数学八年级上册3.1 勾股定理优秀综合训练题

2022-2023学年苏科版数学八年级上册章节考点精讲精练

第3章《勾股定理》

知识点01：勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于                     .（即：                 ）

 2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求                   ；

（2）利用勾股定理可以证明                     的问题；

（3）解决与勾股定理有关的                     ；

（4）勾股定理在                的应用．

知识点02：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

　如果三角形的三边长，满足                  ，那么这个三角形是直角三角形.

细节剖析：

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是                的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设               ；

（2）验证：与是否具有               ：
　　 若，则△ABC是以∠C为90°的                     ；
　　 若时，△ABC是                 　　　若时，△ABC是            

2.勾股数

满足不定方程的             称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

细节剖析：

常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果()是勾股数，当t为              时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为                   ；

2.较长的直角边与对应斜边相差                    .

3.假设三个数分别为，且，那么存在             成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）

知识点03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的                  ，而其逆定理是                

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者             ，都与                 有关.

考点01：勾股定理的证明

1．（2022春•龙凤区期中）如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：

①△ABC≌△CDE；

②∠ACE＝90°；

③四边形ABDE的面积是（a+b）2；

④（a+b）2﹣c2＝2×ab；

⑤该图可以验证勾股定理．

其中正确的结论个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．（2021秋•房山区期末）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定．“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边分别为a、b，大正方形边长为3，小正方形边长为1，那么ab的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．（2021秋•顺德区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4．（2022•邯郸三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了方案：

甲：如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明；

乙：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明．

对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（　　）

A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 

C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对

5．（2022•重庆模拟）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：

①BI＝CD；

②2S△ACD＝S1；

③S1+S4＝S2+S3；

④+＝．

其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（2021秋•崇明区校级期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，AB＜BC）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么

＝　   　．

7．（2022•兰山区二模）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为　   　；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形AnBn∁nDn的面积为　   　（用含n的式子表示，n为正整数）．

8．（2021秋•龙泉市期末）如图是我国古代数学家赵爽创制的一副“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH无缝拼成的大正方形ABCD．

（1）若∠ABE＝30°，EF＝﹣1，求AB的长．

（2）点M在FG上，AB∥EM，且AB＝2EM，求正方形ABCD与正方形EFGH的周长比．

9．（2021秋•大丰区期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明a2+b2＝c2；

（2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值．

考点02：勾股定理的逆定理

10．（2022春•海安市期中）【教材例题】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：a＝13，b＝14，c＝15．

解：因为132+142＝169+196＝365，152＝225，

所以132+142≠152，根据（　　），这个三角形不是直角三角形．

A．勾股定理 

B．勾股定理的逆定理 

C．三角形两边的和大于第三边 

D．三角形两边的差小于第三边

11．（2021秋•莲湖区期末）已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）

A．∠A：∠B：∠C＝3：4：7 B．∠A＝∠B﹣∠C 

C．a：b：c＝2：3：4 D．b2＝（a+c）（a﹣c）

12．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 　   　．

13．（2022•滨海县模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝　   　（点A，B，C，D，E是网格线交点）．

14．（2021秋•东港市期中）如图，A，B，C，D四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠ADB﹣∠BDC＝　   　°．

15．（2021秋•台江区校级期末）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．

（1）求证：△ACD是直角三角形；

（2）求四边形ABCD的面积．

16．（2022春•长沙期中）如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．

（1）求AC、CE的长；

（2）求证：∠ACE＝90°．

17．（2022春•平舆县期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．

（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．

考点03：直角三角形的性质

18．（2021秋•利川市校级月考）在下列条件：①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A＝90°﹣∠B；③∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

19．（2021春•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（　　）

A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25°

20．（2021秋•江夏区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝　   　．

21．（2021秋•新建区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，点D在边AB上，将△ABC沿CD折叠，使得点B落在AC边上的点B′处，则∠ADB′的度数为 　   　．

22．（2019秋•玉田县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠DBE＝28°，则∠CAB＝　   　．

23．（2021春•宜宾期末）把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．

（1）如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝　   　；若AB∥OC时，则α＝　   　；

（2）如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝　   　；

（3）如图3，连结AC，在旋转过程中，猜想∠DOB与∠CAB+∠ACD的大小关系，并说明理由．

24．（2020秋•八步区期中）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．

（1）求∠DCE的度数．

（2）若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC．

25．（2022•西城区校级开学）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，∠CFE与∠CEF的数量关系为 　   　．

（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E．探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由；

（3）如图3，在△ABC中，边AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于E．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系．

考点04：勾股定理的应用

26．（2022•和平区校级开学）如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）尺．

A．7.5 B．8 C． D．9

27．（2021秋•平昌县期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　）

A．3米 B．4米 C．5米 D．7米

28．（2021秋•罗湖区期末）现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人．这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（　　）

A．3米 B．5米 C．7米 D．9米

29．（2021秋•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．

（1）开始时，船距岸A的距离是 　   　m；

（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 　   　m．

30．（2021秋•南海区期末）如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 　   　m．

31．（2021秋•秦都区校级月考）如图，已知钓鱼竿AC的长为3m，露在水面上的鱼线BC长为3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则BB′的长为 　   　m．（结果保留根号）

32．（2021秋•溧阳市期中）如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知AB＝3km，BC＝4km，CD＝5km，∠ABC＝90°，已知小明骑自行车速度为akm/分钟，小亮走路速度为0.1km/分钟．小亮出发30分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 　   　．

33．（2021秋•青岛期末）如图1，青岛创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（AB）顶端有一根绳子（AC），自然垂下后，绳子底端离地面还有0.7m（即BC＝0.7），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3m处（即点E到AB的距离为3m），绳子正好拉直，已知工作人员身高（DE）为1.7m，求宣传牌（AB）的高度．

34．（2021秋•迁安市期末）某校预建如图1所示自行车棚，钢架已完成，现需要棚顶覆盖铁皮，图2是自行车棚顶的示意图．

已知AD＝BD，CD⊥AB，棚宽AB＝6米，棚高CD＝1.6米，棚长BE＝20米，学校打算在校园的不同角落修建一模一样的车棚5个．

（1）求一个车棚顶需要的铁皮面积（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮）；

（2）某加工厂承包了生产棚顶铁皮任务，在加工过程中由于学校有检查，要求比原定的工期提前1天完成，为此加工厂将工作效率提高了20%，因此，在学校规定的时间内完成任务．求加工厂与学校原定用几天完成车棚顶铁皮的生产任务．

35．（2022春•代县期末）如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米．

（1）小敏猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；

（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．（结果不必化简成最简二次根式）

36．（2022春•梁平区期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）．

37．（2015春•大石桥市校级期末）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．

（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；

（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

38．（2021春•甘井子区校级期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝1米，BC＝5米，已知两棵树的水平距离为3米，请计算出这棵树原来的高度（结果保留根号）