2021学年7.5 正态分布综合训练题

专题05二项分布、超几何分布与正态分布

一、单选题

1．（2020·全国高二课时练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设表示向上一面出现6点的次数，则的数学期望的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为

故选：D

2．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数的数学期望是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【详解】

由题意可知：，

因此面试结束后通过的人数的数学期望是.

故选：A

3．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））已知，且，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为服从二项分布，所以，得，故．

故选：D.

4．（2021·山东德州市·高二期末）已知随机变量服从二项分布，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，解得．

故选：A．

5．（2020·全国高二课时练习）已知圆的圆心到直线的距离为，若，则使的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意，知圆心坐标为，

圆心到直线的距离为

则，解得或．

因为，所以．

因为，

所以．

故选：D．

6．（2021·辽宁大连市·高三期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为

故答案为：C.

7．（2020·江苏省苏州中学园区校高二月考）设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【详解】

因为随机变量服从正态分布，，

根据正态分布的特征，可得，解得.

故选：B．

8．（多选）（2021·全国高二课时练习）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是(    )

A．这5个家庭均有小汽车的概率为

B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为

C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车

D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为

【答案】ACD

【详解】

由题得小汽车的普及率为，

A. 这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题；

B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为,所以该命题是假命题；

C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；

D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为=,所以该命题是真命题.

故选：ACD.

9．（多选）（2020·全国高三专题练习）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（    ）

A．X服从二项分布 B．

C．X的期望 D．X的方差

【答案】ABC

【详解】

解：由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，

且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：

①后4个数出现0，，记其概率为；

②后4个数位只出现1个1，，记其概率为；

③后4位数位出现2个1，，记其概率为，

④后4个数为上出现3个1，记其概率为，

⑤后4个数为都出现1，，记其概率为，

故，故正确；

又，故正确；

，，故正确；

，的方差，故错误．

故选：．

10．（2020·江苏南京市·南京田家炳高级中学高三期中）下列命题中，正确的命题是（    ）

A．已知随机变量服从二项分布，若，，则

B．已知，则

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.

【答案】BCD

【详解】

对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，故选项A错误；

对于选项B：根据排列数和组合数的计算公式可得，

，，

因为，所以有，即

解得，故选项B正确；

对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，即，故选项C正确；

对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，

当时，对应的概率，

所以当时，，

由得，即，

因为，所以且，

即时，概率最大，故选项D正确．

故选：BCD.

二、填空题

11．（2021·江西高三其他模拟（理））已知随机变量服从正态分布，，则______.

【答案】0.16

【详解】

因为随机变量服从正态分布，

所以，

又，

所以.

故答案为：0.16

12．（2020·福建三明市·高二期末）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则______；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率为______.

（附：若随机变量服从正态分布，则，，.）

【答案】3    0.1359   

【详解】

解：由图中密度函数解析式，可得；

又由图象可知，则长度误差落在内的概率为：

．

故答案为：3；0.1359．

三、解答题

13．（2021·全国高二课时练习）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，整理得到如下频率分布直方图：

（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；

（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；

（3）若规定分数在为“良好”,为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】（1）人（2）（3）详见解析

【详解】

解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人

∴估计总体中女生人数人

（2）设“不及格”为事件A,则“及格”为事件

∴

（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B,则

依题意可知：

,

所以,X的分布列为

14．（2020·全国高三专题练习（理））袋子中有个白球和个红球．

（1）每次取个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数的分布列；

（2）每次取个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过次，求取球次数的分布列；

（3）每次取个球，有放回，共取次，求取到白球次数的分布列．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.

【详解】

（1）由题意，可能取值，，.

则，，，

所以的分布列为

（2）可能取值为，，，，.

则，，，

，，

故的分布列为

（3）由题意可得，，

所以，，

则，，，，，，

所以的分布列为

15．（2021·全国高三其他模拟）某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．

方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．

方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．

（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．

（2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．

【答案】（1）；（2）选择方案一更划算．

【详解】

（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件，则．

∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为．

（2）若小勇选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为360，480，600．

则，，．

故的分布列为

∴（元）．

若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则．

由已知，可得，故，

∴（元）．

由上知：，故小勇选择方案一更划算．

16．（2021·全国高二课时练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).

（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).

（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.

（i）求出f(p)的最大值点;

（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.

参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.

【答案】（1）140；（2）（i）；（ii）分布列见解析.

【详解】

（1）因为ξ服从正态分布N (270， )，所以，

所以质量指标在(260，265]内的排球个数为个；

（2）（i），

令，得，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

所以的最大值点；

（ii）的可能取值为0，1，2，3.

；；

；；

所以的分布列为