人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程优秀巩固练习

专题22.24 二次函数与一元二次方程（分层练习）（基础练）

一、单选题

1．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（    ）

A．      B．2      C．      D．4

2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为（　　）

A．      B．      C．      D．

3．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：

则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（    ）

A．1.2＜x＜1.3     B．1.3＜x＜1.4      C．1.4＜x＜1.5      D．1.5＜x＜1.6

4．如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（　　）

A．      B．      C．      D．

5．如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是（  ）

A．      B．

C．      D．或

6．若方程的两个根是和，则对于二次函数，当时，的取值范围是（    ）

A．      B．或     C．      D．

7．若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　）

A．，      B．，

C．，      D．，

8．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（    ）

A．-3，-1      B．-3，0      C．-1，0      D．3

9．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ）

A．      B．2      C．      D．

10．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（　　）

A．﹣1      B．﹣3      C．﹣5      D．﹣7

二、填空题

11．抛物线与轴的交点坐标是       ，与轴的交点坐标是                       ．

12．将抛物线向下平移3个单位，所得新的抛物线的与y轴的交点坐标是        ．

13．若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为          ．

14．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣1，x2=2，则b+c的值是  ．

15．如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是      ．

16．抛物线与x轴交于两点，其中一个交点的坐标为，则当函数值时，x的取值范围是        .

17．已知二次函数与一次函数的图象相交于点．如图所示，则能使成立的x的取值范围是           ．

18．已知抛物线的图像与x轴分别交于点，，则关于x的方程的根为      ．

三、解答题

19．已知抛物线经过点和点，

（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标．

（2）求抛物线与x轴两个交点之间的距离．

20．已知，抛物线，

（1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长．

21．已知二次函数y=2x2-4x-6．

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A、B，且它的顶点为点P，求△ABP的面积．

22．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（3，0）、B（－1，0）

（1）求抛物线的解析式．

（2）若抛物线交y轴于点C，求△ABC的面积．

23．如图，抛物线与y轴交于点A，抛物线上的一点P在第四象限，连接AP与x轴交于点C，，且S△AOC=1，过点P作PB⊥y轴于点B．

（1）求BP的长；

（2）求抛物线与x轴的交点坐标．

24．已知，如图，二次函数的图像与轴交于A，两点，与轴交于点，且经过点

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．

（3）求的面积，写出时的取值范围．

参考答案

1．D

【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标，进而即可求解．

解：当时，，

解得：，，

∴抛物线与x轴的交点坐标为和，

∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离：，

故选：D．

【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，解一元二次方程；正确理解题意，求出抛物线与x轴交点坐标是解题的关键．

2．A

【分析】根据与y轴交点坐标的特点求解即可．

解：，

当时，，

∴与轴的交点坐标为，

故选：A．

【点拨】题目主要考查抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．

3．C

【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得．

解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．

ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．

故选：C．

【点拨】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．

4．C

【分析】根据图像解答即可．

解：由图象可知，当时，x的取值范围．

故选C．

【点拨】本题考查了利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．

5．C

【分析】根据二次函数图像性质，可知的解集位于x轴的上方，分别求出与x轴交点坐标即可解决问题.

解：根据二次函数图像性质，可知的解集位于x轴的上方，有图像可知，对称轴为x=2，抛物线与x轴的交点为（5,0），由此可知抛物线与x轴另一个交点为（-1,0），所以的解集是.

故答案是C.

【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标.

6．B

【分析】，则抛物线开口向上，由题意知，抛物线与轴的两个交点坐标为、，据此求解即可．

解：，

∴抛物线开口向上，

由题意知，抛物线与轴的两个交点坐标为、，

当时，的取值范围是或，

故选：B．

【点拨】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

7．A

【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．

解：的图象经过点，，

方程的解为，．

故选：A．

【点拨】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．

8．A

【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解．

解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与，

∴的两根为：，．

故选：A．

【点拨】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．

9．A

【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可．

解：由解得，，

，

故选：A．

【点拨】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键．

10．C

【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．

解：根据题意知，

点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），

当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），

故点M的横坐标的最小值为﹣5，

故选：C．

【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．

11．          ，

【分析】根据题意，令，然后求出的值，即可以得到抛物线与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标．

解：令，

得，

抛物线与轴的交点坐标是：，

令，

即，

解得，，

所以抛物线与轴交点的坐标是，．

故答案为：；，．

【点拨】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，难度不大．

12．

【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，再求交点的坐标即可．

解：抛物线向下平移3个单位得到，

即，

当，，

∴坐标是，

故答案为：

【点拨】此题考查了二次函数的平移、抛物线与y轴的交点坐标，熟练掌握平移规律是解题的关键．

13．3或

【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=3，求出x的值即可．

解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1，

∴=1，

解得m=-2，

∴关于x的方程x2+mx=3可化为x2-2x-3=0，即（x+1）（x-3）=0，

解得x1=-1，x2=3．

故答案为：3或-1．

【点拨】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解题的关键．

14．﹣3

解：试题分析：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣1，x2=2，

∴根据根与系数的关系，可得﹣1+2=﹣b，﹣1×2=c，

解得b=﹣1，c=﹣2

∴b+c=﹣3．

考点：根与系数的关系．

15．

【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．

解：由图象可知，当时，抛物线在直线的上方，

关于的不等式的解集是，

故答案为：．

【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．

16．或

【分析】利用配方法，将抛物线的一般式变形成顶点式，找到抛物线的对称轴，根据对称性，找到（3,0）的对称点坐标，通过函数值直接确定x的取值范围即可.

解：，

抛物线的对称轴为直线，

点关于直线的对称点为.

抛物线与x轴的另一个交点坐标为.

当函数值时，x的取值范围是或.

故答案为：或.

【点拨】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是正确理解题意，根据二次函数图像的对称性确定与x轴的另外一个交点.

错因分析：本题属于容易题.失分原因有2点：（1）不能通过抛物线的解析式求出抛物线与x轴的另一个交点；（2）审题不清，将当作从而出错.

17．或

【分析】直接根据函数的图象即可得出结论．

解：∵由函数图象可知，当或时，二次函数图象在一次函数图象的上方，

∴能使成立的x的取值范围是或．

故答案为：或．

【点拨】本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．

18．，

【分析】根据的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），即可得．

解：∵的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），

∴的根为，，

故答案为：，．

【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是理解题意．

19．（1），；（2）

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；

（2）令，可得，即可求解．

（1）解：把点和点代入得：

，

解得：，

∴这个抛物线的解析式为，

∵，

∴这个抛物线的顶点坐标为；

（2）解：当时，，

解得：，

∴抛物线与x轴两个交点坐标为，

∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为．

【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．

20．（1）见分析；（2）

【分析】（1）列出判别式，根据判别式的值的情况进行证明即可；

（2）通过A点代入求解得k，进而求出完整解析式，求出B的坐标即可计算AB的长度．

解：（1）由题意：==，

不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）将A（1，0）代入解析式得：，解得：，

此时抛物线得解析式为：，

令，解得，，故，

．

【点拨】本题考查二次函数与轴交点的问题，熟练掌握求解判别式及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．

21．（1）见分析；（2）16．

【分析】（1）根据b2-4ac与0的关系即可判断出二次函数y=2x2-4x-6的图象与x轴交点的个数；

（2）先求出抛物线y=2x2-4x-6与x轴的两个交点A、B的坐标，再求出顶点P的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解：（1）证明：△=b2-4ac

=（-4）2-4×2×（-6）

=64

∵△＞0，

∴该抛物线一定与x轴有两个交点．

（2）当y=0时得：2x2-4x-6=0   

解得：x1=-1，x2=3

即A（-1，0），B（3，0），

∴AB=4，

∵y=2x2-4x-6=2（x2-2x）-6=2 （x-1）2-8

∴P（1，-8）

∴△ABP的面积=

【点拨】本题考查了二次函数与x轴的交点，可以通过判别式△的符号判断抛物线与x轴的交点个数，当△＞0时，抛物线与x轴有两个不同交点，当△=0时，有一个交点，即顶点在x轴上，当△＜0，抛物线与x轴没有交点．

22．（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6

【分析】（1）将点A和点B的坐标代入解析式中，求出b，c的值，从而得到抛物线解析式；

（2）令x=0，得到y，从而可得点C坐标，再根据点A和点B坐标，利用三角形面积公式求出结果．

解：（1）将A（3，0）、B（－1，0）代入，

则，

解得：，

∴该抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；

（2）令x=0，

则y=3，

∴点C的坐标为（0，3），

∴△ABC的面积==6．

【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

23．（1）3；（2）（，0），（，0）．

解：（1）当x=0时，y=2，

∴OA=2，

∵，

∴OC=1，

∵PB⊥y轴，

∴OC∥BP，

∴△AOC∽△ABP，

∴，

∴BP=3；

（2）由（1）得P（3，－4），将点P（3，－4）代入得，，

∴，

∴，当y=0时，，

∴，，

∴抛物线与x轴的交点坐标是（，0），（，0）．

考点：二次函数综合题．

24．（1）；（2）顶点坐标是，对称轴是；（3）的面积为21，时，的取值范围是．

【分析】（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；

（2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；

（3）首先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案．

解：（1）∵二次函数的图像经过点、，

∴，

解这个方程组，得，

∴该二次函数的解析式是；

（2），

∴顶点坐标是；

对称轴是；

（3）∵二次函数的图像与轴交于，两点，

∴，

解这个方程得：，，

即二次函数与轴的两个交点的坐标为，．

∴的面积．

由图像可得，当时，，

故时，的取值范围是．

【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范围，用配方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键．