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【同步讲义】人教版数学八年级上册：期中押题预测卷（考试范围：第十一～十三章）
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期中押题预测卷
（考试范围：第十一～十三章）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·广东惠州·八年级期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，不是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可．
【详解】解：第一幅图是轴对称图形；第二幅图不是轴对称图形；
第三幅图不是轴对称图形；第四幅图不是轴对称图形；所以，不是轴对称图形的共3个．故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2．（2022·四川绵阳八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形内部到三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点
B．三条线段a、b、c，如果，则以这三条线段为边能够组成三角形
C．如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，那么这两个三角形全等
D．若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等
【答案】D
【分析】根据角平分线、三角形三边关系的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，全等三角形的判定性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点，故选项A错误；
三条线段a、b、c，如果，同时，，则以这三条线段为边能够组成三角形，故选项B错误；
如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，两条边的夹角不一定相等，
∴不能确定两个三角形全等，故选项C错误；
若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，故选项D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形角平分线、三角形三边关系、全等三角形的性质，从而完成求解．
3．（2022·江苏苏州·八年级期中）如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ）
A．24 B．21 C．18 D．16
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB＋BD＋DA＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝16cm，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝16＋8＝24（cm），故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
4．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE
【答案】D
【分析】据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．
【详解】解：∵OB平分∠AOC ∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，在△DOE和△FOE中，
∴△DOE≌△FOE（AAS）∴D答案正确．故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．
5．（2022·四川绵阳·八年级期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
【答案】C
【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．
【详解】解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2022·广东·广州八年级阶段练习）如图，的三边、、的长分别是8、12、16，点是三条角平分线的交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知OD=OE=OF．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F，
∵点是三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF．
∵，，
，∴．故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出OD=OE=OF是解题关键．
7．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，，AC=BC．，，垂足分别是点D、E．若AD=6，BE=2，则DE的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由一线三直角∠ADC=∠CEB=90º推得∠ACD=∠CBE，再加上AC=BC，易证△ACD≌△CBE（AAS）
便可求出ED=EC-CD 即可．
【详解】∵，∴∠ACD+∠ECB=90º，
∵，，∴∠ADC=∠CEB=90º，
∴∠ECB+∠CBE=90º，∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，∵∠ADC=∠CEB=90º，∠ACD=∠CBE，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE=6，CD=BE=2，
∴ED=EC-CD=6-2=4．故选择：C．
【点睛】本题考查全等三角形中的线段差问题，关键掌握三角形全等的证明方法，会用差线段来解决问题．
8．（2022·江苏盐城·八年级期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的底角度数是（ ）
A．（）2020•75° B．（）2020•65°
C．（）2021•75 D．（）2021•65°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B=30°，A1B=CB，得∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°，那么∠BA1C=×150°=75°．由A1A2=A1D，得∠DA2A1=∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，得∠DA2A1=∠BA1C=××150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
【详解】解∶∵∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．
∴∠BA1C=×150°=75°．
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2．
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°．
同理可得：∠EA3A2=∠DA2A1=×××150°．
…
以此类推，以An为顶点的内角度数是．
∴以A2021为顶点的内角度数是．
故选 A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
9．（2022·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①AD平分∠MAC；②；③若，则，④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可判断①；根据，利用三角形的面积公式即可判断②；先根据定理证出，，，再根据全等三角形的性质可得，，，设，则，然后根据角的和差可得，最后根据直角三角形的性质即可判断③；先根据三角形全等的判定证出，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可判断④．
【详解】解：如图，过点作于点，
分别平分，且，
，
，
又点在的内部，
平分，结论①正确；
，
，结论②正确；
在和中，，
，
，
同理可证：，，
，，
设，则，
，
，
，结论③正确；
，
，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
由上已证：，
，
，结论④正确；
综上，结论中正确的个数为4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、四边形的内角和等知识点，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题关键．
10．（2022·广东·梅州市七年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，有下列结论：①BH＝DH；②BD＝CD；③AD+CF＝BD；④CE＝BF．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据DH⊥BC，∠ABC＝45°，可得∠ABC=∠BDH，从而得到BH=DH，故①正确；再由CD⊥AB，可得∠BCD=∠ABC=45°，从而得到BD=CD，故②正确；然后根据BE⊥AC，可得∠ACD=∠ABE，从而证得△BDF≌△CDA，可得到DF=AD，BF=AC，可得到③正确；再由BE平分∠ABC，BE⊥AC，可得△ABE≌△CBE，可得到CE=AE=AC，即可求解．
【详解】解：∵DH⊥BC，
∴∠BHD=∠DHC=90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BDH=45°，
∴∠ABC=∠BDH，
∴BH=DH，故①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，
∴BD=CD，故②正确；
∵∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠BDF=∠ADC=90°，BD=CD，
∴△BDF≌△CDA，
∴DF=AD，
∴BD=CD=DF+CF=AD+CF，故③正确；
∵△BDF≌△CDA，
∴BF=AC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE=BE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE=AE=AC，
∴CE＝BF，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故选：D
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·广西·八年级期中）如图，AD是的中线，已知的周长为25cm，AB比AC长6cm，则的周长为 cm。
【答案】19
【详解】∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：25﹣6=19cm．
12.（2022·浙江杭州·八年级期中）若等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x的取值范围是______；若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长y的取值范围是______．
【答案】 x>3 0
【详解】等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x，则根据x+x＞6且x-x＜6，即x＞3．
腰长是6，底边长为y，根据三边关系可知：6-6＜y＜6+6，即0＜y＜12．
故答案为x＞3．0＜y＜12；
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两腰相等，以及三角形的三边关系．
13．（2022·重庆九龙坡·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是____．
【答案】##59.5
【分析】首先根据翻折的性质和AD⊥ED，求得，然后得到△BCD是等腰直角三角形，然后求出CD的长度，进一步求得AD的长度，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，AD⊥ED，
∴，
∴，
又∵∠C＝90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵将△ADB沿直线BD翻折后，得到△EDB，
∴，AD=DE，
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，三角形翻折问题，三角形面积公式等知识，解题的关键是根据题意求出AD的长度．
14．（2022·河南三门峡·八年级期末）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点．，则______度．
【答案】90
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得的度数，然后求解．
【详解】解：
故答案为：90．
【点睛】此题考查了三角形的角度问题，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理．
15．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，在中，高AD和BE交于点H，且DH=DC，则∠ABC=________°．
【答案】45
【分析】由题意易证，根据全等三角形的性质可得出AD=BD，再由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，求得∠ABC=45．
【详解】解：∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC=∠AEB=90，
∴∠C+∠CAD=90，∠C+∠CBE=90，
∴∠CAD=∠CBE，
在和中
，
∴（AAS），
∴AD=BD，
又∵∠ADB=90，
∴∠DAB=∠DBA=45，
∴∠ABC=45，
故答案为：45．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质及直角三角形的性质，考查了学生的推理能力．
16．（2022·江苏·苏州八年级期中）等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值________．
【答案】或
【分析】由等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解．
【详解】①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：，
∴特征值，
②当为底角时，顶角的度数为：，
∴特征值，
综上所述，特征值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
17．（2022·河南·驻马店八年级阶段练习）如图，中，，，的平分线与线段的垂直平分线交于点连接、，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为______度．
【答案】96
【分析】根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，证明≌，根据全等三角形的性质可得，求出，然后根据折叠的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：，为的平分线，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
在和中，，
≌（SAS），
，
，
由折叠的性质可知，，
，
∴在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理等知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（2022·绵阳·八年级期中）如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是___________
【答案】①②③．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE＝CF，判断出②正确；根据BE＋CF＝AF＋AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE＋CF＞EF，判断出④错误．
【详解】解：∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF＋∠ADE＝90°，
∵∠BDE＋∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
故③正确；
∴DE＝DF、BE＝AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正确；
∵AE＝AB－BE，CF＝AC－AF，
∴AE＝CF，
故②正确；
∵BE＋CF＝AF＋AE
∴BE＋CF＞EF，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏镇江·八年级期中）使用直尺与圆规完成下面作图，（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在AB上找一点P使得P到AC和BC的距离相等；
(2)在射线CP上找一点Q，使得QB＝QC；
(3)若BC＝10，则点Q到边AC的距离为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）作出∠C的角平分线交AC于P，点P即为所求；
(2)作线段BC的垂直平分线，交CP于点Q，点Q即为所求；
（3）如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，根据CP为∠ACB的平分线，得到QF=QE，根据垂直平分线的性质得到∠QEC=90°，也可以证∠QCE=∠CQE，所以得到CE=QE=5，再根据角平分线的性质得到QF=QE=5，即可求解；
(1)
作出∠C的角平分线，标出点P
(2)
作出BC的垂直平分线标出点Q
(3)
如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，
∵QE为BC的垂直平分线，
∴QE⊥BC，∠QEC=90°
∵CP为∠ACB的平分线，
∴QF=QE
∴∠PCE=∠ACP=°，
∵∠QEC=90°
∴∠CQE=90°-∠QCE=90°-45°=45°，
所以∠QCE=∠CQE
所以CE=QE
∵QE为BC的垂直平分线，
∴BE=CE=
∴CE=QE=5
所以QF=QE=5
∴点Q到边AC的距离为5，
故答案为：5
【点睛】本题考查作图，应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质．
20．（2022·重庆·八年级期中）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）（4，3）；（3）；
【分析】（1）从三角形的三边向y轴引垂线，并延长相同的距离找到三点的对称点，顺次连接．
（2）从图形中找出点C1，并写出它的坐标．
（3） 根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【详解】（1）△A1B1C1如图所示．
（2）点C1的坐标为(4，3)．
（3）S△ABC＝3×5－×3×2－×3×1－×2×5＝．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的作法，注意画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是关键．
21．（2022·河北·八年级期中）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
【答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A．
【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“”证明；
（2）过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，根据等角的补角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等；
（3）以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等；
（4）根据三种情况结论，不小于即可．
【详解】解：（1）在和，，，，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道，
故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL．
（2）如图，
过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，
，且、都是钝角，
，
即，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）如图，和不全等；
以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等．
（4）若，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
22．（2022·江苏·八年级阶段练习）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．
(1)证明：BE＝DF．
(2)连接EF，则AC、EF之间有何关系．
【答案】(1)见解析
(2)AC垂直平分EF
【分析】（1）由“HL”可证Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出BE＝DF；
（2）由“HL”可证Rt△ACE≌Rt△ACF，得AF＝AE，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
（1）
证明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，
在Rt△CDF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴BE＝DF；
（2）
解：AC垂直平分EF，理由如下：
如图，在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∵AC平分∠BAD，
∴AC垂直平分EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2022·四川·广汉八年级期中）如图1所示，等腰直角三角形中，，，直线经过点，于点，于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当直线运动到如图2所示位置时，其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）根据题意可得，，然后利用同一个角的余角相等即可得证；
（2）通过“角角边”易证，则可得，，再利用等量代换即可得证；
（3）同理（2）通过“角角边”易证，，，再利用等量代换即可得证.
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）证明：在和中
∵，
∴，
∴，，
又，
∴
（3）解：，
同（2）可得，
故，，
又，
∴.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据条件选择适当的方法证明三角形全等.
24．（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
(1)试求∠DAE 的度数．
(2)如果把题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，试求∠DAE的度数．
(3)若将已知条件“∠BAC＝120°”改为，其它条件与（2）相同，请直接写出∠DAE的度数为 °．
【答案】(1)∠DAE ＝60°
(2)∠DAE ＝60°
(3)
【分析】（1）由可得，由可推出，进一步得出，可得，最后得出；
（2）设，等腰三角形的性质得，，三角形的内角和定理得，，可得，由等腰三角形的性质得，所以；
（3）设∠B=x°，等腰三角形的性质得，∠BAD=∠BDA=90°-x°，三角形的内角和定理得，∠ACB=180°-x°-α°，所以，∠DAC=∠ADB-∠ACD=-90°+x°+α°，由等腰三角形的性质得∠E=∠CAE=90°-x°-α°，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=α°；
(1)
解：∵，∠BAC＝120°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
不改变，
设∠CAE=x°，
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=x°，
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x°，
∵在△ABC中，∠BAC=120°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=60°-2x°，
又∵BD=BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝(180°−∠B) ＝[(180°−（60°-2x°）]＝60°+x°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（120°+x°）-（60°+x°）=60°；
(3)
∠DAE＝α，
∵BD=BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝ (180°−∠B)，
∴∠DAC＝∠BAC−∠BAD＝α− (180°−∠B)＝α−90°+∠B，
∵CE=CA，
∴∠CAE＝∠E＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝α−90°+∠B+∠ACB=α−90°+ (180°−α)＝α．
故答案为：．
【点睛】考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键．
25．（2022·重庆市渝北区八年级期中）在中，是中点，分别为射线上一点，且满足
(1)如图1，若，且分别在线段上，，求线段的长度；
(2)如图2，连接并延长至点，使，过点作于点，当点在线段的延长线上，点在延长线上时，求证：
【答案】(1)2
(2)见解析
【分析】（1）连接AE，可证△ABC是等腰直角三角形，进一步可得AE=CE，∠C=∠EAG=45°，根据已知条件，可得∠CEH=∠AEG，即可证明△CEH≌△AEG（ASA），从而求出AG；
（2）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，可知EI是线段BJ的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质易证△ECH≌△EJG（AAS），可得CH=GJ，再证明△BFE≌△BIE（AAS），可得BF=BI，即可得证．
（1）
解：连接AE，如图所示：
∵∠B=45°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为BC的中点，
∴AE=CE，AE⊥BC，∠CAE=∠BAE=45°，
∴∠C=∠BAE，
∵∠CAB+∠GEH=180°，
∴∠GEH=∠AEC=90°，
∴∠CEH=∠AEG，
在△CEH和△AEG中，
∴△CEH≌△AEG（ASA），
∴AG=CH=2；
（2）
证明：作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，如图所示：
则EI是线段BJ的垂直平分线，
∴EJ=BE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴EJ=EC，
∵∠GEH+∠BAC=180°，∠GAH+∠BAC=180°，
∴∠GEH=∠GAH，
∴∠JGE=∠CHE，
∵EJ=EB，AB=AC，
∴∠EJB=∠ABC=∠ACB，
∴∠EJG=∠ECH，
∴△ECH≌△EJG（AAS），
∴CH=JG，
∵AC=AB，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又DE=AE，
∴BD=AB，
∴∠ABE=∠DBE，
∵EF⊥BD，EI⊥AB，
∴∠BIE=∠BFE=90°，
∵BE=BE，
∴△BFE≌△BIE（AAS），
∴BF=BI，
∴2BF+CH=BG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的性质，线段垂直平分线等，构造全等三角形是解题的关键．
26．（2022·重庆巴南·八年级期末）已知点D在△ABC外，，，射线BD与△ABC的边AC交于点H，，垂足为E，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，已知，，点F在线段BC，且，点M，N分别是射线BC、BD上的动点．在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，最小值为4
【分析】（1）在BD上取BG=CD，连接AG，AD．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论；
（2）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案．
(1)
如图，在BD上取BG=CD，连接AG，AD．
∵在和中，，
∴，
∴．
又∵，
∴E为DG中点，即，
∴，
∴；
(2)
如图，作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．
由作图可知，，．
∴，
∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴为边长为4的等边三角形，
∴，
∴的最小值为4．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．
期中押题预测卷
（考试范围：第十一～十三章）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·广东惠州·八年级期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，不是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可．
【详解】解：第一幅图是轴对称图形；第二幅图不是轴对称图形；
第三幅图不是轴对称图形；第四幅图不是轴对称图形；所以，不是轴对称图形的共3个．故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2．（2022·四川绵阳八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形内部到三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点
B．三条线段a、b、c，如果，则以这三条线段为边能够组成三角形
C．如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，那么这两个三角形全等
D．若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等
【答案】D
【分析】根据角平分线、三角形三边关系的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，全等三角形的判定性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点，故选项A错误；
三条线段a、b、c，如果，同时，，则以这三条线段为边能够组成三角形，故选项B错误；
如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，两条边的夹角不一定相等，
∴不能确定两个三角形全等，故选项C错误；
若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，故选项D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形角平分线、三角形三边关系、全等三角形的性质，从而完成求解．
3．（2022·江苏苏州·八年级期中）如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ）
A．24 B．21 C．18 D．16
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB＋BD＋DA＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝16cm，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝16＋8＝24（cm），故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
4．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE
【答案】D
【分析】据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．
【详解】解：∵OB平分∠AOC ∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，在△DOE和△FOE中，
∴△DOE≌△FOE（AAS）∴D答案正确．故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．
5．（2022·四川绵阳·八年级期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
【答案】C
【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．
【详解】解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2022·广东·广州八年级阶段练习）如图，的三边、、的长分别是8、12、16，点是三条角平分线的交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知OD=OE=OF．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F，
∵点是三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF．
∵，，
，∴．故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出OD=OE=OF是解题关键．
7．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，，AC=BC．，，垂足分别是点D、E．若AD=6，BE=2，则DE的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由一线三直角∠ADC=∠CEB=90º推得∠ACD=∠CBE，再加上AC=BC，易证△ACD≌△CBE（AAS）
便可求出ED=EC-CD 即可．
【详解】∵，∴∠ACD+∠ECB=90º，
∵，，∴∠ADC=∠CEB=90º，
∴∠ECB+∠CBE=90º，∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，∵∠ADC=∠CEB=90º，∠ACD=∠CBE，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE=6，CD=BE=2，
∴ED=EC-CD=6-2=4．故选择：C．
【点睛】本题考查全等三角形中的线段差问题，关键掌握三角形全等的证明方法，会用差线段来解决问题．
8．（2022·江苏盐城·八年级期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的底角度数是（ ）
A．（）2020•75° B．（）2020•65°
C．（）2021•75 D．（）2021•65°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B=30°，A1B=CB，得∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°，那么∠BA1C=×150°=75°．由A1A2=A1D，得∠DA2A1=∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，得∠DA2A1=∠BA1C=××150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
【详解】解∶∵∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．
∴∠BA1C=×150°=75°．
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2．
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°．
同理可得：∠EA3A2=∠DA2A1=×××150°．
…
以此类推，以An为顶点的内角度数是．
∴以A2021为顶点的内角度数是．
故选 A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
9．（2022·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①AD平分∠MAC；②；③若，则，④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可判断①；根据，利用三角形的面积公式即可判断②；先根据定理证出，，，再根据全等三角形的性质可得，，，设，则，然后根据角的和差可得，最后根据直角三角形的性质即可判断③；先根据三角形全等的判定证出，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可判断④．
【详解】解：如图，过点作于点，
分别平分，且，
，
，
又点在的内部，
平分，结论①正确；
，
，结论②正确；
在和中，，
，
，
同理可证：，，
，，
设，则，
，
，
，结论③正确；
，
，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
由上已证：，
，
，结论④正确；
综上，结论中正确的个数为4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、四边形的内角和等知识点，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题关键．
10．（2022·广东·梅州市七年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，有下列结论：①BH＝DH；②BD＝CD；③AD+CF＝BD；④CE＝BF．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据DH⊥BC，∠ABC＝45°，可得∠ABC=∠BDH，从而得到BH=DH，故①正确；再由CD⊥AB，可得∠BCD=∠ABC=45°，从而得到BD=CD，故②正确；然后根据BE⊥AC，可得∠ACD=∠ABE，从而证得△BDF≌△CDA，可得到DF=AD，BF=AC，可得到③正确；再由BE平分∠ABC，BE⊥AC，可得△ABE≌△CBE，可得到CE=AE=AC，即可求解．
【详解】解：∵DH⊥BC，
∴∠BHD=∠DHC=90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BDH=45°，
∴∠ABC=∠BDH，
∴BH=DH，故①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，
∴BD=CD，故②正确；
∵∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠BDF=∠ADC=90°，BD=CD，
∴△BDF≌△CDA，
∴DF=AD，
∴BD=CD=DF+CF=AD+CF，故③正确；
∵△BDF≌△CDA，
∴BF=AC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE=BE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE=AE=AC，
∴CE＝BF，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故选：D
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·广西·八年级期中）如图，AD是的中线，已知的周长为25cm，AB比AC长6cm，则的周长为 cm。
【答案】19
【详解】∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：25﹣6=19cm．
12.（2022·浙江杭州·八年级期中）若等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x的取值范围是______；若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长y的取值范围是______．
【答案】 x>3 0
【详解】等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x，则根据x+x＞6且x-x＜6，即x＞3．
腰长是6，底边长为y，根据三边关系可知：6-6＜y＜6+6，即0＜y＜12．
故答案为x＞3．0＜y＜12；
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两腰相等，以及三角形的三边关系．
13．（2022·重庆九龙坡·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是____．
【答案】##59.5
【分析】首先根据翻折的性质和AD⊥ED，求得，然后得到△BCD是等腰直角三角形，然后求出CD的长度，进一步求得AD的长度，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，AD⊥ED，
∴，
∴，
又∵∠C＝90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵将△ADB沿直线BD翻折后，得到△EDB，
∴，AD=DE，
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，三角形翻折问题，三角形面积公式等知识，解题的关键是根据题意求出AD的长度．
14．（2022·河南三门峡·八年级期末）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点．，则______度．
【答案】90
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得的度数，然后求解．
【详解】解：
故答案为：90．
【点睛】此题考查了三角形的角度问题，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理．
15．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，在中，高AD和BE交于点H，且DH=DC，则∠ABC=________°．
【答案】45
【分析】由题意易证，根据全等三角形的性质可得出AD=BD，再由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，求得∠ABC=45．
【详解】解：∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC=∠AEB=90，
∴∠C+∠CAD=90，∠C+∠CBE=90，
∴∠CAD=∠CBE，
在和中
，
∴（AAS），
∴AD=BD，
又∵∠ADB=90，
∴∠DAB=∠DBA=45，
∴∠ABC=45，
故答案为：45．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质及直角三角形的性质，考查了学生的推理能力．
16．（2022·江苏·苏州八年级期中）等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值________．
【答案】或
【分析】由等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解．
【详解】①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：，
∴特征值，
②当为底角时，顶角的度数为：，
∴特征值，
综上所述，特征值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
17．（2022·河南·驻马店八年级阶段练习）如图，中，，，的平分线与线段的垂直平分线交于点连接、，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为______度．
【答案】96
【分析】根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，证明≌，根据全等三角形的性质可得，求出，然后根据折叠的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：，为的平分线，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
在和中，，
≌（SAS），
，
，
由折叠的性质可知，，
，
∴在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理等知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（2022·绵阳·八年级期中）如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是___________
【答案】①②③．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE＝CF，判断出②正确；根据BE＋CF＝AF＋AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE＋CF＞EF，判断出④错误．
【详解】解：∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF＋∠ADE＝90°，
∵∠BDE＋∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
故③正确；
∴DE＝DF、BE＝AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正确；
∵AE＝AB－BE，CF＝AC－AF，
∴AE＝CF，
故②正确；
∵BE＋CF＝AF＋AE
∴BE＋CF＞EF，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏镇江·八年级期中）使用直尺与圆规完成下面作图，（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在AB上找一点P使得P到AC和BC的距离相等；
(2)在射线CP上找一点Q，使得QB＝QC；
(3)若BC＝10，则点Q到边AC的距离为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）作出∠C的角平分线交AC于P，点P即为所求；
(2)作线段BC的垂直平分线，交CP于点Q，点Q即为所求；
（3）如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，根据CP为∠ACB的平分线，得到QF=QE，根据垂直平分线的性质得到∠QEC=90°，也可以证∠QCE=∠CQE，所以得到CE=QE=5，再根据角平分线的性质得到QF=QE=5，即可求解；
(1)
作出∠C的角平分线，标出点P
(2)
作出BC的垂直平分线标出点Q
(3)
如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，
∵QE为BC的垂直平分线，
∴QE⊥BC，∠QEC=90°
∵CP为∠ACB的平分线，
∴QF=QE
∴∠PCE=∠ACP=°，
∵∠QEC=90°
∴∠CQE=90°-∠QCE=90°-45°=45°，
所以∠QCE=∠CQE
所以CE=QE
∵QE为BC的垂直平分线，
∴BE=CE=
∴CE=QE=5
所以QF=QE=5
∴点Q到边AC的距离为5，
故答案为：5
【点睛】本题考查作图，应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质．
20．（2022·重庆·八年级期中）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）（4，3）；（3）；
【分析】（1）从三角形的三边向y轴引垂线，并延长相同的距离找到三点的对称点，顺次连接．
（2）从图形中找出点C1，并写出它的坐标．
（3） 根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【详解】（1）△A1B1C1如图所示．
（2）点C1的坐标为(4，3)．
（3）S△ABC＝3×5－×3×2－×3×1－×2×5＝．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的作法，注意画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是关键．
21．（2022·河北·八年级期中）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
【答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A．
【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“”证明；
（2）过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，根据等角的补角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等；
（3）以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等；
（4）根据三种情况结论，不小于即可．
【详解】解：（1）在和，，，，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道，
故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL．
（2）如图，
过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，
，且、都是钝角，
，
即，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）如图，和不全等；
以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等．
（4）若，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
22．（2022·江苏·八年级阶段练习）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．
(1)证明：BE＝DF．
(2)连接EF，则AC、EF之间有何关系．
【答案】(1)见解析
(2)AC垂直平分EF
【分析】（1）由“HL”可证Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出BE＝DF；
（2）由“HL”可证Rt△ACE≌Rt△ACF，得AF＝AE，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
（1）
证明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，
在Rt△CDF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴BE＝DF；
（2）
解：AC垂直平分EF，理由如下：
如图，在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∵AC平分∠BAD，
∴AC垂直平分EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2022·四川·广汉八年级期中）如图1所示，等腰直角三角形中，，，直线经过点，于点，于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当直线运动到如图2所示位置时，其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）根据题意可得，，然后利用同一个角的余角相等即可得证；
（2）通过“角角边”易证，则可得，，再利用等量代换即可得证；
（3）同理（2）通过“角角边”易证，，，再利用等量代换即可得证.
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）证明：在和中
∵，
∴，
∴，，
又，
∴
（3）解：，
同（2）可得，
故，，
又，
∴.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据条件选择适当的方法证明三角形全等.
24．（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
(1)试求∠DAE 的度数．
(2)如果把题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，试求∠DAE的度数．
(3)若将已知条件“∠BAC＝120°”改为，其它条件与（2）相同，请直接写出∠DAE的度数为 °．
【答案】(1)∠DAE ＝60°
(2)∠DAE ＝60°
(3)
【分析】（1）由可得，由可推出，进一步得出，可得，最后得出；
（2）设，等腰三角形的性质得，，三角形的内角和定理得，，可得，由等腰三角形的性质得，所以；
（3）设∠B=x°，等腰三角形的性质得，∠BAD=∠BDA=90°-x°，三角形的内角和定理得，∠ACB=180°-x°-α°，所以，∠DAC=∠ADB-∠ACD=-90°+x°+α°，由等腰三角形的性质得∠E=∠CAE=90°-x°-α°，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=α°；
(1)
解：∵，∠BAC＝120°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
不改变，
设∠CAE=x°，
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=x°，
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x°，
∵在△ABC中，∠BAC=120°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=60°-2x°，
又∵BD=BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝(180°−∠B) ＝[(180°−（60°-2x°）]＝60°+x°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（120°+x°）-（60°+x°）=60°；
(3)
∠DAE＝α，
∵BD=BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝ (180°−∠B)，
∴∠DAC＝∠BAC−∠BAD＝α− (180°−∠B)＝α−90°+∠B，
∵CE=CA，
∴∠CAE＝∠E＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝α−90°+∠B+∠ACB=α−90°+ (180°−α)＝α．
故答案为：．
【点睛】考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键．
25．（2022·重庆市渝北区八年级期中）在中，是中点，分别为射线上一点，且满足
(1)如图1，若，且分别在线段上，，求线段的长度；
(2)如图2，连接并延长至点，使，过点作于点，当点在线段的延长线上，点在延长线上时，求证：
【答案】(1)2
(2)见解析
【分析】（1）连接AE，可证△ABC是等腰直角三角形，进一步可得AE=CE，∠C=∠EAG=45°，根据已知条件，可得∠CEH=∠AEG，即可证明△CEH≌△AEG（ASA），从而求出AG；
（2）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，可知EI是线段BJ的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质易证△ECH≌△EJG（AAS），可得CH=GJ，再证明△BFE≌△BIE（AAS），可得BF=BI，即可得证．
（1）
解：连接AE，如图所示：
∵∠B=45°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为BC的中点，
∴AE=CE，AE⊥BC，∠CAE=∠BAE=45°，
∴∠C=∠BAE，
∵∠CAB+∠GEH=180°，
∴∠GEH=∠AEC=90°，
∴∠CEH=∠AEG，
在△CEH和△AEG中，
∴△CEH≌△AEG（ASA），
∴AG=CH=2；
（2）
证明：作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，如图所示：
则EI是线段BJ的垂直平分线，
∴EJ=BE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴EJ=EC，
∵∠GEH+∠BAC=180°，∠GAH+∠BAC=180°，
∴∠GEH=∠GAH，
∴∠JGE=∠CHE，
∵EJ=EB，AB=AC，
∴∠EJB=∠ABC=∠ACB，
∴∠EJG=∠ECH，
∴△ECH≌△EJG（AAS），
∴CH=JG，
∵AC=AB，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又DE=AE，
∴BD=AB，
∴∠ABE=∠DBE，
∵EF⊥BD，EI⊥AB，
∴∠BIE=∠BFE=90°，
∵BE=BE，
∴△BFE≌△BIE（AAS），
∴BF=BI，
∴2BF+CH=BG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的性质，线段垂直平分线等，构造全等三角形是解题的关键．
26．（2022·重庆巴南·八年级期末）已知点D在△ABC外，，，射线BD与△ABC的边AC交于点H，，垂足为E，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，已知，，点F在线段BC，且，点M，N分别是射线BC、BD上的动点．在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，最小值为4
【分析】（1）在BD上取BG=CD，连接AG，AD．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论；
（2）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案．
(1)
如图，在BD上取BG=CD，连接AG，AD．
∵在和中，，
∴，
∴．
又∵，
∴E为DG中点，即，
∴，
∴；
(2)
如图，作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．
由作图可知，，．
∴，
∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴为边长为4的等边三角形，
∴，
∴的最小值为4．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．
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