第七章 随机变量及其分布 章节验收测评卷-2023-2024学年度高二数学下学期同步精讲精练（人教A版选择性必修第三册）

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第七章 随机变量及其分布 章节验收测评卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2022·高二课时练习）4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：），则下列说法错误的是（    ）
A．该校学生每周平均阅读时间为
B．该校学生每周阅读时间的标准差为
C．若该校有名学生，则每周阅读时间在的人数约为
D．该校学生每周阅读时间不低于的人数约占
【答案】C
【详解】由知A，B正确；
因为，，每周阅读时间在的人数约占，人数约为，所以C错误；
该校学生每周阅读时间低于小时的人数约占，D正确；
故选：C.
2．（2022·高二课时练习）《易·系辞上》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说，河图、洛书是中华文化、易经八卦和阴阳五行术数之源．如图所示的河图中，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，
任取个数中有个阳数的概率，
任取个数中有个阳数的概率，
故这个数中至少有个阳数的概率，
故选：C．
3．（2022春·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）从编号为的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记：第一次抽到数字为6的倍数，：第二次抽到的数字小于第一次，则=（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】记事件：第一次抽到的数字为的倍数；事件：第二次抽到的数字小于第一次；
则数字为的倍数的数有：，所以，
第二次抽到的数字小于第一次的情况分为：
第一次抽到的数字为，第二次则抽到，共5种；
第一次抽到的数字为12，第二次则抽到，共11种；
第一次抽到的数字为18，第二次则抽到，共17种.
则，
.
故选：B.
4．（2022春·江西抚州·高二校联考期末）设随机变量的分布列为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意：
所以，得
所以
故选：C．
5．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.
乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为.
所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为.
解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙最终获胜的概率为.
故选：C.
6．（2022秋·江苏徐州·高三期末）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（    ）
（注：若，，，）
A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755
【答案】A
【详解】由题意可知，，可得
净重在179g与186.5g之间的概率为
由正态分布的对称性可知，
；
所以净重在179g与186.5g之间的概率为.
故选：A.
7．（2022春·黑龙江佳木斯·高二校联考期末）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且，
设Y=X-1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以，
于是（）.
所以，A错误；
，
，
所以，B错误；

，C错误，D正确
故选：D
8．（2022·全国·高三专题练习）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则“在函数的定义域为R的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，共36种情况，如下
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）

记函数的定义域为R为事件A，
即恒成立，需满足，即，
满足的有26种情况，故.
记函数为偶函数为事件B，
函数的定义域为，由偶函数的定义知，即或.
满足或的有6种情况，故,
故,
故选：B
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022春·重庆江北·高二重庆十八中校考期末）已知正态密度函数，，以下关于正态曲线的说法正确的是（    ）
A．曲线与轴之间区域的面积为1
B．曲线在处达到峰值
C．曲线关于直线对称
D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”
【答案】ABC
【详解】因正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1，则A正确；
因，有，因此，当且仅当时取“=”，
即曲线在处达到峰值，B正确；
因为，所以，即曲线关于直线对称，故C正确；
当越小，曲线越“瘦高”，故D错误.
故答案为：ABC
10．（2022秋·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内的个点的深度的均值为，标准偏差为，深度的点视为孤立点．则根据下表中某区域内8个点的数据，下列结论正确的是（    ）










15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.4
15.4
13.4

15.1
14.2
14.3
14.4
14.5
15.4
14.4
15.4

20
12
13
15
16
14
12
18

A． B． C．不是孤立点 D．是孤立点
【答案】BC
【详解】由表可知，A错误；
，B正确；
所以，
因为，所以，
则，，
所以、不是孤立点，C正确，D错误；
故选：BC
11．（2022春·浙江·高二校联考期中）已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中，下列说法正确的是（    ）
X
0
1
2
P



A． B．
C．有最大值 D．有最小值
【答案】AC
【详解】由题意可知 ，即 ，所以A正确.
，所以B不正确.

，
是开口向下的二次函数.
所以 在 上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，无最小值.
所以C正确，D不正确.
故选：AC.
12．（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（    ）
A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3
C． D．
【答案】ABD
【详解】设实际比赛局数为，
则，
，
，
因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；
则，
由，则常数项为3，则B正确；
由，则D正确；
由，
，所以，
令，则；令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以关于对称，且越极端，越可能快结束，有，得，则C不正确.
故选：ABD.
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022春·江苏南京·高二校考期中）已知随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
P



且设Y=3X+2，则E（Y）=________.
【答案】4
【详解】因为E（X）＝＋ ＝，
所以E（Y）＝E（3X＋2）＝3E（X）＋2＝＋2＝.
故答案为：
14．（2022春·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）已知，，则________.
【答案】##
【详解】由题意得，而，得，
而，解得，
故答案为：
15．（2022春·全国·高二期末）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和为4次的称为“神投小组”，获得二次“神投小组”的队员可以结束训练．已知甲、乙两名队员每次投进篮球的概率分别为，若，在游戏中，甲乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进行________轮游戏才行．
【答案】32
【详解】依题意，甲乙组队获得“神投小组”的概率，
而，则有，当且仅当时取“=”，
因此，，因甲乙在一轮游戏中有获得“神投小组”和没有获得“神投小组”两个结果，
则甲乙在n轮游戏中获得“神投小组”次数满足，，
甲乙两名队员想结束训练，他们必获得2次“神投小组”称号，即，解得，
所以甲乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进行32轮游戏才行．
故答案为：32
16．（2022·高一课时练习）某景区内有10个景点，其平面图如图所示，当时甲在A地，乙在B地，若每经过一个单位时间，他们都将随机走向与之相邻的任意一个景区，记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为，则_____；_________.

【答案】         
【详解】给每个景区编号，记t时刻，第个景点路径条数为，

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
sum

1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1

0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
4

4
1
2
2
1
1
1
1
1
0
14

6
7
8
8
7
4
4
2
2
4
52

观察表中数据，寻找规律，可以发现满足以下条件：
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∵图象对称，
∴，
.
故答案为：，.

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的界杯足球赛，体育生更是热爱观看世界杯，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计人数如下表所示：
班级
1
2
3
4
5
喜欢观看世界杯的人数
39
35
38
38
36
班级
6
7
8
9
10
喜欢观看世界杯的人数
39
40
37
40
38
(1)该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率；
(2)从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X，用上表中的频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）从10个班任取3个班有 种选法，人数完全相同只有1种选法，就是恰好抽取3,4,10班，
3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率 ；
（2）根据表格知：任取1个班人数为35,36,37,38,39,40的概率为0.1，0.1，0.1，0.3，0.2，0.2，
分布列如下表：
人数
35
36
37
38
39
40
概率
0.1
0.1
0.1
0.3
0.2
0.2
数学期望 (人)；
综上，（1）3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率；（2）数学期望为38.
18．（2022·全国·高三专题练习）为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在范围内，规定分数在80分以上（含80分）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下图所示．

(1)根据频率分布直方图计算所得分数的众数及中位数（中位数保留小数点后一位）
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)众数65分;中位数66.4分
(2)X的分布列见解析，数学期望为
（1）
由频率分布直方图，众数为65分，
又因为，
所以中位数在之间，为（分）；
（2）
由频率分布直方图，抽到“具有很强安全意识”的成年人的概率为，所以，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





期望
19．（2022秋·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）某校为缓解高三学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案：
方案1：先在处投一球，以后都在处投；
方案2：都在处投篮；
已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为．
(1)若甲同学选择方案1，求他初赛结束后所得总分的分布列和数学期望；
(2)你认为甲同学选择哪种方案通过初赛的可能性更大？说明理由．
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)甲同学选择方案2通过初赛的可能性更大，理由见解析.
（1）
设甲同学在处投中为事件，投不中为事件,在处第次投中为事件，第第次投不中为事件，
由已知，，则，,
的取值为0，2，3，4．
则，
，
，
，
的分布列为：

0
2
3
4





的数学期望为：．
（2）
甲同学选择方案1通过初赛的概率为，选择方案2通过初赛的概率为，
则，

，
∵，
∴甲同学选择方案2通过初赛的可能性更大．
20．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩，其中地理成绩均在（单位：分），将收集到的地理成绩按分组，得到频率分布直方图如下.

(1)求，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）.
【答案】(1)，估计该校2022年高考地理科的平均成绩为
(2)
【详解】（1）由题意可得：，
解得，
估计该校2022年高考地理科的平均成绩为.
（2）该校2022年所有参加高考的学生中任选1名，记“选到历史类考生”为事件A，“选到物理类考生”为事件B，“选到选考地理的考生”为事件C，则有，
∴，
记“选到高考地理成绩不低于90分”为事件D，则，
∴，
故，
若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，选到历史类考生的概率.
21．（2022秋·北京西城·高三北京师大附中校考期末）玩具柜台元旦前夕促销，就在12月31日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
(1)记事件：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶；事件：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求及；
(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求；
②若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利30元，卖出一个乙系列的盲盒可获利20元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出1000个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案）
【答案】(1),；
(2)①，②24000.
【详解】（1）由题意，
.
（2）①由题意可知：
②当时，，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以
因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，
所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，
可以看作n趋向无穷大，由样本估计总体可知：
购买甲系列盲盒的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的个数，
则，
所以，即购买甲系列盲盒的个数的期望为400，
所以礼品店应卖出甲系列盲盒400个，乙系列盲盒600个.
估计利润为：（元）.
22．（2022春·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）某市2022年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）．设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得．该厂决定将消毒液分为A、B、C级三个等级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：

(1)该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；
(2)已知每瓶消毒液的等级与售价X（单位：元/瓶）的关系如下表所示：
等级
A
B
C
售价X
30
25
10
假定该厂一年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：该厂能否在一年之内收回投资？试说明理由．
附：若，则，，．
【答案】(1)84000瓶
(2)能，理由见解析
（1）根据频率分布直方图的性质，可得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为：，
由题意，甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，
所以
，
又由，
所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有84000瓶．
（2）设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10，5，，
可得
，
，
所以，
故Y的分布列为：
Y
10
5

P
0.00135
0.8400
0.15865
所以每瓶消毒液的平均利润为：（元），
故生产一年消毒液所获利润为（千万元），
而2.6270（千万元）（千万元），
所以该厂能在一年之内收回投资．