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    数学人教A版 (2019)7.5 正态分布课时练习

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    这是一份数学人教A版 (2019)7.5 正态分布课时练习,共6页。试卷主要包含了5 正态分布,2B,设X~N,证明P=2P等内容,欢迎下载使用。

    第七章随机变量及其分布

    7.5 正态分布

    课后篇巩固提升

    必备知识基础练

    1.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是(  )

                    

    A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件

    B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件

    C.随机变量落在[-3σ,3σ]之外是一个小概率事件

    D.随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件

    答案D

    2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ<4)=0.9,P(-2ξ1)=(  )

    A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6

    答案C

    解析由题意可知正态曲线关于x=1对称,P(ξ>4)=1-P(ξ<4)=0.1,

    根据对称性可知,P(ξ<-2)=P(ξ>4)=0.1,

    P(-2ξ1)=0.5-P(ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.

    3.已知X~N(0,1),X在区间(-,-2)内取值的概率为(  )

    A.0.954 5 B.0.045 5

    C.0.977 3 D.0.022 75

    答案D

    解析由题知对应的正态曲线的对称轴为x=0,

    所以P(X<-2)=0.5-P(-2X2)0.5-0.954 5=0.022 75.

    4.若随机变量X~N(1,22),D等于(  )

    A.4 B.2 C D.1

    答案D

    解析因为X~N(1,22),所以D(X)=4,

    所以DD(X)=1.

    5.若随机变量X~N(1,22),Y=3X-1服从的总体分布可记为        . 

    答案Y~N(2,62)

    解析X~N(1,22),

    μ=1,σ=2,E(X)=1,D(X)=4.

    Y=3X-1,E(Y)=3E(X)-1=2,

    D(Y)=9D(X)=62.

    Y~N(2,62).

    6.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90ξ100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为    . 

    答案10

    解析由题意知,P(ξ>110)==0.2,故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.

    7.已知某地外来务工人员年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.

    (1)写出此地外来务工人员年均收入的密度函数解析式;

    (2)求此地外来务工人员年均收入在8 000~8 500元的人数所占的百分比.

    设此地外来务工人员年均收入X~N(μ,σ2),

    结合题图可知,μ=8 000,σ=500.

    (1)此地外来务工人员年均收入的密度函数解析式为

    f(x)=,xR.

    (2)P(7 500X8 500)

    =P(8 000-500X8 000+500)0.682 7,

    P(8 000X8 500)=P(7 500X8 500)

    0.341 35=34.135%.

    故此地外来务工人员年均收入在8 000~8 500元的人数所占的百分比为34.135%.

    8.X~N(4,1),证明P(2X6)=2P(2X4).

    证明因为μ=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,所以P(2x4)=P(4X6).

    又因为P(2X6)=P(2X4)+P(4X6),

    所以P(2X6)=2P(2X4).

    关键能力提升练

    9.若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)=,X(-2,-1)(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,p1,p2的关系为(  )

    A.p1>p2 B.p1<p2

    C.p1=p2 D.不确定

    答案C

    解析由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.

    10.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),P(ξ>1)=p,P(-1ξ0)=(  )

    A+p B.1-p 

    C.1-2p D-p

    答案D

    解析由已知得P(-1ξ0)=P(-1ξ1)

    =[1-2P(ξ>1)]=-p.

    11.某厂生产的零件外径X~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9,9.3,则可认为(  )

    A.上午生产情况正常,下午生产情况异常

    B.上午生产情况异常,下午生产情况正常

    C.上午、下午生产情况均正常

    D.上午、下午生产情况均异常

    答案A

    解析因为测量值X为随机变量,X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],9.9I,9.3I.

    12.设随机变量ξ服从正态分布N(3,7),P(ξ>a+2)=P(ξ<a-2),a=(  )

    A.1 B.2 C.3 D.4

    答案C

    解析随机变量ξ服从正态分布N(3,7),P(ξ>a+2)=P(ξ<a-2),a+2+a-2=6,解得a=3.

    13.(多选)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),其正态曲线在(-,80)上单调递增,(80,+)上单调递减,P(72X88)0.682 7,(  )

    A.μ=80

    B.σ=4

    C.P(X>64)=0.977 25

    D.P(64X72)=0.135 9

    答案ACD

    解析因为正态曲线在(-,80)上单调递增,(80,+)上单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,所以μ=80;因为P(72X88)0.682 7,结合P(μ-σXμ+σ)0.682 7,可知σ=8;

    因为P(μ-2σXμ+2σ)0.954 5,

    P(X<64)=P(X>96),

    所以P(X<64)(1-0.954 5)

    =0.045 5=0.022 75,

    所以P(X>64)=0.977 25;

    因为P(X<72)=(1-P(72X88))(1-0.682 7)=0.158 65,

    所以P(64X72)=P(X>64)-P(X>72)=0.977 25-(1-0.158 65)=0.135 9.

    14.已知X~N(4,σ2),P(2X6)0.682 7,σ=     ,P(|X-2|4)     . 

    答案2 0.84

    解析X~N(4,σ2),

    μ=4.

    P(2X6)0.682 7,

    σ=2.

    P(|X-2|4)=P(-2X6)

    =P(-2X2)+P(2X6)

    =[P(-2X10)-P(2X6)]+P(2X6)

    =P(-2X10)+P(2X6)0.84.

    15.随机变量X服从正态分布N(10,σ2),P(X>12)=m,P(8X10)=n,的最小值为     . 

    答案6+4

    解析随机变量X服从正态分布N(10,σ2),

    P(X10)=

    P(8X10)=n,P(10X12)=n.

    P(X>12)=m,

    m+n=,m>0,n>0.

    (2m+2n)=6+6+2=6+4,当且仅当,m=,n=时等号成立.

    的最小值为6+4

    16.某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)N(7,12).投资者要求利润超过5万元的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?

    对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ1=8,σ1=3,

    P(X>5)==0.841 35.

    对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ2=7,σ2=1,

    P(X>5)==0.977 25.

    显然第二个方案利润超过5万元的概率比较大,故他应该选择第二个方案.

    17.某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).

    (1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73 mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;

    (2)如果钢管的直径X60.6 mm~69.4 mm之间为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3,求次品数Y的分布列和数学期望.(精确到0.01)

    (参考数据:X~N(μ,σ2),P(μ-σXμ+σ)0.682 7;P(μ-2σXμ+2σ)0.954 5;P(μ-3σXμ+3σ)0.997 3)

    (1)由题得μ=65,σ=2.2,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,73(μ+3σ,+),P(X>71.6)==0.001 35,此事件为小概率事件,故该质检员的决定有道理.

    (2)因为μ=65,σ=2.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由题意可知钢管直径满足μ-2σXμ+2σ为合格品,

    所以该批钢管为合格品的概率约为0.95,

    所以在60根钢管中,合格品约57,次品约3,任意挑选3,则次品数Y的可能取值为0,1,2,3.

    P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=

    则次品数Y的分布列为

    Y

    0

    1

    2

    3

    P

     

     

    所以E(Y)=0+1+2+30.15.

    学科素养创新练

    18.从某企业生产的某种产品中抽取500,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图如图所示.

    (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

    (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.

    利用该正态分布,P(187.8Z212.2);

    某用户从该企业购买了100件这种产品,X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用的结果,E(X).

    :12.2.

    Z~N(μ,σ2),P(μ-σZμ+σ)0.682 7,P(μ-2σZμ+2σ)0.954 5.

    (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,

    s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.

    (2)(1),Z~N(200,150),

    从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)0.682 7.

    ,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7,

    依题意知X~B(100,0.682 7),所以E(X)=100×0.682 7=68.27.

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