专题22.23 二次函数与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

这是一份专题22.23 二次函数与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版），共25页。

专题22.23 二次函数与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】二次函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程根的关系
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式

二次函数
一元二次方程

图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0


抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根


△＝0


抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根


△＜0


抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）


要点提醒：
　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
【知识点2】抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点提醒：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
【知识点3】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
　　用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点提醒：
　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：
　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
【知识点4】抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 （△＞0）
【知识点5】抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
判别式

抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0

或

△＝0

（或）
无解
△＜0

全体实数
无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点提醒：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【考点一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)➽➼➻化为顶点式➽➼➻对称轴✭✭顶点坐标

【考点一】抛物线与坐标轴的交点坐标
【例1】二次函数的图象与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意得出令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标，令，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标．
解：由图象与轴相交则，代入得：，
解方程得，
∴与轴交点的坐标是，
由图象与轴相交则，代入得：，
∴与轴交点坐标是；
故答案为；．
【点拨】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键．
【举一反三】
【变式1】已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求此抛物线的顶点坐标．
【答案】（1），，；（2）
【分析】（1）当时，解方程即可得到A、B的坐标，将代入即可得到点C的坐标；
（2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标．
解：（1）当时，
∴，
∴，
将代入得：
∴
（2）∵


∴顶点坐标是：
【点拨】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键．
【变式2】如图，抛物线与轴相交于点，，求的面积．

【答案】
【分析】先求出， ，三点的坐标即可得出，的长，进而可根据三角形的面积公式求出三角形的面积．
解： ，
当y=0时,
即
解得：或，故，，
当时，，故 ，
则，，
∴
【点拨】考查了抛物线与轴、轴的交点和三角形面积的求法，得到，的长是解题的关键．
【考点二】图象法解一元二次方程的近似根✭✭求一元二次不等式的解集
【例2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集

【答案】（1）；（2）-2 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质求出函数图象与x轴的两个交点坐标，再根据二次函数的图象利用图象法求解即可．
（2）根据二次函数的图象利用图象法求解不等式即可．
解：（1）如图所示，二次函数交于点，对称轴为
故另一个交点坐标为
故方程的两个根为
（2）如图所示，当时，
故不等式的解集为-2 【点拨】此题考查了利用图象法求解的问题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质、用图象法解一元二次方程和不等式．
【举一反三】
【变式1】如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集．

【答案】（1），；（2）或
【分析】（1）方程的根是二次函数与x轴的交点的横坐标，可由已知直接得出答案．
（2）本题可根据图像观察当，即二次函数y值大于零时x的取值范围直接得出答案．
解：（1）∵方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，且两交点分别为，，
∴方程的根为，．
（2）∵不等式的解集是抛物线在x轴上方的图象对应的x的取值范围，
∴由图可知的解集为或．
【点拨】本题考查二次函数，涉及二次函数与一元二次方程根的关系，求解二次函数不等式时，图像观察法更为便捷，熟练掌握可提升解题效率．
【变式2】如图，已知抛物线经过点．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当时，直接写出y的取值范围．

【答案】（1），顶点坐标；（2）
【分析】（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出y的取值范围．
（1）解：将代入，得：

解得：



此抛物线的顶点坐标为．
（2）解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
当时，y的取值范围为：．
【点拨】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
【考点三】利用不等式求自变量或函数值的取值范围
【例3】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点 
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，填空：
①当时，的取值范围是______；
②当时，的取值范围是______；

【答案】（1）；（2）①；②或
【分析】（1）由于过顶点，且经过点即可用顶点式求出函数表达式．
（2）①在图像上找出的范围，分析函数的增减性，从而求出此时的取值范围．
②在图像上找出的范围，观察在这范围中，满足条件的范围．
（1）解：经过顶点
解析式可变成顶点式，即
将点代入
得
得到表达式为
变形得一般式为
（2）①解：当时，函数表达式在上单调递增，在上单调递减，
即在时取最小值
在时取最大值
所以的取值范围是．
②解：当时，或
当时，或
结合图像分析
要使
即或．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握将函数表达式化为顶点式求函数解析式．掌握二次函数与不等式的关系．
【举一反三】
【变式1】如图所示，抛物线与x轴交于点、B两点，交y轴于点C，点P为抛物线顶点．  
（1）求二次函数解析式；
（2）当直线与这段函数图象有交点时，求b的取值范围；
（3）点、在抛物线上，若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把代入即可；
（2）先求出P点坐标，把和分别代入即可；
（3）因为点、在抛物线上，所以把和分别代入，即可求的取值范围．
（1）解：∵是抛物线上的点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴P点的坐标为，
当直线过点时，，解得，
当直线过点时，，解得，
∴b的取值范围是；
（3）解：∵点、在抛物线上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的取值范围为：．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的图像性质知识内容以及二次函数与不等式内容，正确掌握二次函数的图像性质以及二次函数与不等式内容是解题的关键．
【变式2】已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（1）抛物线对称轴为 ，A点坐标为 ．
（2）当时，不等式的解集为 ．
（3）已知点、，连接所得的线段与该抛物线有一个交点，求m的取值范围．

【答案】（1）；；（2）或；（3）m的取值范围为或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程可得答案；令，求出x的值，即可得出答案．
（2）由题意得，，求出方程的解，进而可得答案．
（3）分别求出抛物线顶点在线段上、抛物线经过点M或点N时m的值，进而可得答案．
（1）解：抛物线的对称轴为，
令，得，
解得，
在B的左侧，
，
故答案为：；；
（2），
，
解方程，得，
的解集为或，
即不等式的解集为或，
故答案为：或；
（3）当抛物线的顶点在上时，
即有两个相等的实数根，
，
解得（舍去），；
当抛物线经过线段的左端点N时，
把代入，
得，
解得，
当抛物线经过线段的右端点M时，
把代入，
得，
解得；
综上所述，m的取值范围为或．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点问题．
【考点四】由交点坐标确定不等式的解集
【例4】如图，二次函数的图象与y交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B．
（1）求二次函数与一次函数的表达式．
（2）根据图象，写出满足的x的取值范围．

【答案】（1）二次函数解析式为，一次函数解析式为
（2）或．
【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出一次函数解析式；
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上方或二者的交点处即可写出自变量x的取值范围．
（1）解：∵二次函数经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
在中，当时，
∴点C坐标，
∵对称轴为直线，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标，
∵一次函数经过点A、B，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为，
（2）解：由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象上方或二者的交点处时，或，
∴不等式，即不等式的x的取值范围为或．
【点拨】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
【举一反三】
【变式1】如图，直线与x轴交于点B．抛物线与该直线交于A、B两点，交y轴于点D（0，4），顶点为C．

（1）求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标．
（2）求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1）点A的坐标（－1，），y2＝－；（2）x≤－2或x=4
【分析】（1）根据直线与x轴交于点B，可以求得y=0时对应的x的值，从而可以得到点B的坐标，再根据抛物线过点D和点B，即可求得该抛物线的解析式，然后与直线联立方程组，即可求得点A的坐标；
（2）根据（1）求得的抛物线解析式，可以求得二次函数图像与x轴的交点E的坐标，然后结合图像，可以写出当时，x的取值范围．
解：（1）由直线＝－与x轴交于点B，可得点B的坐标为（4，0）．
把点B（4，0）与点D（0，4）代入＝－得

解得，
∴＝－，
∵点A为直线与抛物线的交点，
∴解方程－＝－
得x=－1，
∴点A的坐标（－1，）；
（2）当=0时，－=0，
解得，
∴点E的坐标为（-2，0），
结合图像，当时，x的取值范围是x≤－2或x=4．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
【变式2】已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）若点A是抛物线与x轴交点（在y轴右侧），点是抛物线上一点，直线AB的函数表达式为，求满足的x的取值范围．
【答案】（1），顶点坐标为；（2）
【分析】（1）根据公式求对称轴，将顶点坐标代入求解的值，进而可得抛物线解析式；
（2）画二次函数图象，根据图象与交点可得不等式的解集．
（1）解：对称轴为，
将代入抛物线得
解得或（舍去）
∴抛物线的函数表达式为，顶点坐标为．
（2）解：如图，

令，解得，或（舍去）
∴
由图象可知当时，．
【点拨】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，不等式的解集．解题的关键在于对二次函数知识的灵活运用．
【考点五】抛物线与坐标轴交点问题
【例5】已知二次函数（m是常数，）．
（1）当该函数的图象与x轴没有交点时，求m的取值范围；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴上方；
（3）把该函数的图象沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【答案】（1）；（2）；（3）4
【分析】（1）根据一元二次方程与二次函数的关系可得∶当二次函数与x轴没有交点时，即可求解；
（2）求出抛物线与y轴的交点坐标，即可求解；
（3）先将二次函数配方，可求得二次函数顶点坐标，当二次函数与x轴有一个交点时，则顶点坐标的纵坐标为0，即可求出二次函数沿y轴向上平移的单位长度．
（1）解：∵，且函数的图象与轴没有交点，
∴，
∴时，该函数的图象与轴都没有交点；
（2）解：当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
∵该函数的图象与y轴的交点在x轴上方，
∴，且，
解得：；
（3）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴把函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点．
【点拨】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线平移以及判别式的运用；熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线的顶点坐标是解决问题（3）的关键．
【举一反三】
【变式1】已知二次函数（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．
（2）求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上．
（3）已知点，线段AB与函数的图象有公共点，则a的取值范围是　 　．
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）
【分析】（1 ）计算判别式的值得到，从而根据判别式的意义得到结论；
（ 2）利用配方法得到二次函数的顶点坐标为，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
（ 3）先计算出抛物线与直线的交点的横坐标，然后结合图象得到且．
解：（1）证明：∵

，
所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）证明：，
二次函数的顶点坐标为
当时，，
所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上；
（3）当时，，解得，
当且时，线段AB与函数的图象有公共点，
所以a的范围为．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【变式2】已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】（1）m=1
（2）二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见分析．
【分析】（1）把P（2，4）代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P（2，4） ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m1=1，m2=−3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点拨】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
【考点六】抛物线方程根的情况
【例6】当m取何值时，抛物线与直线，（1）有公共点；（2）没有公共点．
【答案】（1）时两线有公共点；（2）时两线无公共点．
【分析】根据题意可得：，即，然后根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
解：由题意可得：，即，
，
（1）当，即时，有公共点；
（2）当，即时，没有公共点．
【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根据题意转化为一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式解答是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】已知函数y＝|x2﹣4|的大致图像如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）
（1）若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 _____．
（2）若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．

【答案】（1）4；（2）m＞4或m＝0．
【分析】（1）方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有3个交点，由此即可解决问题．
（2）方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有2个交点，由此即可解决问题．
（1）解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有3个交点，
因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），
观察图像可知，两个函数图像有3个交点时，m＝4．
故答案为：4．
（2）解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有2个交点，
因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），
观察图像可知，两个函数图像有2个交点时，m＞4或m＝0．
故答案为：m＞4或m＝0．
【点拨】此题考查二次函数与方程的综合题．将方程转化为求二次函数图像与直线的交点问题，利用数形结合、分类讨论的思想方法是解此题的关键．
【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）点B的坐标为 ；
（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为 ；
（3）方程的两个根为 ．

【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】（1）由图可得：、到直线的距离相等，根据的坐标，即可求出点坐标；
（2）利用图象得出函数对称轴进而得出随的增大而减小的自变量的取值范围；
（3）根据方程，即图象与轴交点，进而得出方程的两个根；
解：（1）由图可得：、到直线的距离相等，

点坐标为：
故答案为：；
（2）随的增大而减小的自变量的取值范围是：；
故答案为：；
（3）方程的两个根是：，；
故答案为：，；
【点拨】此题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点以及方程根与不等式等知识，正确利用数形结合得出是解题关键．
【考点七】抛物线与截线长问题
【例7】抛物线与x轴的交点分别为，．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若，求此抛物线的解析式．
【答案】（1）见分析；（2）．
【分析】（1）证明Δ＞0即可；
（2）利用抛物线与x轴的交点问题，则x1、x2为方程的两根，利用根与系数的关系得到x1＋x2＝-＝8，x1•x2＝，再变形|x1−x2|＝2得到（x1＋x2）2−4x1•x2＝4，所以82−4•＝4，然后解出m即可得到抛物线解析式．
解：（1）证明：△＝64m2−4m•（16m−1）＝4m，
∵m＞0，
∴Δ＞0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，x1、x2为方程的两根，
∴x1+x2＝-＝8，x1•x2＝，
∵|x1−x2|＝2，
∴（x1+x2）2−4 x1•x2＝4，
∴82−4•＝4，
∴m＝1，
经检验：符合题意；
∴抛物线的解析式为．
【点拨】本题考查了二次函数图象和系数的关系，抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
【举一反三】
【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
（3）当y≤时，直接写出x的取值范围是　．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）EF长为3；（3或．
【分析】（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，即可求解；
（2）把点D的y坐标代入y=-x2+2x+3，即可求解；
（3）直线EF下侧的图象符合要求．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，b＝2，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）把点D的y坐标y＝，代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝-或，

则EF长；
（3）由题意得：
当y≤时，直接写出x的取值范围是：或，
故答案为或．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．
【变式2】在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，且经过点．
（1）求的值；
（2）若此抛物线经过点，且与x轴相交于点，．
①求的值（用含的代数式表示）；
②当的值最小时，求抛物线的解析式；
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）①用待定系数法即可求解；
②根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据，继而根据二次函数的性质得出的值，即可求解．
解：（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：
；
（2）①∵，
∴
又∵此抛物线经过点，
∴，
即；
②由①可得抛物线解析式为，
令，即
∵与x轴相交于点，
∴是方程的两根，
∴
∴


∴当时，有最小值．
∴抛物线解析式为．
【点拨】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，二次函数与轴的截线长，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．