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初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程优秀课后练习题
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这是一份初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程优秀课后练习题，文件包含同步讲义人教版数学八年级上册专题153分式方程学生版docx、同步讲义人教版数学八年级上册专题153分式方程教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
专题15.3 分式方程
目标导航
1、了解分式方程的概念和检验根的意义；
2、会解可转化为一元一次方程的分式方程；掌握这种方程解法，掌握解方程中的化归思想；
3、会列出分式方程解简单的应用题。
知识精讲
知识点01 分式方程及解分式方程
知识点
1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
【知识拓展1】分式方程的定义
例1．（2022·山东省泰安八年级阶段练习）关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【详解】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③是整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故其中是分式方程的有：①②，故选：B．
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
【即学即练】
1．（2022·湖南·八年级单元测试）已知方程：
①； ② ③； ④．
这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】根据定义可知，①②③为分式方程，故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
【知识拓展2】解分式方程
例2．（2022·河北·石家庄三模）小明和小亮在解答“解分式方程：”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（ ）
小明的解法：
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为得：⑤
是原分式方程的解⑥
小亮的解法：
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为得：⑤
A．小明的步骤①错误，漏乘 B．小明的步骤②、③、④都正确
C．小明的步骤⑤错误 D．小亮的解答完全正确
【答案】D
【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可．
【详解】解：根据题意得：小亮的解答没有检验过程，出错；
小明的步骤错误，漏乘，小明的步骤、、都正确，小明的步骤错误．故选：．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
【即学即练】
2.（2022·河北·八年级阶段练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)(2)原方程无解
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，最后检验根是否有意义，即可求解；
（2）先将分式通分，再根据分式的加减法法则进行运算，最后把解的根代入原方程检验，若分式有意义则有解，原方程无意义则原方程无解．
（1）
解：原式变形得，，且，
，
∴，
代入原方程检验得，原方程左边：，原方程右边：，
即时，方程左边等于右边，且原方程有意义，
故方程的解是：．
（2）
解：原式通分得，，且，
，
，
∴，
，
代入原方程检验：原方程分母为零，方程无意义，故原方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握分式的加减法法则，通分，分式方程有意义是解题的关键．
【知识拓展3】分式方程的增根与无解问题
例3．（2022·浙江东阳·七年级期末）关于x的分式方程：．
（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
【答案】（1）x=-5；（2）-4或6
【分析】（1）把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：（1）把m=3代入方程得：，
去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5，
检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解为x=-5；
（2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，
∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；
把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，解得：m=6．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【即学即练】
3（1）（2022·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程(其中a为常数)有增根，则增根为_____．
【答案】．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出的值，检验是否符合题意即可．
【详解】分式方程的最简公分母为x(x﹣2)，
去分母得：，
令，得或，
把代入得：整式方程无解，即分式方程无解；把代入得：，
综上，分式方程的增根为．故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的增根的确定方法，确定增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，检验是否符合题意，将不合题意的舍去．
（2）（2022·浙江杭州·初二月考）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2或﹣3 B．0或3 C．﹣3或3 D．﹣3或0
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解析】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，
即m+2＝0或3（m+2）＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
【知识拓展4】分式方程的特殊解问题
例4．（2022·河南八年级期末）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】先解分式方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出a的值．
【详解】解：解方程，得，，，
但当时，是增根，，，且，
由二元一次方程组得，，
足，，，，，且，
为整数，满足条件的整数a有，，，0，故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键
【即学即练】
4.（1）（2022·安徽东至·七年级期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为____．
【答案】且
【分析】先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论．
【详解】解：去分母得，,解得：，
∵分式方程的解为正数，且,∴且,解得，且故答案为：且．
【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，解分式方程是解答的关键，注意不能产生增根，所以要使x≠1．
（2）（2022·江苏苏州·八年级期中）已知关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围______．
【答案】且
【分析】先解分式方程得到x=a+1，根据方程的解是负数，列不等式a+1<0，且a+20，求解即可得到答案．
【详解】解： a+2=x+1 x=a+1，
∵方程的解是负数，x≠-1∴a+1<0，且a+20，解得a<-1，且a-2，故答案为：且．
【点睛】此题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解题中考虑分式的分母不等于0的情况．
知识点02 分式方程的应用
知识点
分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【知识拓展1】工程问题
例1．（2022·内蒙古凉城·期末）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？
【答案】（1）2000；（2）该公司原计划安排750名工人生产帐篷．
分析：（1）直接利用20000÷10即可得到平均每天应生产帐篷多少顶；
（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，那么原计划每名工人每天生产帐篷顶，后来每名工人每天生产帐篷×（1+25%）顶，然后根据已知条件即可列出方程10-2-2=，解方程即可求出该公司原计划安排多少名工人生产帐篷．
【解析】（1）该公司平均每天应生产帐篷20000÷10=2000顶；
（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，
依题意得，（10-2-2）××1.25×（x+50）=20000-2×2000，即16000x=15000（x+50），
1000x=750000，解得x=750，经检验x=750是方程的解，
答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．
考点：分式方程的应用．
【即学即练1】
1．（2022·山东临沂市·中考真题）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可．
【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，由题意可得：，故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．
【知识拓展2】行程问题
例2．（2022·山东·武城县八年级期末）小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．(1)求小张跑步的平均速度；(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会前赶到奥体中心？说明理由．
【答案】(1)210米/分钟；(2)他不能在演唱会前赶到奥体中心；理由见解析
【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间＝路程÷速度，结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）根据时间＝路程÷速度，求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其与23进行比较后即可得出结论．
【解析】 (1)解：设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，
根据题意得：，解得：x＝210，
经检验，x＝210是原分式方程的解．
答：小张跑步的平均速度为210米/分钟．
(2)小张跑步到家所需时间为2520÷210＝12（分钟），
小张骑车所用时间为12−4＝8（分钟），
小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12＋8＋5＝25（分钟），
∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据时间=路程÷速度，结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．
【即学即练2】
2．（2022·竹溪县实验中学其他）某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米/小时，则所列方程正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】关键描述语为：“过了30分后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间-乘车同学所用时间=小时，可以列出相应的方程．
【解析】由题意可得：，故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
【知识拓展3】销售问题
例3．（2022·重庆巴蜀中学初三期中）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.
（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
【答案】（1）购入种原料每千克的价格最高不超过10元；（2）这种产品的批发价为50元．
【分析】（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为（x＋10）元，根据使每件产品的成本价不超过34元列出不等式求解即可；（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a＋30）元，根据“用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，”正确列出分式方程即可.
【解析】（1）设种原料每千克的价格为元，则种原料每千克的价格为元，
根据题意得：，解得：．
答：购入种原料每千克的价格最高不超过10元．
（2）设这种产品的批发价为元，则零售价为元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的根，且符合实际．
答：这种产品的批发价为50元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程.
【即学即练】
3．（2020·四川广元·八年级期末）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进，两种健身器材若干件，经了解，种健身器材的单价是种健身器材单价的1.5倍，用7200元购买种健身器材比用5400元购买种健身器材多10件．(1)，两种健身器材的单价分别是多少元？(2)若今年种健身器材的单价相较去年上涨了，种健身器材的单价相较去年下降了，这样用7200元购买种健身器材和用5400元购买种健身器材的数量就一样多，求的值．（保留一位小数）
【答案】(1)种健身器材的单价是360元，种健身器材的单价是540元 (2)33.3
【分析】（1）设种健身器材的单价为元，则种健身器材的单价为元，根据用7200元购买种健身器材数−用5400元购买种健身器材数=10，列分式方程求解即可；
（2）用7200元购买种健身器材的数量=用5400元购买种健身器材的数量，列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设种健身器材的单价为元，则种健身器材的单价为元．
根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，（元）．
答：种健身器材的单价是360元，种健身器材的单价是540元；
（2）解：根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，∴．
【点睛】本题主要考查了分式方程在生活中的应用，根据题意找出等量关系列分式方程是解题的关键，解分式方程时检验是解题的易错点．
【知识拓展4】方案问题
例4．（2022·内蒙古乌海·初二期末）在“双十二”期间，两个超市开展促销活动，活动方式如下：
超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元； 超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：
（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在商场购买的数量比在商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）
【答案】（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析
【分析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球个，在A超市可买篮球个，根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；
（2）分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.
【解析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，依题意，得，解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；
（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，
单独在A超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元，
在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元，
单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，在A、B两个超市共买100个，
根据A超市的方案可知在A超市一次购买：=44，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元，
综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
【即学即练】
4．（2022·湖南长沙·八年级期末）某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元．(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？(2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，问有几种进货方案？(3)如果乙种电脑每台售价为3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？
【答案】(1)今年三月份甲种电脑每台售价4000元 (2)一共有5种进货方案 (3)的值为200
【分析】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元，然后由卖出相同数量的电脑，而去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元列出方程求解即可；（2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，列出不等式求解即可得到答案；（3）设甲种电脑台，总获利为元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相同，求解即可．
【解析】 (1)设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元．
依题意，得：， 解得．
检验可知是方程的解，且符合题意．
答：今年三月份甲种电脑每台售价4000元．
(2)设购甲种电脑台，则乙种电脑台．
依题意，得：，解得：．
∵为正整数，∴，9，10，11，12∴共有5种进货方案．
答：一共有5种进货方案；
(3)设甲种电脑台，总获利为元．则：
．
∵要使（2）中所有方案获利相同，∴的结果与无关，∴，∴．
∴购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利答：的值为200．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，函数关系式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系与不等关系，列出分式方程与不等式求解即可．
能力拓展
考法01 分式方程中的整数解问题
【典例1】（2022·达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
【答案】
【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．
【详解】解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:，故答案是：．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．
变式1．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）若实数使得关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的的值之和是（ ）
A．20 B．17 C．15 D．12
【答案】C
【分析】根据分式方程有正整数解，可得的值，即可得到答案．
【详解】解：分式方程，
去分母得：，
去括号合并得：，
∴，由题意得：，即且是正整数，
∴或或，∴或或，
∴所有满足条件的的值之和为3+4+8=15，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的正整数解等知识，解题的关键是求出的范围，容易忽略的条件．
变式2．（2022·重庆实验外国语学校）关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的正整数a的和是（ ）
A．6 B．12 C．14 D．20
【答案】A
【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据整数解求出a的可能值，然后再通过不等式组进一步确定a的值，最后求和即可．
【详解】解：∵∴y＜，y≥
∵关于y的不等式组有解∴不等式组的解集为≤y＜，
∴＜，即a-3＜5，可得a＜8 由有整数解,可得： x= ,即a为偶数
∵x≠-1∴x≠6 ∵正整数a∴a=2或a=4∴4+2=6．故选A．
【点睛】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识点，正确求解分式方程成为解答本题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据分式方程的定义，即可判断．
【详解】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程；
所以关于x的分式方程共有1个，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
2．（2022·湖南·八年级阶段练习）把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程两边同时乘以进行化简即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：；故选D．
【点睛】本题考查分式方程去分母．在去分母的时候，注意常数项不要漏乘．
3．（2022·山东青州·初二期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或或
【答案】D
【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
【解析】解：由得x=
∵分式方程无解 ∴=±2或m+4=0∴m=0或m=-8或∴或或故答案为D.
【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
4．（2022·广东·佛山市华英学校三模），两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，根据题意可得，同样走千米，小汽车比大汽车少用小时，据此列方程．
【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，
由题意得，．故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
5．（2022·陕西金台·）某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据工作效率=工作总量÷时间结合采用新技术后每天多生产30套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）方程的解昰___________．
【答案】
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.
【详解】解：
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的根，
∴ 原方程的根为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法与步骤”是解本题的关键.
7．（2022·湖南·永州市八年级阶段练习）如果方程的解是正数，那么的取值范围为______．
【答案】且
【分析】先将分式方程的解用关于k的代数式表示出来，再结合题意和分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：
，
∵该分式方程解为正数和使分式有意义的条件，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分时方程的解，解决本题的关键是注意分式有意义的条件．
8．（2022·江苏海陵·八年级期中）若解关于x的方程＝+2时产生了增根，则m＝_____．
【答案】﹣1．
【分析】先将分式化成化为整式方程，求得x，然后令x=2，即可求得m的值即可
【解析】解：原式去分母得：x﹣1＝﹣m+2x﹣4，解得：x＝m+3，
由分式方程有增根，得到x＝2，则有m+3＝2，解得：m＝﹣1，故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，求出用m表示的分式方程的解是解答本题的关键．
9．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)；(2)无解．
【分析】分式方程去分母即可转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验后即可得到分式方程的解．
【详解】（1）方程两边同时乘以 得：
，
解得：，
检验：当时，
所以分式方程的解为；
（2）方程两边同时乘以 得：
，
解得：，
检验：当时，
所以原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根．
10．（2022·重庆一中九年级阶段练习）某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香樟这两种树．
(1)该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？
(2)在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量．
【答案】(1)3000棵 (2)150棵
【分析】（1）设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵，根据种植总数是5000列方程求解即可；（2）设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵，根据两个小组同时完成任务即用时相等列方程求解即可．
【详解】（1）解：设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵，
则有：，解得：，
∴
答：计划种植黄桷树3000棵．
（2）设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵，
则有，解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
答：乙组每小时种植的数量为150棵．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，找出题中的数量关系并用它列出方程是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2022·四川广元·八年级期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．原分式方程无解
【答案】D
【分析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验解分式方程即可．
【详解】解：
分式两边同乘得： ，
移项合并同类项得：，
检验：当，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
故选D．
【点睛】本题考查解分式方程，注意使最简公分母为0的x的值，是方程的增根，要舍掉．
2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）将的分母化为整数，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质求解．
【详解】解：将的分母化为整数，可得．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
3．（2022·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．
【详解】解：去分母得：x-1=m，解得：x=m+1，
根据题意得：m+1=3，解得：m=2，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
4．（2022·石家庄市八年级期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】D
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．
【详解】解：，去分母得：5（x-2）=ax，去括号得：5x-10=ax，移项，合并同类项得：（5-a）x=10，
∵关于x的分式方程有解，∴5-a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：，
∴且，即a≠5，a≠0，
综上所述：关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故选：D．
【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视．
5．（2022·广东·高州八年级阶段练习）已知关于的分式方程的解为负数，求m的取值范围．
【答案】m>1且m≠2
【分析】将m当成常数，解分式方程，再根据分式方程解的情况，列不等式求解即可．
【详解】，
解：，
，
，
∵方程的解为负数
∴1-m＜0
∴ m>1
∵ x≠-1
∴ m≠2
∴ m>1且m≠2
故答案为：m>1且m≠2．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围：将参数当成常数正确的解出分式方程的根是解题的关键，在求参数的值时，要注意分式的分母不能为0．
6．（2022·河北张家口·初三二模）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】A
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解析】设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为： =．
故选A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
7．（2022·山东枣庄二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a＝﹣1，1，2，4，7，据此计算即可．
【详解】解：解分式方程﹣2＝，得：x＝，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，
∴当a＝﹣1时，x＝-1；
当a＝1时，x＝-2；
当a＝2时，x＝-4；
当a＝4时，x＝4；
当a＝5时，x＝2（不符合题意，故舍去）；
当a＝7时，x＝1；
故符合条件的所有a之和为：﹣1+1+2+4+7＝13．故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
8．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）某中学组织学生去离学校的东山农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，若先遣队比大队早到了，设大队的速度为，可得方程为_____________．
【答案】
【分析】设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，根据先遣队比大队早到0.5h列出分式方程求解即可．
【详解】解：设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，
根据题意得：，故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．
9．（2022·江苏新吴·八年级期末）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．（1）第一批笔记本每本进价多少元？（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
【答案】（1）第一批笔记本每本进价为8元；（2）剩余的笔记本每本最低打七五折．
【分析】（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元，则第一批购进本，第二批购进本，结合第二批的数量等于第一批的2倍，列方程，解方程即可；
（2）由（1）得第二批购进60本，设剩余的笔记本每本最低打折，由第二批笔记本的销售总利润不少于48元，列不等式，再解不等式可得答案.
【详解】解：（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元
由题意得：解之得： 经检验为原方程的解
答：第一批笔记本每本进价为8元．
（2）设剩余的笔记本每本最低打折，而第二批购进本，
由题意得：解之得：
答：剩余的笔记本每本最低打七五折
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟悉购买数量等于购买总金额除以单价，每本笔记本的利润乘以销售的数量等于总利润是解本题的关键.
10．（2022·山东德州·八年级期末）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
【答案】(1)A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元；(2)商店共有5种进货方案
【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论．
【解析】 (1)设A种商品每件进价x元，则B种商品每件进价元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，（元），
答：A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元．
(2)设购买A种商品a件，则B种商件，
由题意得：，解得，，
∵a为整数，∴、15、16、17、18，∴商店共有5种进货方案．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验．
11．（2021·浙江长兴·初二月考）某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
(1)求文化官第一批购进书包的单价是多少？
(2)商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？
【答案】（1）第一批购进书包的单价为80元（2）商店共盈利1350元
分析：（1）设第一批购进书包的单价为x元，则可以表示出第二批书包的单价为（x+4）元；
根据购进第一批和第二批书包的成本，可分别表示出购进第一批与第二批书包的数量；
利用等量关系“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列方程解答即可，注意分式方程要验根；
（2）用每批书的数量乘以每本书的利润，再把两批书的利润相加.
【解析】 (1) 设第一批购进书包的单价为x元.依题意,得,
整理,得20(x+4)=21x, 解得x=80.
检验：当x=80时，x(x+4)≠0∴x=80是原分式方程的解.
答:第一批购进书包的单价为80元.
(2) =300+1050=1350
答:商店共盈利1350元.
点睛：列分式方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出能够表示题目全部含x的相等关系，列出分式方程；④解分式方程；⑤验根；⑥写出答案.本题第（1）问，即是根据“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列方程解答的.
题组C 培优拔尖练
1．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
∴，∴，∴，
∵解为非正数，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
2．（2022·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x的分式方程的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是（ ）
A．﹣7＜k＜14 B．﹣7＜k＜14且k≠0 C．﹣14＜k＜7且k≠0 D．﹣14＜k＜7
【答案】C
【分析】先解分式方程，然后根据分式方程的解满足2＜x＜5和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵分式方程的解满足2＜x＜5，∴，解得且，故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．-6 B．-4 C．-2 D．1
【答案】A
【分析】先解不等式组，然后根据一元一次不等式组无解确定的取值范围，最后根据分式方程的解为正数确定的值即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得：，
，
去分母得：，
解得：且，
∴或或或或，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
4．（2022·重庆一中九年级阶段练习）“遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节，是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青餐高．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的，梭子蟹、青蟹的销量之比为．10月8日，大闸蟹因为单价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额，梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为，梭子蟹两天的总销售额与青蟹两天的总销售额之比为，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．
【答案】
【分析】设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，设10月8日，大闸蟹的销量为m，可得在10月8日，大闸蟹的销量为，设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，由题意得：，即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为，则问题随之得解．
【详解】∵10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∵10月1日，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青餐高，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的单价之比为，
设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，
则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，
由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，
设10月8日，大闸蟹的销量为m，
由题意得：，解得，即在10月8日，大闸蟹的销量为，
设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，
由题意得：，解得，则，
即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，
则在10月8日梭子蟹的总销售额为，青蟹的总销售额为，由题意得：，解得：，
即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为，故答案为：．
【点睛】本题考查应用类问题，重点是假设未知数，解题的关键是厘清题中给出的众多的量之间的关系．
5．（2022·厦门双十中学海沧附属学校）观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
【答案】x=n+4或x=n+5
【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．
【详解】解：，解得：或；，解得：或；
，解得：或；得到规律，的解为：或；
所求方程整理得：，根据规律得：或，
解得：x=n+4或x=n+5故答案为：x=n+4或x=n+5
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键．
6．（2022·河北·邢台市八年级阶段练习）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；(2)当时，求为何值时分式方程无解；
(3)若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)3、29、55、185
【分析】（1）将和的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值，使分式方程无解即可；
（3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数确定的取值．
（1）
解：把，代入分式方程中，得
方程两边同时乘以，
∴，
检验：把代入≠0，
所以原分式方程的解是．
答：分式方程的解是．
（2）
把代入分式方程得
方程两边同时乘以，
①当时，即，方程无解；
②当时，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程无解．
（3）
把代入分式方程，得：
方程两边同时乘以，
整理得：
∴
，且为正整数，为整数
必为195的因数，
∵195=3×5×13
的因数有1、3、5、13、15、39、65、195
但1、3、5 小于11，不合题意，故可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解为3、5、13、15、17
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取3、29、55、185
所以满足条件的可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】此题考查了分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提，其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
7．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校八年级期中）已知关于x的分式方程
(1)已知m=4，求方程的解；(2)若该分式方程无解，试求m的值．
【答案】(1)x＝−1
(2)m＝−1或−6或．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到m＋1＝0或（x＋2）（x−1）＝0，解m＋1＝0可求得一个m的值，将x＝−2或x＝1代入整式方程即可求出另外两个m的值．
（1）
解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x−1，
整理得：（m＋1）x＝−5．
当m＝4时，（4＋1）x＝−5，
解得：x＝−1
经检验：x＝−1是原方程的解．
（2）
解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x−1，
整理得：（m＋1）x＝−5．
∴
∵分式方程无解，
∴m＋1＝0或（x＋2）（x−1）＝0，
当m＋1＝0时，m＝−1；
当（x＋2）（x−1）＝0时，x＝−2或x＝1．
当x＝−2时m＝；
当x＝1时m＝−6，
∴m＝−1或−6或时该分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8.（2022·河南·初二期中）某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有座和座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比座的贵元．（1）会务组第一天在这家公司租了辆座和辆座的客车，一天的租金为元，求座和座的客车每辆每天的租金各是多少元？（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案：若只租用座的客车，会有一辆客车空出个座位；方案：若只租用座客车，正好坐满且比只租用座的客车少用两辆。①请计算方案的费用； ②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？
【答案】（1）45座的客车每辆每天的租金为200元， 60座的客车每辆每天的租金为300元；（2）①方案1的费用为1200元，方案2的费用为1200元；②有，方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆
【分析】（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，根据题意可得等量关系：2辆60座的一天的租金+5辆45座的一天的客车的租金=一天的租金为1600元；根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）①设参会人员为y人，由题意列出方程，得出y=240，即可求出方案1、2的费用；
②方案3：共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，求出费用=1100元，即可得出结论．
【解析】解：（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，
则：2（x+100）+5x=1600，解得：x=200，∴x+100=300，
答：45座的客车每辆每天的租金为200元， 60座的客车每辆每天的租金为300元；
（2）设参会人员为y人，由题意得：，解得：y=240，
①方案1的费用：（240+30）÷45×200=1200（元），方案2的费用：240÷60×300=1200（元），
②有方案3：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，理由如下：
共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，
费用：4×200+300=1100（元）＜1200元，∴最终租车方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用；根据题意列出方程是解题的关键．
9．（2022·湖南学八年级阶段练习）某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务．(1)求原计划每天铺设路面的长度；(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．
【答案】(1)原计划每天铺设管道的长度为 (2)够；理由见解析
【分析】（1）设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间铺设的时间天，列方程求解即可；
（2）分别得到两种不同的工作效率所用的时间，进一步得到各自需要的工资，相加即可求解．
（1）
解：设原计划每天铺设管道，则后来的工作效率为，
根据题意，得，
解得：，
经检验：是原分式方程的解．
答：原计划每天铺设管道的长度为．
（2）解：够；
理由：，
（元,
．
现市政部门为完成整个工程所准备的流动资金够支付工人工资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
专题15.3 分式方程
目标导航
1、了解分式方程的概念和检验根的意义；
2、会解可转化为一元一次方程的分式方程；掌握这种方程解法，掌握解方程中的化归思想；
3、会列出分式方程解简单的应用题。
知识精讲
知识点01 分式方程及解分式方程
知识点
1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
【知识拓展1】分式方程的定义
例1．（2022·山东省泰安八年级阶段练习）关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【详解】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③是整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故其中是分式方程的有：①②，故选：B．
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
【即学即练】
1．（2022·湖南·八年级单元测试）已知方程：
①； ② ③； ④．
这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】根据定义可知，①②③为分式方程，故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
【知识拓展2】解分式方程
例2．（2022·河北·石家庄三模）小明和小亮在解答“解分式方程：”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（ ）
小明的解法：
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为得：⑤
是原分式方程的解⑥
小亮的解法：
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为得：⑤
A．小明的步骤①错误，漏乘 B．小明的步骤②、③、④都正确
C．小明的步骤⑤错误 D．小亮的解答完全正确
【答案】D
【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可．
【详解】解：根据题意得：小亮的解答没有检验过程，出错；
小明的步骤错误，漏乘，小明的步骤、、都正确，小明的步骤错误．故选：．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
【即学即练】
2.（2022·河北·八年级阶段练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)(2)原方程无解
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，最后检验根是否有意义，即可求解；
（2）先将分式通分，再根据分式的加减法法则进行运算，最后把解的根代入原方程检验，若分式有意义则有解，原方程无意义则原方程无解．
（1）
解：原式变形得，，且，
，
∴，
代入原方程检验得，原方程左边：，原方程右边：，
即时，方程左边等于右边，且原方程有意义，
故方程的解是：．
（2）
解：原式通分得，，且，
，
，
∴，
，
代入原方程检验：原方程分母为零，方程无意义，故原方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握分式的加减法法则，通分，分式方程有意义是解题的关键．
【知识拓展3】分式方程的增根与无解问题
例3．（2022·浙江东阳·七年级期末）关于x的分式方程：．
（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
【答案】（1）x=-5；（2）-4或6
【分析】（1）把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：（1）把m=3代入方程得：，
去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5，
检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解为x=-5；
（2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，
∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；
把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，解得：m=6．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【即学即练】
3（1）（2022·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程(其中a为常数)有增根，则增根为_____．
【答案】．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出的值，检验是否符合题意即可．
【详解】分式方程的最简公分母为x(x﹣2)，
去分母得：，
令，得或，
把代入得：整式方程无解，即分式方程无解；把代入得：，
综上，分式方程的增根为．故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的增根的确定方法，确定增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，检验是否符合题意，将不合题意的舍去．
（2）（2022·浙江杭州·初二月考）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2或﹣3 B．0或3 C．﹣3或3 D．﹣3或0
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解析】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，
即m+2＝0或3（m+2）＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
【知识拓展4】分式方程的特殊解问题
例4．（2022·河南八年级期末）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】先解分式方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出a的值．
【详解】解：解方程，得，，，
但当时，是增根，，，且，
由二元一次方程组得，，
足，，，，，且，
为整数，满足条件的整数a有，，，0，故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键
【即学即练】
4.（1）（2022·安徽东至·七年级期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为____．
【答案】且
【分析】先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论．
【详解】解：去分母得，,解得：，
∵分式方程的解为正数，且,∴且,解得，且故答案为：且．
【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，解分式方程是解答的关键，注意不能产生增根，所以要使x≠1．
（2）（2022·江苏苏州·八年级期中）已知关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围______．
【答案】且
【分析】先解分式方程得到x=a+1，根据方程的解是负数，列不等式a+1<0，且a+20，求解即可得到答案．
【详解】解： a+2=x+1 x=a+1，
∵方程的解是负数，x≠-1∴a+1<0，且a+20，解得a<-1，且a-2，故答案为：且．
【点睛】此题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解题中考虑分式的分母不等于0的情况．
知识点02 分式方程的应用
知识点
分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【知识拓展1】工程问题
例1．（2022·内蒙古凉城·期末）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？
【答案】（1）2000；（2）该公司原计划安排750名工人生产帐篷．
分析：（1）直接利用20000÷10即可得到平均每天应生产帐篷多少顶；
（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，那么原计划每名工人每天生产帐篷顶，后来每名工人每天生产帐篷×（1+25%）顶，然后根据已知条件即可列出方程10-2-2=，解方程即可求出该公司原计划安排多少名工人生产帐篷．
【解析】（1）该公司平均每天应生产帐篷20000÷10=2000顶；
（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，
依题意得，（10-2-2）××1.25×（x+50）=20000-2×2000，即16000x=15000（x+50），
1000x=750000，解得x=750，经检验x=750是方程的解，
答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．
考点：分式方程的应用．
【即学即练1】
1．（2022·山东临沂市·中考真题）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可．
【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，由题意可得：，故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．
【知识拓展2】行程问题
例2．（2022·山东·武城县八年级期末）小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．(1)求小张跑步的平均速度；(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会前赶到奥体中心？说明理由．
【答案】(1)210米/分钟；(2)他不能在演唱会前赶到奥体中心；理由见解析
【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间＝路程÷速度，结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）根据时间＝路程÷速度，求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其与23进行比较后即可得出结论．
【解析】 (1)解：设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，
根据题意得：，解得：x＝210，
经检验，x＝210是原分式方程的解．
答：小张跑步的平均速度为210米/分钟．
(2)小张跑步到家所需时间为2520÷210＝12（分钟），
小张骑车所用时间为12−4＝8（分钟），
小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12＋8＋5＝25（分钟），
∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据时间=路程÷速度，结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．
【即学即练2】
2．（2022·竹溪县实验中学其他）某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米/小时，则所列方程正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】关键描述语为：“过了30分后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间-乘车同学所用时间=小时，可以列出相应的方程．
【解析】由题意可得：，故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
【知识拓展3】销售问题
例3．（2022·重庆巴蜀中学初三期中）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.
（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
【答案】（1）购入种原料每千克的价格最高不超过10元；（2）这种产品的批发价为50元．
【分析】（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为（x＋10）元，根据使每件产品的成本价不超过34元列出不等式求解即可；（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a＋30）元，根据“用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，”正确列出分式方程即可.
【解析】（1）设种原料每千克的价格为元，则种原料每千克的价格为元，
根据题意得：，解得：．
答：购入种原料每千克的价格最高不超过10元．
（2）设这种产品的批发价为元，则零售价为元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的根，且符合实际．
答：这种产品的批发价为50元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程.
【即学即练】
3．（2020·四川广元·八年级期末）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进，两种健身器材若干件，经了解，种健身器材的单价是种健身器材单价的1.5倍，用7200元购买种健身器材比用5400元购买种健身器材多10件．(1)，两种健身器材的单价分别是多少元？(2)若今年种健身器材的单价相较去年上涨了，种健身器材的单价相较去年下降了，这样用7200元购买种健身器材和用5400元购买种健身器材的数量就一样多，求的值．（保留一位小数）
【答案】(1)种健身器材的单价是360元，种健身器材的单价是540元 (2)33.3
【分析】（1）设种健身器材的单价为元，则种健身器材的单价为元，根据用7200元购买种健身器材数−用5400元购买种健身器材数=10，列分式方程求解即可；
（2）用7200元购买种健身器材的数量=用5400元购买种健身器材的数量，列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设种健身器材的单价为元，则种健身器材的单价为元．
根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，（元）．
答：种健身器材的单价是360元，种健身器材的单价是540元；
（2）解：根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，∴．
【点睛】本题主要考查了分式方程在生活中的应用，根据题意找出等量关系列分式方程是解题的关键，解分式方程时检验是解题的易错点．
【知识拓展4】方案问题
例4．（2022·内蒙古乌海·初二期末）在“双十二”期间，两个超市开展促销活动，活动方式如下：
超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元； 超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：
（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在商场购买的数量比在商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）
【答案】（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析
【分析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球个，在A超市可买篮球个，根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；
（2）分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.
【解析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，依题意，得，解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；
（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，
单独在A超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元，
在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元，
单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，在A、B两个超市共买100个，
根据A超市的方案可知在A超市一次购买：=44，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元，
综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
【即学即练】
4．（2022·湖南长沙·八年级期末）某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元．(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？(2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，问有几种进货方案？(3)如果乙种电脑每台售价为3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？
【答案】(1)今年三月份甲种电脑每台售价4000元 (2)一共有5种进货方案 (3)的值为200
【分析】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元，然后由卖出相同数量的电脑，而去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元列出方程求解即可；（2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，列出不等式求解即可得到答案；（3）设甲种电脑台，总获利为元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相同，求解即可．
【解析】 (1)设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元．
依题意，得：， 解得．
检验可知是方程的解，且符合题意．
答：今年三月份甲种电脑每台售价4000元．
(2)设购甲种电脑台，则乙种电脑台．
依题意，得：，解得：．
∵为正整数，∴，9，10，11，12∴共有5种进货方案．
答：一共有5种进货方案；
(3)设甲种电脑台，总获利为元．则：
．
∵要使（2）中所有方案获利相同，∴的结果与无关，∴，∴．
∴购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利答：的值为200．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，函数关系式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系与不等关系，列出分式方程与不等式求解即可．
能力拓展
考法01 分式方程中的整数解问题
【典例1】（2022·达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
【答案】
【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．
【详解】解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:，故答案是：．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．
变式1．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）若实数使得关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的的值之和是（ ）
A．20 B．17 C．15 D．12
【答案】C
【分析】根据分式方程有正整数解，可得的值，即可得到答案．
【详解】解：分式方程，
去分母得：，
去括号合并得：，
∴，由题意得：，即且是正整数，
∴或或，∴或或，
∴所有满足条件的的值之和为3+4+8=15，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的正整数解等知识，解题的关键是求出的范围，容易忽略的条件．
变式2．（2022·重庆实验外国语学校）关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的正整数a的和是（ ）
A．6 B．12 C．14 D．20
【答案】A
【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据整数解求出a的可能值，然后再通过不等式组进一步确定a的值，最后求和即可．
【详解】解：∵∴y＜，y≥
∵关于y的不等式组有解∴不等式组的解集为≤y＜，
∴＜，即a-3＜5，可得a＜8 由有整数解,可得： x= ,即a为偶数
∵x≠-1∴x≠6 ∵正整数a∴a=2或a=4∴4+2=6．故选A．
【点睛】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识点，正确求解分式方程成为解答本题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据分式方程的定义，即可判断．
【详解】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程；
所以关于x的分式方程共有1个，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
2．（2022·湖南·八年级阶段练习）把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程两边同时乘以进行化简即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：；故选D．
【点睛】本题考查分式方程去分母．在去分母的时候，注意常数项不要漏乘．
3．（2022·山东青州·初二期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或或
【答案】D
【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
【解析】解：由得x=
∵分式方程无解 ∴=±2或m+4=0∴m=0或m=-8或∴或或故答案为D.
【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
4．（2022·广东·佛山市华英学校三模），两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，根据题意可得，同样走千米，小汽车比大汽车少用小时，据此列方程．
【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，
由题意得，．故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
5．（2022·陕西金台·）某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据工作效率=工作总量÷时间结合采用新技术后每天多生产30套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）方程的解昰___________．
【答案】
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.
【详解】解：
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的根，
∴ 原方程的根为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法与步骤”是解本题的关键.
7．（2022·湖南·永州市八年级阶段练习）如果方程的解是正数，那么的取值范围为______．
【答案】且
【分析】先将分式方程的解用关于k的代数式表示出来，再结合题意和分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：
，
∵该分式方程解为正数和使分式有意义的条件，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分时方程的解，解决本题的关键是注意分式有意义的条件．
8．（2022·江苏海陵·八年级期中）若解关于x的方程＝+2时产生了增根，则m＝_____．
【答案】﹣1．
【分析】先将分式化成化为整式方程，求得x，然后令x=2，即可求得m的值即可
【解析】解：原式去分母得：x﹣1＝﹣m+2x﹣4，解得：x＝m+3，
由分式方程有增根，得到x＝2，则有m+3＝2，解得：m＝﹣1，故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，求出用m表示的分式方程的解是解答本题的关键．
9．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)；(2)无解．
【分析】分式方程去分母即可转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验后即可得到分式方程的解．
【详解】（1）方程两边同时乘以 得：
，
解得：，
检验：当时，
所以分式方程的解为；
（2）方程两边同时乘以 得：
，
解得：，
检验：当时，
所以原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根．
10．（2022·重庆一中九年级阶段练习）某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香樟这两种树．
(1)该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？
(2)在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量．
【答案】(1)3000棵 (2)150棵
【分析】（1）设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵，根据种植总数是5000列方程求解即可；（2）设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵，根据两个小组同时完成任务即用时相等列方程求解即可．
【详解】（1）解：设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵，
则有：，解得：，
∴
答：计划种植黄桷树3000棵．
（2）设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵，
则有，解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
答：乙组每小时种植的数量为150棵．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，找出题中的数量关系并用它列出方程是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2022·四川广元·八年级期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．原分式方程无解
【答案】D
【分析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验解分式方程即可．
【详解】解：
分式两边同乘得： ，
移项合并同类项得：，
检验：当，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
故选D．
【点睛】本题考查解分式方程，注意使最简公分母为0的x的值，是方程的增根，要舍掉．
2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）将的分母化为整数，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质求解．
【详解】解：将的分母化为整数，可得．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
3．（2022·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．
【详解】解：去分母得：x-1=m，解得：x=m+1，
根据题意得：m+1=3，解得：m=2，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
4．（2022·石家庄市八年级期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】D
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．
【详解】解：，去分母得：5（x-2）=ax，去括号得：5x-10=ax，移项，合并同类项得：（5-a）x=10，
∵关于x的分式方程有解，∴5-a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：，
∴且，即a≠5，a≠0，
综上所述：关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故选：D．
【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视．
5．（2022·广东·高州八年级阶段练习）已知关于的分式方程的解为负数，求m的取值范围．
【答案】m>1且m≠2
【分析】将m当成常数，解分式方程，再根据分式方程解的情况，列不等式求解即可．
【详解】，
解：，
，
，
∵方程的解为负数
∴1-m＜0
∴ m>1
∵ x≠-1
∴ m≠2
∴ m>1且m≠2
故答案为：m>1且m≠2．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围：将参数当成常数正确的解出分式方程的根是解题的关键，在求参数的值时，要注意分式的分母不能为0．
6．（2022·河北张家口·初三二模）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】A
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解析】设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为： =．
故选A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
7．（2022·山东枣庄二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a＝﹣1，1，2，4，7，据此计算即可．
【详解】解：解分式方程﹣2＝，得：x＝，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，
∴当a＝﹣1时，x＝-1；
当a＝1时，x＝-2；
当a＝2时，x＝-4；
当a＝4时，x＝4；
当a＝5时，x＝2（不符合题意，故舍去）；
当a＝7时，x＝1；
故符合条件的所有a之和为：﹣1+1+2+4+7＝13．故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
8．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）某中学组织学生去离学校的东山农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，若先遣队比大队早到了，设大队的速度为，可得方程为_____________．
【答案】
【分析】设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，根据先遣队比大队早到0.5h列出分式方程求解即可．
【详解】解：设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，
根据题意得：，故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．
9．（2022·江苏新吴·八年级期末）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．（1）第一批笔记本每本进价多少元？（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
【答案】（1）第一批笔记本每本进价为8元；（2）剩余的笔记本每本最低打七五折．
【分析】（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元，则第一批购进本，第二批购进本，结合第二批的数量等于第一批的2倍，列方程，解方程即可；
（2）由（1）得第二批购进60本，设剩余的笔记本每本最低打折，由第二批笔记本的销售总利润不少于48元，列不等式，再解不等式可得答案.
【详解】解：（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元
由题意得：解之得： 经检验为原方程的解
答：第一批笔记本每本进价为8元．
（2）设剩余的笔记本每本最低打折，而第二批购进本，
由题意得：解之得：
答：剩余的笔记本每本最低打七五折
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟悉购买数量等于购买总金额除以单价，每本笔记本的利润乘以销售的数量等于总利润是解本题的关键.
10．（2022·山东德州·八年级期末）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
【答案】(1)A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元；(2)商店共有5种进货方案
【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论．
【解析】 (1)设A种商品每件进价x元，则B种商品每件进价元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，（元），
答：A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元．
(2)设购买A种商品a件，则B种商件，
由题意得：，解得，，
∵a为整数，∴、15、16、17、18，∴商店共有5种进货方案．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验．
11．（2021·浙江长兴·初二月考）某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
(1)求文化官第一批购进书包的单价是多少？
(2)商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？
【答案】（1）第一批购进书包的单价为80元（2）商店共盈利1350元
分析：（1）设第一批购进书包的单价为x元，则可以表示出第二批书包的单价为（x+4）元；
根据购进第一批和第二批书包的成本，可分别表示出购进第一批与第二批书包的数量；
利用等量关系“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列方程解答即可，注意分式方程要验根；
（2）用每批书的数量乘以每本书的利润，再把两批书的利润相加.
【解析】 (1) 设第一批购进书包的单价为x元.依题意,得,
整理,得20(x+4)=21x, 解得x=80.
检验：当x=80时，x(x+4)≠0∴x=80是原分式方程的解.
答:第一批购进书包的单价为80元.
(2) =300+1050=1350
答:商店共盈利1350元.
点睛：列分式方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出能够表示题目全部含x的相等关系，列出分式方程；④解分式方程；⑤验根；⑥写出答案.本题第（1）问，即是根据“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列方程解答的.
题组C 培优拔尖练
1．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
∴，∴，∴，
∵解为非正数，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
2．（2022·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x的分式方程的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是（ ）
A．﹣7＜k＜14 B．﹣7＜k＜14且k≠0 C．﹣14＜k＜7且k≠0 D．﹣14＜k＜7
【答案】C
【分析】先解分式方程，然后根据分式方程的解满足2＜x＜5和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵分式方程的解满足2＜x＜5，∴，解得且，故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．-6 B．-4 C．-2 D．1
【答案】A
【分析】先解不等式组，然后根据一元一次不等式组无解确定的取值范围，最后根据分式方程的解为正数确定的值即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得：，
，
去分母得：，
解得：且，
∴或或或或，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
4．（2022·重庆一中九年级阶段练习）“遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节，是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青餐高．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的，梭子蟹、青蟹的销量之比为．10月8日，大闸蟹因为单价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额，梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为，梭子蟹两天的总销售额与青蟹两天的总销售额之比为，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．
【答案】
【分析】设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，设10月8日，大闸蟹的销量为m，可得在10月8日，大闸蟹的销量为，设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，由题意得：，即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为，则问题随之得解．
【详解】∵10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∵10月1日，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青餐高，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的单价之比为，
设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，
则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，
由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，
设10月8日，大闸蟹的销量为m，
由题意得：，解得，即在10月8日，大闸蟹的销量为，
设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，
由题意得：，解得，则，
即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，
则在10月8日梭子蟹的总销售额为，青蟹的总销售额为，由题意得：，解得：，
即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为，故答案为：．
【点睛】本题考查应用类问题，重点是假设未知数，解题的关键是厘清题中给出的众多的量之间的关系．
5．（2022·厦门双十中学海沧附属学校）观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
【答案】x=n+4或x=n+5
【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．
【详解】解：，解得：或；，解得：或；
，解得：或；得到规律，的解为：或；
所求方程整理得：，根据规律得：或，
解得：x=n+4或x=n+5故答案为：x=n+4或x=n+5
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键．
6．（2022·河北·邢台市八年级阶段练习）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；(2)当时，求为何值时分式方程无解；
(3)若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)3、29、55、185
【分析】（1）将和的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值，使分式方程无解即可；
（3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数确定的取值．
（1）
解：把，代入分式方程中，得
方程两边同时乘以，
∴，
检验：把代入≠0，
所以原分式方程的解是．
答：分式方程的解是．
（2）
把代入分式方程得
方程两边同时乘以，
①当时，即，方程无解；
②当时，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程无解．
（3）
把代入分式方程，得：
方程两边同时乘以，
整理得：
∴
，且为正整数，为整数
必为195的因数，
∵195=3×5×13
的因数有1、3、5、13、15、39、65、195
但1、3、5 小于11，不合题意，故可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解为3、5、13、15、17
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取3、29、55、185
所以满足条件的可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】此题考查了分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提，其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
7．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校八年级期中）已知关于x的分式方程
(1)已知m=4，求方程的解；(2)若该分式方程无解，试求m的值．
【答案】(1)x＝−1
(2)m＝−1或−6或．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到m＋1＝0或（x＋2）（x−1）＝0，解m＋1＝0可求得一个m的值，将x＝−2或x＝1代入整式方程即可求出另外两个m的值．
（1）
解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x−1，
整理得：（m＋1）x＝−5．
当m＝4时，（4＋1）x＝−5，
解得：x＝−1
经检验：x＝−1是原方程的解．
（2）
解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x−1，
整理得：（m＋1）x＝−5．
∴
∵分式方程无解，
∴m＋1＝0或（x＋2）（x−1）＝0，
当m＋1＝0时，m＝−1；
当（x＋2）（x−1）＝0时，x＝−2或x＝1．
当x＝−2时m＝；
当x＝1时m＝−6，
∴m＝−1或−6或时该分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8.（2022·河南·初二期中）某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有座和座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比座的贵元．（1）会务组第一天在这家公司租了辆座和辆座的客车，一天的租金为元，求座和座的客车每辆每天的租金各是多少元？（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案：若只租用座的客车，会有一辆客车空出个座位；方案：若只租用座客车，正好坐满且比只租用座的客车少用两辆。①请计算方案的费用； ②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？
【答案】（1）45座的客车每辆每天的租金为200元， 60座的客车每辆每天的租金为300元；（2）①方案1的费用为1200元，方案2的费用为1200元；②有，方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆
【分析】（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，根据题意可得等量关系：2辆60座的一天的租金+5辆45座的一天的客车的租金=一天的租金为1600元；根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）①设参会人员为y人，由题意列出方程，得出y=240，即可求出方案1、2的费用；
②方案3：共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，求出费用=1100元，即可得出结论．
【解析】解：（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，
则：2（x+100）+5x=1600，解得：x=200，∴x+100=300，
答：45座的客车每辆每天的租金为200元， 60座的客车每辆每天的租金为300元；
（2）设参会人员为y人，由题意得：，解得：y=240，
①方案1的费用：（240+30）÷45×200=1200（元），方案2的费用：240÷60×300=1200（元），
②有方案3：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，理由如下：
共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，
费用：4×200+300=1100（元）＜1200元，∴最终租车方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用；根据题意列出方程是解题的关键．
9．（2022·湖南学八年级阶段练习）某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务．(1)求原计划每天铺设路面的长度；(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．
【答案】(1)原计划每天铺设管道的长度为 (2)够；理由见解析
【分析】（1）设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间铺设的时间天，列方程求解即可；
（2）分别得到两种不同的工作效率所用的时间，进一步得到各自需要的工资，相加即可求解．
（1）
解：设原计划每天铺设管道，则后来的工作效率为，
根据题意，得，
解得：，
经检验：是原分式方程的解．
答：原计划每天铺设管道的长度为．
（2）解：够；
理由：，
（元,
．
现市政部门为完成整个工程所准备的流动资金够支付工人工资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
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