法解一元二次方程
1．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2．利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x±m）2=n的形式；
（4）用直接开平方解变形后的方程．
解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
典型例题
例题1．（2022·四川宜宾·九年级期末）方程的左边配成完全平方后所得方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵x2+2x= 1
∴x2+2x+1= 2
∴(x+1)2= 2
故选： C．
点评：例题1考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
例题2．（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程用配方法化为，则的值是_______．
【答案】7
【详解】解：∵，
∴x2-6x+9-n=0，
∵，
∴-m=-6，9-n=8，
则m=6，n=1．
∴m+n=6+1=7
故答案为：7．
点评：例题2考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够把完全平方式化成一般式是解此题的关键．
例题3．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）
【答案】x1＝1，x2＝1
【详解】解：2x2﹣4x﹣1＝0
x2﹣2x0
x2﹣2x+11
（x﹣1）2
∴x1＝1，x2＝1．
点评：例题3考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
同类题型演练
1．（2022·江苏·九年级阶段练习）将方程x2−4x＋1＝0化成（x＋m）2＝n的形式是（       ）
A．（x−1）2＝12 B．（2x−1）2＝12
C．（x−1）2＝0 D．（x−2）2＝3
【答案】D
【详解】解：x2-4x+1=0，
x2-4x=-1，
配方，得x2-4x+4=-1+4，
即（x-2）2=3，
故选：D．
2．（2022·全国·九年级单元测试）用配方法解下列一元二次方程，其中应在方程两边同时加上16的是（　　）
A．x2+32x＝3 B．x2﹣4x＝5 C．x2+8x＝1 D．x2﹣16x＝4
【答案】C
【详解】解：A．用配方法解一元二次方程x2＋32x＝3时，应当在方程的两边同时加上256，不合题意；
B．用配方法解一元二次方程x2−4x＝5时，应当在方程的两边同时加上4，不合题意；
C．用配方法解一元二次方程x2＋8x＝1时，应当在方程的两边同时加上16，符合题意；
D．用配方法解一元二次方程x2−16x＝4时，应当在方程的两边同时加上64，不合题意；
故选：C．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）用配方法将方程变为的形式，则________．
【答案】5
【详解】解：方程，变形得：x2−2x＝3，
配方得：x2−2x＋1＝4，即（x−1）2＝4，
∴a＝1，b＝4，
∴a＋b＝5
故答案为：5．
4．（2021·河南南阳·九年级期中）用配方法解方程．
【答案】，
【详解】解：原方程可化为：



，
，．
5．（2022·江苏·九年级课时练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．

解：                 第一步
                 第二步
                 第三步
                 第四步
                 第五步
所以，                 第六步
任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
【答案】任务一：配方法；完全平方公式，二；任务二，，
【详解】解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式，
在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上，
∴第二步开始出现错误，
故答案是：配方法，完全平方公式，二；
任务二：解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
类型三：用公式法解一元二次方程
1．一元二次方程根的判别式：
一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即．
（1）当>0时，方程有两个不相等的实数根，即．
（2）当=0时，方程有两个相等的实数根，即．
（3）当<0时，方程没有实数根．
2．求根公式：
当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
3．公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式；
（2）确定、、的值；
（3）计算的值；
（4）当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根．
典型例题
例题1．（2021·广西桂林·九年级阶段练习）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故选：A．
点评：例题1考查根的判别式．一元二次方程根的情况与根的判别式（）有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．解题的关键是熟练运用根的判别式．
例题2．（2021·河北保定·九年级期末）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．且
【答案】B
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝−4ac＝16＋4k＞0，
解得．
故选：B．
点评：例题2考查了根的判别式：一元二次方程＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝−4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
例题3．（2022·河南三门峡·九年级期末）如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是_________．
【答案】
【详解】解：由题意得，



故答案为：．
点评：例题3考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
例题4．（2021·陕西渭南·九年级阶段练习）解方程：．
【答案】，
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
点评：例题4主要考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解题的关键．
例题5．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值．
【答案】(1)全体实数
(2)m＝﹣1
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+5＞0，∴m的取值范围是全体实数．
（2）将x＝1代入原方程，1﹣（2m+1）+（m﹣1）＝0，解得：m＝﹣1．
点评：例题5考查了根的判别式、一元二次方程的解，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ=b2-4ac≥0”是解题的关键．

同类题型演练
1．（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程 的根的情况是（     ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程 中，
∴，
该方程没有实数根，
故选A．
2．（2021·广西玉林·九年级阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（       ）
A．a<1 B．a≤1 C．a≠0 D．a<1且a≠0
【答案】D
【详解】解：根据题意得a≠0且Δ＝22﹣4a>0，
所以a<1且a≠0．
故选：D．
3．（2022·上海·中考真题）已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．
【答案】m<3
【详解】解：∵x-x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2)2-4m>0
解得：m<3，
故答案为: m<3．
4．（2021·西藏·柳梧初级中学九年级期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)，
∴
∴；
(2)原方程可化为：   ，
∵，
∴
∴
5．（2022·江苏·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m的值为4或3
【解析】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，综上所述，m的值为4或3．
类型四：用因式分解法解一元二次方程
1．当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式．
2．当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为．
3．当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解．
典型例题
例题1．（2021·河南南阳·九年级期中）方程的解是（       ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【详解】解：


， ．
故选D．
点评：例题1考查用因式分解法解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．
例题2．（2022·广西河池·九年级期末）方程的解是______．
【答案】，
【详解】解：原方程可化为：（x－3）（x－5）=0，
∴x－3=0或x－5=0，
解的：x1=3，x2=5．
点评：例题2考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的解法是解答的关键．
例题3．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：
原方程可化为


∴，；
（2）
原方程可化为
a=3，b=-2，c=-4



∴

∴，．
点评：例题3考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解的方法提公因式法与十字相乘法．
同类题型演练
1．（2020·海南省直辖县级单位·九年级期末）一元二次方程的根是（       ）
A．， B． C． D．，
【答案】A
【详解】解：∵，
∴
∴
∴或
解得：
故选：A．
2．（2022·河北承德·九年级期末）下列各数：，，，3，4，6，其中是一元二次方程的解是（       ）
A．，6 B．，4 C．3，4 D．，3
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
故选：D
3．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：1+22x-3x2＝25解得 ____．
【答案】
【详解】解：1+22x-3x2＝25


解得：；
故答案为．
4．（2022·河北承德·九年级期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)＝0，＝2；
(2)＝3，＝1
【详解】（1）解：−2x＝0，
x（x−2）＝0，
x＝0或x−2＝0，
所以＝0，＝2；
（2）−4x＋3＝0，
（x−3）（x−1）＝0，
x−3＝0或x−1＝0，
所以＝3，＝1．
5．（2022·河北保定·九年级期末）对于实数定义运算“☆”如下：，例如，如果有方程，请你求出这个方程的解．
【答案】x＝2，或x＝﹣1
【详解】解：根据题意由方程1☆x=2得：
整理得：
（x-2）（x+1）=0
x-2=0或x+1=0
解得：x＝2，或x＝﹣1
类型五：一元二次方程的根与系数的关系
1．根与系数的关系：
如果方程有两个实数根，，那么，．
2．推导过程：
在中，当时，由求根公式可得，，
所以，
．
3．涉及两根的代数式的重要变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
典型例题
例题1．（2022·全国·九年级单元测试）若一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2的值为（　　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵x2-2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0，
故选：D．
点评：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
例题2．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）若是的两个实数根，则的值为________．
【答案】2022
【详解】∵m、n是方程x2+2x-1=0的两个实数根
∴，m+n=1，
∴m2=2020+m，
∴，
故答案为：2022．
点评：例题3考查一元二次方程的根及3根与系数的关系，解题的关键是掌握解的定义和韦达定理．
例题3．（2022·全国·九年级单元测试）已知关于的一元二次方程，
(1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
(2)若，是原方程的两根，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题可知，，，
∴，
解得，
经检验m=2有意义．
点评：例题3考查了一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系是本题的关键．
同类题型演练
1．（2022·江苏·九年级专题练习）已知，是一元二次方程的两根，则的值为（       ）
A．0 B．2 C．1 D．－1
【答案】B
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两个根，
∴x1+x2=1，x12−x1−1=0，
两式相加得：x12−x1−1+ x1+x2=1
移项得：x12 +x2=2
故选 B
2．（2022·江苏·九年级单元测试）已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（       ）
A．2 B．-1 C． D．-2
【答案】D
【详解】解：根据根与系数的关系得，
x1+x2=4，x1·x2=-2
∴

        
=-2．
故选D ．
3．（2020·山东威海·二模）已知a，b是方程的两个实数根，则_________．
【答案】2023
【详解】解：根据题意得a+b=1．ab=-4，
把x=a代入x2-x-4=0，得a2-a=4，
∴a2-2a-b+2020
=a2-a-a-b+2020
=4-1+2020
=2023．
故答案为：2023
4．（2022·河北保定·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根为________，m的值是________．
【答案】     3     6
【详解】解：设方程另一个根为t，
则2+t=5，2t=m，
所以t=3，m=6，
方程的另一个根为3，即m的值为6；
故答案为3，6．
5．（2022·广西玉林·二模）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根分为、，且，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)k=7或k=-3．
【解析】（1）∵b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，
∵，
∴，
∴，即，
解得：k=7或k=-3．