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初中苏科版5.2 平面直角坐标系优秀复习练习题
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这是一份初中苏科版5.2 平面直角坐标系优秀复习练习题，文件包含第5章《平面直角坐标系》原卷版docx、第5章《平面直角坐标系》解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年苏科版数学八年级上册章节考点精讲精练
第5章《平面直角坐标系》
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知识点01：有序数对
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.
知识点02：平面直角坐标系
平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点.如下图：
细节剖析：
（1）两条坐标轴将平面分成4个区域：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何一个象限.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；
y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；
平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补
知识点03：坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
细节剖析：
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
细节剖析：
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
细节剖析：
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
考点提优练
考点01：坐标确定位置
1．（2021秋•南召县期末）如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确的是（ ）
A．北偏东55°，2km B．东北方向
C．东偏北35°，2km D．北偏东35°，2km
解：∵小明家在少年宫的南偏西55°方向的2km处，
∴少年宫在小明家的北偏东35°方向的2km处．
故选：D．
2．（2022•龙华区校级模拟）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用（﹣2，0）表示，小军的位置用（0，1）表示，那么你的位置可以表示成（ ）
A．（2，3） B．（4，5） C．（3，2） D．（2，1）
解：如图所示：
你的位置可以表示成（2，3），
故选：A．
3．（2021秋•渭滨区期末）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（﹣2，2）黑棋（乙）的坐标为（﹣1，﹣2），则白棋（甲）的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（0，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系：
由坐标系知白棋（甲）的坐标是（2，1），
故选：D．
4．（2022春•启东市期末）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为 （3，2） ．
解：如图所示：棋子“炮”的坐标为（3，2）．
故答案是：（3，2）．
5．（2022春•增城区期末）在国家体育馆“鸟巢”一侧的座位上，6排3号记为（6，3），则5排8号记为 （5，8） ．
解：∵6排3号记为（6，3），
∴5排8号记为（5，8），
故答案为：（5，8）．
6．（2022春•罗定市期中）小明给右图建立平面直角坐标系，使医院的坐标为（0，0），火车站的坐标为（2，2）．
（1）写出体育场、文化宫、超市、宾馆、市场的坐标；
（2）分别指出（1）中每个场所所在象限．
解：（1）体育场的坐标为（﹣2，5），文化宫的坐标为（﹣1，3），超市的坐标为（4，﹣1），宾馆的坐标为（4，4），市场的坐标为（6，5）；
（2）体育场、文化宫在第二象限，市场、宾馆在第一象限，超市在第四象限．
7．（2022春•确山县期末）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）A→C（ +3 ， +4 ），B→C（ +2 ， 0 ），
C→D （ +1 ， ﹣2 ）；
（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最少路程；
（3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．
解：（1）A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；
（2）1+4+2+1+2＝10；
（3）点P如图所示．
8．（2020秋•碑林区校级月考）如图，已知A、B两村庄的坐标分别为A（2，2），B（5，1），一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发．
（1）汽车行驶到离B村最近的点的坐标是 （5，0） ；
（2）汽车行驶到x轴的某一点P时到A、B两村的距离的差最大．
①请写出P点的坐标，并在图中标出点P；
②求出PA﹣PB的最大值，并说明理由；
（3）在y轴上有一村庄Q，若Q村到A村的距离等于A村到B村的距离，请你求出Q村的坐标．
解：（1）由题意，汽车行驶到离B村最近的点的坐标是（5，0）．
故答案为（5，0）．
（2）①如图，点P即为所求．P（8，0）．
②∵PA﹣PB≤AB，
∴当点P在AB的延长线上时，PA﹣PB的值最大，最大值＝AB＝＝．
（3）设Q（0，m），∵QA＝AB，
∴（m﹣2）2+22＝32+12，
解得m＝2+或2﹣，
∴Q（0，2+）或（0，2﹣）．
考点02：两点间的距离公式
9．（2022春•巩义市期末）在平面直角坐标系中，有A（a+2，﹣2），B（4，a﹣3）两点，若AB∥x轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵AB∥x轴，
∴A点和B点的纵坐标相等，
即a﹣3＝﹣2，解得a＝1，
∴A（3，﹣2），B（4，﹣2），
∴A、B两点间的距离为4﹣3＝1．
故选：A．
10．（2017•西城区校级自主招生）代数式的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．11
解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），
原式可化为+，
即＝AP，＝BP，
AB＝＝13．
代数式的最小值为13．
故选：B．
11．（2021秋•任城区校级期末）点P（﹣2，﹣3）和点Q（3，﹣3）的距离为 5 ．
解：点P和点Q的间的距离＝＝5．
故答案为5．
12．（2017秋•浦东新区期末）如果点A的坐标为（3，5），点B的坐标为（0，﹣4），那么A、B两点的距离等于 3 ．
解：A、B两点间的距离＝＝3．
故答案为3．
13．（2021•张家界模拟）问题情境：
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；
【应用】：
（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 3 ．
（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 （1，2）或（1，﹣2） ．
【拓展】：
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．
解决下列问题：
（1）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F） ＝5 ；
（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝ 2或﹣2 ．
（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝ 4或8 ．
解：【应用】：
（1）AB的长度为|﹣1﹣2|＝3．
故答案为：3．
（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），
∵CD＝2，
∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2，
∴点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．
故答案为：（1，2）或（1，﹣2）．
【拓展】：
（1）d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5．
故答案为：＝5．
（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3，
∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2．
故答案为：2或﹣2．
（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），
∵三角形OPQ的面积为3，
∴|x|×3＝3，解得：x＝±2．
当点Q的坐标为（2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4；
当点Q的坐标为（﹣2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8．
故答案为：4或8．
14．（2021•安徽模拟）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴|AB|＝＝13，即A、B两点间的距离是13；
（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，
∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），
∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
15．（2020秋•永安市期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则该两点间距离公式为P1P2＝，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可化简成|x1﹣x2|和|y1﹣y2|．
（1）若已知两点A（3，3），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为﹣2，试求M，N两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点的坐标为A（﹣1，），B（，），C（，），你能判定这三点是否共线？若共线请说明理由，若不共线请求出图形的面积．
解：（1）∵点A（3，3），B（﹣2，﹣1），
∴AB＝＝，
即A，B两点间的距离是；
（2）∵点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为﹣2，
∴MN＝|﹣2﹣7|＝9，
即M，N两点间的距离是9；
（3）这三点不共线，
该三角形为直角三角形．
理由：∵一个三角形各顶点的坐标为A（﹣1，），B（，），C（，），
∴AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，
∵AB2+AC2＝（）2+（）2＝（）2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB•AC＝××＝．
考点03：关于x轴、y轴对称的点的坐标
16．（2021秋•市中区校级期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣
解：∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣b），
∴，
解得：k＝﹣．
故选：B．
17．（2021秋•会宁县期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣，1）关于x轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：点P（﹣，1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣，﹣1），
则点P（﹣，1）关于x轴的对称点在第三象限．
故选：C．
18．（2021秋•砚山县期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，5）关于y轴对称点的坐标为 （1，5） ．
解：∵点P（﹣1，5），
∴关于y轴的对称点坐标为（1，5），
故答案为：（1，5）．
19．（2021秋•勃利县期末）若点A（m+2，﹣3）与点B（4，n+5）关于x轴对称，则（mn）2＝ 16 ．
解：由题意，得
m+2＝4，n+5＝3，
解得m＝﹣2，n＝﹣2．
（mn）2＝[﹣2×（﹣2）]2＝16，
故答案为：16．
20．（2021秋•和平区校级期中）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣4，0），点A关于y轴对称的点为点C．
（1）请在网格图中标出点A和点C．
（2）△ABC的面积是 16 ；
（3）在y轴上找一点D，使S△ACD＝S△ABC，请直接写出点D的坐标 （0，4）或（0，﹣4） ．
解：（1）如图，点A，点C即为所求；
（2）S△ABC＝×8×4＝16；
故答案为：16．
（3）如图，满足条件的点D的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．
21．（2019秋•昌平区校级期末）如图，请作出△PQR关于y轴对称的△P1Q1R1，写出它们的坐标P1 （4，﹣1） ，Q1 （1，4） ，R1 （﹣1，1）
解：如图，△P1Q1R1即为所求．
观察图象可知：P1（4，﹣1）、Q1（1，4）、R1（﹣1，1），
故答案为（4，﹣1），（1，4），（﹣1，1）．
考点04：坐标与图形变化-对称
22．（2021秋•龙山县期末）关于四个结论：①成轴对称的两个图形全等；②等边三角形有三条对称轴；③等腰三角形的一个角是100°，它的另外两个角相等；④点（3，6）关于y轴的对称点是点（3，﹣6）．正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③
解：①成轴对称的两个图形全等，是真命题；
②等边三角形有三条对称轴，是真命题；
③等腰三角形的一个角是100°，它的另外两个角相等，是真命题；
④点（3，6）关于y轴的对称点是点（﹣3，6），原命题是假命题．
故选：B．
23．（2021秋•莘县期中）在平面直角坐标系中，直线l是经过点（1，0）且平行于y轴的直线，点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于直线l轴对称，则（m+n）2020的值为（ ）
A．0 B．1 C．32020 D．52020
解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于直线x＝1对称，
∴＝1，3＝n﹣1，
∴m＝1，n＝4，
∴m+n＝5，
故选：D．
24．（2021秋•黄陂区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，3）在y轴上，连接AB，∠ABO＝60°，过y轴上一点P（0，m）作直线l⊥AB，OB关于直线l的对称线段为O1B1，若线段O1B1和过A点且垂直于x轴的直线a有公共点，则m的取值范围是 ﹣6≤m≤﹣3 ．
解：如图1中，当点B1与A重合时，
∵直线l垂直平分线段AB，
∴PB＝PA，
∵∠ABP＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴PB＝AB，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，OB＝3，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB＝6，
∴PB＝AB＝6，
∴OP＝3，
∴m＝﹣3，
如图2中，当点O1落在直线a上时，同法可证△OPO1是等边三角形，
∵AB∥OO1，OB∥AO1，
∴四边形ABOO1是平行四边形，
∴OO1＝AB＝6，
∴OP＝OO1＝6，
∴m＝﹣6，
观察图象可知，满足条件的m的值为：﹣6≤m≤﹣3，
故答案为：﹣6≤m≤﹣3，
25．（2021秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C为第一象限内的整点．若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则点C的坐标可以是 （3.1）（答案不唯一） （写出一个即可），满足题意的点C的个数为 6 ．
解：由不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，
则△ABC是等腰三角形，
如图，共有符合要求的点C有6个．
其中点C坐标为（3，1）（答案不唯一），
故答案为：（3，1）（不唯一），6．
26．（2022•和平区校级开学）如图，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），请根据每一问的要求填空：
（1）写出P关于y轴的对称点Q的坐标 （2，4） ，M关于y轴的对称点N的坐标 （1，1） ；
（2）写出P关于x＝1的对称点R的坐标 （4，4） ，则PR的距离为 6 ；
（3）写出M关于x轴的对称点T的坐标 （﹣1，﹣1） ，则NT的距离为 2 ．
解：（1）如图，点Q，点N即为所求，Q（2，4），N（1，1）．
故答案为：（2，4），（1，1）；
（2）如图，点R即为所求，R（4，4），PR＝6．
故答案为：（4，4），6；
（3）如图，点T即为所求．T（﹣1，﹣1），NT＝＝2．
故答案为：（﹣1，﹣1），2．
27．（2021秋•建阳区期中）如图，P，M关于直线x＝1的对称点为P′，M′．
（1）写出P′的坐标 （4，4） ，M′的坐标 （3，1） ；
（2）思考，写出P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标 （0，4） ；写出N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标 （﹣1，﹣2） ；
（3）思考，写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标 （2n﹣a，b） ．
解：（1）由题意，P′（4，4），M′（3，1），
故答案为：（4，4），（3，1）；
（2）P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标（0，4）；N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标（﹣1，﹣2）．
故答案为：（0，4），（﹣1，﹣2）；
（3）设对称点坐标为（x，y），
则有＝n，y＝b，
x＝2n﹣a，
∴点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标（2n﹣a，b）．
故答案为：（2n﹣a，b）．
28．（2019秋•咸丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
考点05：坐标与图形变化-平移
29．（2022秋•天长市月考）将点（﹣2，3）先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的点的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣1） B．（﹣6，7） C．（2，﹣1） D．（2，7）
解：将点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（﹣2﹣4，3﹣4，即（﹣6，﹣1），
故选：A．
30．（2021秋•青田县期末）在如图所示的方格纸中有四条线段a，b，c，d，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成一个三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（ ）
A．10种 B．11种 C．12种 D．13种
解：如图，观察图象可知，线段b，c，d可以组成三角形，一共有5种情形，线段a，b，c可以组成三角形，一共有6种情形，共11种情形，
故选：B．
31．（2021秋•招远市期末）如图，点A的坐标为（1，4），点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为8，则点C的坐标为（ ）
A．（ 2，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为8，点A的坐标为（1，4），
∴4AC＝8，
∴AC＝2，
∴C（3，4），
故选：B．
32．（2022•岳麓区校级开学）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3），先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为 （1，﹣1） ．
解：点M（﹣1，3），先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（﹣1+2，3﹣4），即（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
33．（2022春•康县期末）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，2）向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为 （﹣2，0） ．
解：平移后点Q的坐标为（﹣1﹣1，2﹣2），即（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
34．（2020秋•江北区期末）在平面直角坐标系中，点B（3，2）是由点A（﹣2，2）向右平移a个单位长度得到，则a的值为 5 ．
解：点B（3，2）是由点A（﹣2，2）向右平移5个单位长度得到，
则a的值为5．
故答案为5．
35．（2020秋•成都期中）已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为 （3，0） ．
解：∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，
∴a﹣5＝0，
解得：a＝5，
∵B（3a+2，b+3）在x轴上，
∴b+3＝0，
解得：b＝﹣3，
∴C点坐标为（5，﹣3），
∵C向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，
∴所的对应点坐标为（5﹣2，﹣3+3），
即（3，0），
故答案为：（3，0）．
36．（2022春•惠东县期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A′的坐标：A（ 1 ， 0 ），A′（ ﹣4 ， 4 ）．
（2）请说明三角形A′B'C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2n﹣8，m﹣4），求m和n的值．
解：（1）观察图象可知A（1，0），A′（﹣4，4）．
故答案为：1，0，﹣4，4；
（2）三角形A′B'C′是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．
（3）由题意，，
解得，．
37．（2022春•西平县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过 △ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′， 平移得到的．
（3）已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是（ a+4 ， b﹣3 ）．
解：（1）如图，△ABC即为所求，S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×3×2＝8；
（2）△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′，
故答案为：△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′，
（3）P′（a+4，b﹣3），
故答案为：a+4，b﹣3．
38．（2022春•旌阳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的？
（3）已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标（ a+4 ， b﹣3 ）．
解：（1）如图，△ABC即为所求．
S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×2×3＝8；
（2）先向右平移4个单位，再向下平移3个单位．
（3）由题意P′（a+4，b﹣3）．
故答案为：a+4，b﹣3．
考点06：坐标与图形变化-旋转
39．（2022秋•东港区校级月考）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，∠AOB＝60°，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．或
C．或 D．或
解：如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，
∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣m2＝（2）2﹣（6﹣m）2，
∴m＝2，
∴AH＝，
∴A（2，2），
若将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，如图，过点A′作A′J⊥x轴于点J．则△AOH≌△OA′J，
∴OJ＝AH＝2，A′J＝OH＝2，
∴旋转后点A的对应点A′（﹣2，2），
同法将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A″（2，﹣2），
故选：C．
40．（2021秋•兴化市校级月考）已知：如图，平面直角坐标系xOy中，B（0，1），OB＝OC＝OA，A、C分别在x轴的正负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E．若△OCD与△BDE的面积相等，求点D的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，3） D．（0，2）
解：∵OB＝OC＝OA，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°；
∵B（0，1），
∴A（1，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b．
∴，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1；
∵S△COD＝S△BDE，
∴S△COD+S四边形AODE＝S△BDE+S四边形AODE，
即S△ACE＝S△AOB，
∵点E在线段AB上，
∴点E在第一象限，且yE＞0，
∴×AC×yE＝×OA×OB，
∴×2×yE＝×1×1，
yE＝，
把y＝代入直线AB的解析式得：＝﹣x+1，
∴x＝，
设直线CE的解析式是：y＝mx+n，
∵C（﹣1，0），E（，）代入得：，
解得：m＝，n＝，
∴直线CE的解析式为y＝x+，
令x＝0，则y＝，
∴D的坐标为（0，）．
故选：A．
41．（2022•绿园区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连结AO，过点A作AB⊥x轴于点B，AB＝，OB＝1，把△ABO绕点O逆时针旋转120°后，得到△A1B1O，则点A1的坐标为 （﹣2，0） ．
解：在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝2，
∵△ABO绕点O逆时针旋转120°，
∴点A1落在x中点负半轴上，
∴A1（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
42．（2021秋•南京期末）在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点逆时针旋转90°，则点A'的坐标为 （，1） ．
解：如图，
∵B（2，0），
∴OB＝2，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝2，
∵△A′OB′是等边三角形，
∴OA′＝A′B′＝OB′＝2，
∵A′H⊥OB′，
∴OH＝HB′＝1，
∴A′H＝＝＝，
∴A′（﹣，1）．
故答案为：（﹣，1）．
43．（2021秋•龙口市期末）如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，其中A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是 （1，1）或（4，4）． ．
解：如图所示，分两种情形，旋转中心分别为（1，1）或（4，4）；
故答案为（1，1）或（4，4）．
44．（2021秋•汉阳区校级月考）如图，B（0，3），A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC，连接OC，则当OC取最小值时，A点的坐标是 （﹣，0） ．
解：如图，在x轴的正半轴上取一点H，使得OH＝OB＝3，在OB上取一点D，使得OD＝OA．
∵OB＝OH，OD＝OA，
∴BD＝AH，
∵∠HAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠HAC＝∠DBA，
∵BA＝AC，
∵△BDA≌△AHC（SAS），
∴∠AHC＝∠ADB，
∵OD＝OA，∠AOD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴∠AHC＝∠ADB＝135°，
∵H（3，0），
∴直线CH的解析式为y＝x﹣3，
∴点C在直线y＝x﹣3上运动，作OP⊥CH于P，OP＝OH＝，
此时P（3，﹣3），即C（3，﹣3），
设A（m，0），
∵AB＝AC，
∴m2+32＝（m﹣3）2+32，
解得m＝﹣，
∴A（﹣，0）．
故答案为（﹣，0）．
45．（2021秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，t―2）与点N关于过点（0，t）且垂直于y轴的直线对称．
（1）当t＝﹣3时，点N的坐标为 （2，﹣1） ；
（2）以MN为底边作等腰三角形MNP．
①当t＝1且直线MP经过原点O时，点P坐标为 （﹣2，﹣1） ；
②若△MNP上所有点到x轴的距离都不小于a（a是正实数），则t的取值范围是 t≥a+2或t≤﹣a﹣2 （用含a的代数式表示）．
解：（1）如图1中，由题意，M（2，﹣5），
∵M，N关于直线t＝﹣3对称，
∴N（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）；
（2）①如图2中，由题意M（2，﹣1），
∴直线OM的解析式为y＝﹣x，
当y＝1时，x＝﹣2，
∴P（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
②由题意M（2，t﹣2），N（2，t+2），
观察图象可知，当t﹣2≥a或t+2≤﹣a时，满足条件，
解得，t≥a+2或t≤﹣a﹣2．
故答案为：t≥a+2或t≤﹣a﹣2．
46．（2021秋•栾城区校级期末）在平面直角坐标系中，△ABC位置如图所示：
（1）写出点A关于x轴对称的点的坐标为 （﹣2，﹣1） ，点B关于原点的对称点的坐标为 （3，2） ．
（2）将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得△A1B1C1，其中A、B、C分别和A1、B1、C1对应，则点A1的坐标为 （2，4） ；将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，其中A、B、C分别和A2、B2、C2对应，则点C2的坐标为 （2，1） ；
（3）在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，则点P的坐标为 （﹣1，0） ；
（4）在y轴上找一点Q，使得△BCP与△ABC的面积相等，求点Q的坐标．
解：（1）∵A（﹣2，1），
∴点A关于x轴对称点的坐标是（﹣2，﹣1）；
∵B（﹣3，﹣2），
∴点B关于原点对称点的坐标是（3，2），
故答案为：（﹣2，﹣1），（3，2）；
（2）如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．A1（2，4），C2（2，1）；
故答案为：（2，4），（2，1）；
（3）如图，点P即为所求，P（﹣1，0）；
故答案为：（﹣1，0）；
（4）如图，点Q，点Q′即为所求，Q（0，1），Q′（0，﹣5）．
47．（2020秋•盱眙县期末）如图，在平面直角坐标系中，A．B均在边长为1的正方形网格格点上，在网格的格点中，以AB为边画一个△ABC，使三角形另外两边长为、；
（2）若点P在图中所给网格中的格点上，△APB是等腰三角形，满足条件的点P共有 4 个．
（3）若将线段AB绕点A顺时针旋转90°，写出旋转后B的坐标．
解：（1）如图所示；
（2）4个．
故答案为：4；
（3）旋转后点B的坐标（3，1）．
2022-2023学年苏科版数学八年级上册章节考点精讲精练
第5章《平面直角坐标系》
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知识点01：有序数对
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.
知识点02：平面直角坐标系
平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点.如下图：
细节剖析：
（1）两条坐标轴将平面分成4个区域：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何一个象限.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；
y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；
平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补
知识点03：坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
细节剖析：
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
细节剖析：
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
细节剖析：
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
考点提优练
考点01：坐标确定位置
1．（2021秋•南召县期末）如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确的是（ ）
A．北偏东55°，2km B．东北方向
C．东偏北35°，2km D．北偏东35°，2km
解：∵小明家在少年宫的南偏西55°方向的2km处，
∴少年宫在小明家的北偏东35°方向的2km处．
故选：D．
2．（2022•龙华区校级模拟）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用（﹣2，0）表示，小军的位置用（0，1）表示，那么你的位置可以表示成（ ）
A．（2，3） B．（4，5） C．（3，2） D．（2，1）
解：如图所示：
你的位置可以表示成（2，3），
故选：A．
3．（2021秋•渭滨区期末）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（﹣2，2）黑棋（乙）的坐标为（﹣1，﹣2），则白棋（甲）的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（0，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系：
由坐标系知白棋（甲）的坐标是（2，1），
故选：D．
4．（2022春•启东市期末）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为 （3，2） ．
解：如图所示：棋子“炮”的坐标为（3，2）．
故答案是：（3，2）．
5．（2022春•增城区期末）在国家体育馆“鸟巢”一侧的座位上，6排3号记为（6，3），则5排8号记为 （5，8） ．
解：∵6排3号记为（6，3），
∴5排8号记为（5，8），
故答案为：（5，8）．
6．（2022春•罗定市期中）小明给右图建立平面直角坐标系，使医院的坐标为（0，0），火车站的坐标为（2，2）．
（1）写出体育场、文化宫、超市、宾馆、市场的坐标；
（2）分别指出（1）中每个场所所在象限．
解：（1）体育场的坐标为（﹣2，5），文化宫的坐标为（﹣1，3），超市的坐标为（4，﹣1），宾馆的坐标为（4，4），市场的坐标为（6，5）；
（2）体育场、文化宫在第二象限，市场、宾馆在第一象限，超市在第四象限．
7．（2022春•确山县期末）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）A→C（ +3 ， +4 ），B→C（ +2 ， 0 ），
C→D （ +1 ， ﹣2 ）；
（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最少路程；
（3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．
解：（1）A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；
（2）1+4+2+1+2＝10；
（3）点P如图所示．
8．（2020秋•碑林区校级月考）如图，已知A、B两村庄的坐标分别为A（2，2），B（5，1），一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发．
（1）汽车行驶到离B村最近的点的坐标是 （5，0） ；
（2）汽车行驶到x轴的某一点P时到A、B两村的距离的差最大．
①请写出P点的坐标，并在图中标出点P；
②求出PA﹣PB的最大值，并说明理由；
（3）在y轴上有一村庄Q，若Q村到A村的距离等于A村到B村的距离，请你求出Q村的坐标．
解：（1）由题意，汽车行驶到离B村最近的点的坐标是（5，0）．
故答案为（5，0）．
（2）①如图，点P即为所求．P（8，0）．
②∵PA﹣PB≤AB，
∴当点P在AB的延长线上时，PA﹣PB的值最大，最大值＝AB＝＝．
（3）设Q（0，m），∵QA＝AB，
∴（m﹣2）2+22＝32+12，
解得m＝2+或2﹣，
∴Q（0，2+）或（0，2﹣）．
考点02：两点间的距离公式
9．（2022春•巩义市期末）在平面直角坐标系中，有A（a+2，﹣2），B（4，a﹣3）两点，若AB∥x轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵AB∥x轴，
∴A点和B点的纵坐标相等，
即a﹣3＝﹣2，解得a＝1，
∴A（3，﹣2），B（4，﹣2），
∴A、B两点间的距离为4﹣3＝1．
故选：A．
10．（2017•西城区校级自主招生）代数式的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．11
解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），
原式可化为+，
即＝AP，＝BP，
AB＝＝13．
代数式的最小值为13．
故选：B．
11．（2021秋•任城区校级期末）点P（﹣2，﹣3）和点Q（3，﹣3）的距离为 5 ．
解：点P和点Q的间的距离＝＝5．
故答案为5．
12．（2017秋•浦东新区期末）如果点A的坐标为（3，5），点B的坐标为（0，﹣4），那么A、B两点的距离等于 3 ．
解：A、B两点间的距离＝＝3．
故答案为3．
13．（2021•张家界模拟）问题情境：
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；
【应用】：
（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 3 ．
（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 （1，2）或（1，﹣2） ．
【拓展】：
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．
解决下列问题：
（1）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F） ＝5 ；
（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝ 2或﹣2 ．
（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝ 4或8 ．
解：【应用】：
（1）AB的长度为|﹣1﹣2|＝3．
故答案为：3．
（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），
∵CD＝2，
∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2，
∴点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．
故答案为：（1，2）或（1，﹣2）．
【拓展】：
（1）d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5．
故答案为：＝5．
（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3，
∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2．
故答案为：2或﹣2．
（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），
∵三角形OPQ的面积为3，
∴|x|×3＝3，解得：x＝±2．
当点Q的坐标为（2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4；
当点Q的坐标为（﹣2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8．
故答案为：4或8．
14．（2021•安徽模拟）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴|AB|＝＝13，即A、B两点间的距离是13；
（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，
∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），
∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
15．（2020秋•永安市期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则该两点间距离公式为P1P2＝，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可化简成|x1﹣x2|和|y1﹣y2|．
（1）若已知两点A（3，3），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为﹣2，试求M，N两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点的坐标为A（﹣1，），B（，），C（，），你能判定这三点是否共线？若共线请说明理由，若不共线请求出图形的面积．
解：（1）∵点A（3，3），B（﹣2，﹣1），
∴AB＝＝，
即A，B两点间的距离是；
（2）∵点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为﹣2，
∴MN＝|﹣2﹣7|＝9，
即M，N两点间的距离是9；
（3）这三点不共线，
该三角形为直角三角形．
理由：∵一个三角形各顶点的坐标为A（﹣1，），B（，），C（，），
∴AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，
∵AB2+AC2＝（）2+（）2＝（）2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB•AC＝××＝．
考点03：关于x轴、y轴对称的点的坐标
16．（2021秋•市中区校级期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣
解：∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣b），
∴，
解得：k＝﹣．
故选：B．
17．（2021秋•会宁县期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣，1）关于x轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：点P（﹣，1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣，﹣1），
则点P（﹣，1）关于x轴的对称点在第三象限．
故选：C．
18．（2021秋•砚山县期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，5）关于y轴对称点的坐标为 （1，5） ．
解：∵点P（﹣1，5），
∴关于y轴的对称点坐标为（1，5），
故答案为：（1，5）．
19．（2021秋•勃利县期末）若点A（m+2，﹣3）与点B（4，n+5）关于x轴对称，则（mn）2＝ 16 ．
解：由题意，得
m+2＝4，n+5＝3，
解得m＝﹣2，n＝﹣2．
（mn）2＝[﹣2×（﹣2）]2＝16，
故答案为：16．
20．（2021秋•和平区校级期中）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣4，0），点A关于y轴对称的点为点C．
（1）请在网格图中标出点A和点C．
（2）△ABC的面积是 16 ；
（3）在y轴上找一点D，使S△ACD＝S△ABC，请直接写出点D的坐标 （0，4）或（0，﹣4） ．
解：（1）如图，点A，点C即为所求；
（2）S△ABC＝×8×4＝16；
故答案为：16．
（3）如图，满足条件的点D的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．
21．（2019秋•昌平区校级期末）如图，请作出△PQR关于y轴对称的△P1Q1R1，写出它们的坐标P1 （4，﹣1） ，Q1 （1，4） ，R1 （﹣1，1）
解：如图，△P1Q1R1即为所求．
观察图象可知：P1（4，﹣1）、Q1（1，4）、R1（﹣1，1），
故答案为（4，﹣1），（1，4），（﹣1，1）．
考点04：坐标与图形变化-对称
22．（2021秋•龙山县期末）关于四个结论：①成轴对称的两个图形全等；②等边三角形有三条对称轴；③等腰三角形的一个角是100°，它的另外两个角相等；④点（3，6）关于y轴的对称点是点（3，﹣6）．正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③
解：①成轴对称的两个图形全等，是真命题；
②等边三角形有三条对称轴，是真命题；
③等腰三角形的一个角是100°，它的另外两个角相等，是真命题；
④点（3，6）关于y轴的对称点是点（﹣3，6），原命题是假命题．
故选：B．
23．（2021秋•莘县期中）在平面直角坐标系中，直线l是经过点（1，0）且平行于y轴的直线，点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于直线l轴对称，则（m+n）2020的值为（ ）
A．0 B．1 C．32020 D．52020
解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于直线x＝1对称，
∴＝1，3＝n﹣1，
∴m＝1，n＝4，
∴m+n＝5，
故选：D．
24．（2021秋•黄陂区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，3）在y轴上，连接AB，∠ABO＝60°，过y轴上一点P（0，m）作直线l⊥AB，OB关于直线l的对称线段为O1B1，若线段O1B1和过A点且垂直于x轴的直线a有公共点，则m的取值范围是 ﹣6≤m≤﹣3 ．
解：如图1中，当点B1与A重合时，
∵直线l垂直平分线段AB，
∴PB＝PA，
∵∠ABP＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴PB＝AB，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，OB＝3，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB＝6，
∴PB＝AB＝6，
∴OP＝3，
∴m＝﹣3，
如图2中，当点O1落在直线a上时，同法可证△OPO1是等边三角形，
∵AB∥OO1，OB∥AO1，
∴四边形ABOO1是平行四边形，
∴OO1＝AB＝6，
∴OP＝OO1＝6，
∴m＝﹣6，
观察图象可知，满足条件的m的值为：﹣6≤m≤﹣3，
故答案为：﹣6≤m≤﹣3，
25．（2021秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C为第一象限内的整点．若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则点C的坐标可以是 （3.1）（答案不唯一） （写出一个即可），满足题意的点C的个数为 6 ．
解：由不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，
则△ABC是等腰三角形，
如图，共有符合要求的点C有6个．
其中点C坐标为（3，1）（答案不唯一），
故答案为：（3，1）（不唯一），6．
26．（2022•和平区校级开学）如图，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），请根据每一问的要求填空：
（1）写出P关于y轴的对称点Q的坐标 （2，4） ，M关于y轴的对称点N的坐标 （1，1） ；
（2）写出P关于x＝1的对称点R的坐标 （4，4） ，则PR的距离为 6 ；
（3）写出M关于x轴的对称点T的坐标 （﹣1，﹣1） ，则NT的距离为 2 ．
解：（1）如图，点Q，点N即为所求，Q（2，4），N（1，1）．
故答案为：（2，4），（1，1）；
（2）如图，点R即为所求，R（4，4），PR＝6．
故答案为：（4，4），6；
（3）如图，点T即为所求．T（﹣1，﹣1），NT＝＝2．
故答案为：（﹣1，﹣1），2．
27．（2021秋•建阳区期中）如图，P，M关于直线x＝1的对称点为P′，M′．
（1）写出P′的坐标 （4，4） ，M′的坐标 （3，1） ；
（2）思考，写出P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标 （0，4） ；写出N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标 （﹣1，﹣2） ；
（3）思考，写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标 （2n﹣a，b） ．
解：（1）由题意，P′（4，4），M′（3，1），
故答案为：（4，4），（3，1）；
（2）P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标（0，4）；N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标（﹣1，﹣2）．
故答案为：（0，4），（﹣1，﹣2）；
（3）设对称点坐标为（x，y），
则有＝n，y＝b，
x＝2n﹣a，
∴点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标（2n﹣a，b）．
故答案为：（2n﹣a，b）．
28．（2019秋•咸丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
考点05：坐标与图形变化-平移
29．（2022秋•天长市月考）将点（﹣2，3）先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的点的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣1） B．（﹣6，7） C．（2，﹣1） D．（2，7）
解：将点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（﹣2﹣4，3﹣4，即（﹣6，﹣1），
故选：A．
30．（2021秋•青田县期末）在如图所示的方格纸中有四条线段a，b，c，d，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成一个三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（ ）
A．10种 B．11种 C．12种 D．13种
解：如图，观察图象可知，线段b，c，d可以组成三角形，一共有5种情形，线段a，b，c可以组成三角形，一共有6种情形，共11种情形，
故选：B．
31．（2021秋•招远市期末）如图，点A的坐标为（1，4），点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为8，则点C的坐标为（ ）
A．（ 2，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为8，点A的坐标为（1，4），
∴4AC＝8，
∴AC＝2，
∴C（3，4），
故选：B．
32．（2022•岳麓区校级开学）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3），先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为 （1，﹣1） ．
解：点M（﹣1，3），先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（﹣1+2，3﹣4），即（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
33．（2022春•康县期末）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，2）向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为 （﹣2，0） ．
解：平移后点Q的坐标为（﹣1﹣1，2﹣2），即（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
34．（2020秋•江北区期末）在平面直角坐标系中，点B（3，2）是由点A（﹣2，2）向右平移a个单位长度得到，则a的值为 5 ．
解：点B（3，2）是由点A（﹣2，2）向右平移5个单位长度得到，
则a的值为5．
故答案为5．
35．（2020秋•成都期中）已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为 （3，0） ．
解：∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，
∴a﹣5＝0，
解得：a＝5，
∵B（3a+2，b+3）在x轴上，
∴b+3＝0，
解得：b＝﹣3，
∴C点坐标为（5，﹣3），
∵C向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，
∴所的对应点坐标为（5﹣2，﹣3+3），
即（3，0），
故答案为：（3，0）．
36．（2022春•惠东县期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A′的坐标：A（ 1 ， 0 ），A′（ ﹣4 ， 4 ）．
（2）请说明三角形A′B'C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2n﹣8，m﹣4），求m和n的值．
解：（1）观察图象可知A（1，0），A′（﹣4，4）．
故答案为：1，0，﹣4，4；
（2）三角形A′B'C′是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．
（3）由题意，，
解得，．
37．（2022春•西平县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过 △ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′， 平移得到的．
（3）已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是（ a+4 ， b﹣3 ）．
解：（1）如图，△ABC即为所求，S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×3×2＝8；
（2）△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′，
故答案为：△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′，
（3）P′（a+4，b﹣3），
故答案为：a+4，b﹣3．
38．（2022春•旌阳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的？
（3）已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标（ a+4 ， b﹣3 ）．
解：（1）如图，△ABC即为所求．
S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×2×3＝8；
（2）先向右平移4个单位，再向下平移3个单位．
（3）由题意P′（a+4，b﹣3）．
故答案为：a+4，b﹣3．
考点06：坐标与图形变化-旋转
39．（2022秋•东港区校级月考）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，∠AOB＝60°，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．或
C．或 D．或
解：如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，
∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣m2＝（2）2﹣（6﹣m）2，
∴m＝2，
∴AH＝，
∴A（2，2），
若将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，如图，过点A′作A′J⊥x轴于点J．则△AOH≌△OA′J，
∴OJ＝AH＝2，A′J＝OH＝2，
∴旋转后点A的对应点A′（﹣2，2），
同法将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A″（2，﹣2），
故选：C．
40．（2021秋•兴化市校级月考）已知：如图，平面直角坐标系xOy中，B（0，1），OB＝OC＝OA，A、C分别在x轴的正负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E．若△OCD与△BDE的面积相等，求点D的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，3） D．（0，2）
解：∵OB＝OC＝OA，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°；
∵B（0，1），
∴A（1，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b．
∴，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1；
∵S△COD＝S△BDE，
∴S△COD+S四边形AODE＝S△BDE+S四边形AODE，
即S△ACE＝S△AOB，
∵点E在线段AB上，
∴点E在第一象限，且yE＞0，
∴×AC×yE＝×OA×OB，
∴×2×yE＝×1×1，
yE＝，
把y＝代入直线AB的解析式得：＝﹣x+1，
∴x＝，
设直线CE的解析式是：y＝mx+n，
∵C（﹣1，0），E（，）代入得：，
解得：m＝，n＝，
∴直线CE的解析式为y＝x+，
令x＝0，则y＝，
∴D的坐标为（0，）．
故选：A．
41．（2022•绿园区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连结AO，过点A作AB⊥x轴于点B，AB＝，OB＝1，把△ABO绕点O逆时针旋转120°后，得到△A1B1O，则点A1的坐标为 （﹣2，0） ．
解：在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝2，
∵△ABO绕点O逆时针旋转120°，
∴点A1落在x中点负半轴上，
∴A1（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
42．（2021秋•南京期末）在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点逆时针旋转90°，则点A'的坐标为 （，1） ．
解：如图，
∵B（2，0），
∴OB＝2，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝2，
∵△A′OB′是等边三角形，
∴OA′＝A′B′＝OB′＝2，
∵A′H⊥OB′，
∴OH＝HB′＝1，
∴A′H＝＝＝，
∴A′（﹣，1）．
故答案为：（﹣，1）．
43．（2021秋•龙口市期末）如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，其中A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是 （1，1）或（4，4）． ．
解：如图所示，分两种情形，旋转中心分别为（1，1）或（4，4）；
故答案为（1，1）或（4，4）．
44．（2021秋•汉阳区校级月考）如图，B（0，3），A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC，连接OC，则当OC取最小值时，A点的坐标是 （﹣，0） ．
解：如图，在x轴的正半轴上取一点H，使得OH＝OB＝3，在OB上取一点D，使得OD＝OA．
∵OB＝OH，OD＝OA，
∴BD＝AH，
∵∠HAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠HAC＝∠DBA，
∵BA＝AC，
∵△BDA≌△AHC（SAS），
∴∠AHC＝∠ADB，
∵OD＝OA，∠AOD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴∠AHC＝∠ADB＝135°，
∵H（3，0），
∴直线CH的解析式为y＝x﹣3，
∴点C在直线y＝x﹣3上运动，作OP⊥CH于P，OP＝OH＝，
此时P（3，﹣3），即C（3，﹣3），
设A（m，0），
∵AB＝AC，
∴m2+32＝（m﹣3）2+32，
解得m＝﹣，
∴A（﹣，0）．
故答案为（﹣，0）．
45．（2021秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，t―2）与点N关于过点（0，t）且垂直于y轴的直线对称．
（1）当t＝﹣3时，点N的坐标为 （2，﹣1） ；
（2）以MN为底边作等腰三角形MNP．
①当t＝1且直线MP经过原点O时，点P坐标为 （﹣2，﹣1） ；
②若△MNP上所有点到x轴的距离都不小于a（a是正实数），则t的取值范围是 t≥a+2或t≤﹣a﹣2 （用含a的代数式表示）．
解：（1）如图1中，由题意，M（2，﹣5），
∵M，N关于直线t＝﹣3对称，
∴N（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）；
（2）①如图2中，由题意M（2，﹣1），
∴直线OM的解析式为y＝﹣x，
当y＝1时，x＝﹣2，
∴P（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
②由题意M（2，t﹣2），N（2，t+2），
观察图象可知，当t﹣2≥a或t+2≤﹣a时，满足条件，
解得，t≥a+2或t≤﹣a﹣2．
故答案为：t≥a+2或t≤﹣a﹣2．
46．（2021秋•栾城区校级期末）在平面直角坐标系中，△ABC位置如图所示：
（1）写出点A关于x轴对称的点的坐标为 （﹣2，﹣1） ，点B关于原点的对称点的坐标为 （3，2） ．
（2）将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得△A1B1C1，其中A、B、C分别和A1、B1、C1对应，则点A1的坐标为 （2，4） ；将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，其中A、B、C分别和A2、B2、C2对应，则点C2的坐标为 （2，1） ；
（3）在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，则点P的坐标为 （﹣1，0） ；
（4）在y轴上找一点Q，使得△BCP与△ABC的面积相等，求点Q的坐标．
解：（1）∵A（﹣2，1），
∴点A关于x轴对称点的坐标是（﹣2，﹣1）；
∵B（﹣3，﹣2），
∴点B关于原点对称点的坐标是（3，2），
故答案为：（﹣2，﹣1），（3，2）；
（2）如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．A1（2，4），C2（2，1）；
故答案为：（2，4），（2，1）；
（3）如图，点P即为所求，P（﹣1，0）；
故答案为：（﹣1，0）；
（4）如图，点Q，点Q′即为所求，Q（0，1），Q′（0，﹣5）．
47．（2020秋•盱眙县期末）如图，在平面直角坐标系中，A．B均在边长为1的正方形网格格点上，在网格的格点中，以AB为边画一个△ABC，使三角形另外两边长为、；
（2）若点P在图中所给网格中的格点上，△APB是等腰三角形，满足条件的点P共有 4 个．
（3）若将线段AB绕点A顺时针旋转90°，写出旋转后B的坐标．
解：（1）如图所示；
（2）4个．
故答案为：4；
（3）旋转后点B的坐标（3，1）．
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