人教版八年级上册15.3 分式方程精品课后测评

新人教版初中数学学科教材分析

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 

1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。

2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。

3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

1．分式方程的定义

分母中含未知数的方程叫做__________．

【归纳】（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．

（2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．

（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．

2．分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思想：

把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．

（2）解分式方程的一般方法和步骤：

①去分母：方程两边同乘__________，把分式方程化为整式方程；

②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；

③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．

简称为一化，二解，三检验．

（3）解分式方程产生不适合原方程解的原因：

在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．

3．分式方程的应用

分式方程的应用基本思路和方法：

一审：审清题意，弄清已知量和未知量；

二找：找出等量关系；

三设：设未知数；

四列：列出分式方程；

五解：解这个方程；

六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；

七答：写出答案．

在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．

K知识参考答案：

一、分式方程的解法

检验的方法

1．直接检验法：是将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．

2．公分母检验法：是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解．

公分母检验法比较简单，因此被广泛运用．

【例1】解方程时，去分母得

A．     B．

C．  D．

【答案】C

【解析】观察可得最简公分母是（x-1）（x-3），方程两边都乘最简公分母，即可把分式方程转换为整式方程．方程两边同乘（x-1）（x-3）得（x-1）（x-3）+2（x-3）=（x-5）（x-1），故选C．

【例2】解方程：．

二、分式方程的应用

1．在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程．

2．在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，可以间接地设末知数；有时设一个未知数不容易表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数．

【例3】某煤矿原计划x天生存120 t煤，由于采用新的技术，每天增加生存3 t，因此提前2天完成，列出的方程为

A．       B．

C．       D．

【答案】D

【解析】因为原计划x天生产120吨煤，所以原计划每天生产吨，因为采取新的技术，提前2天，所以现在每天生产吨，因为现在每天比原计划每天增加3吨，所以可列方程是，故选D．

【例4】甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？

【解析】设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的速度为（x+54）km/h，

由题意，得：，

解得：x=90，

经检验得：x=90是这个分式方程的解．

x+54=144．

答：特快列车的平均速度为90 km/h，动车的速度为144 km/h．

三、含有字母系数的分式方程的解法

解含有字母系数的分式方程的方法：

解含有字母系数的分式方程和解含有实数系数的分式方程一样，均是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后解这个整式方程，最后检验．

但要注意：（1）去分母时方程两边乘最简公分母，需验证最简公分母是否等于0；

（2）在将系数化为1时，要注意分类讨论系数是不是0． 学#@科网

【例5】若关于x的方程有正数解，则

A．m>0且m≠3   B．m<6且m≠3  C．m<0    D．m>6

【答案】B

1．下面是分式方程的是

A．       B．

C．      D．

2．以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是

A．       B．

C．      D．

3．分式方程=1的解为

A．x=-1    B．x=    C．x=1    D．x=2

4．若分式方程的解为2，则a的值为

A．4     B．1    C．0    D．2

5．某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为

A．      B．

C．      D．

6．分式方程去分母时，两边都乘以__________．

7．解分式方程的解是__________．

8．若x=2是方程的解，则a=__________．

9．解方程：

（1）；（2）．

10．一列火车从车站开出，预计行程为450千米，当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站，因此耽误30分钟，后来把速度提高了20%，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度．

11．已知关于x的分式方程．

（1）若方程的增根为x=2，求a的值；

（2）若方程有增根，求a的值；

（3）若方程无解，求a的值．

12．若关于x的方程无解，则m的值是

A．-2    B．2    C．1    D．-4

13．若关于x的分式方程=1的解为正数，则字母a的取值范围是

A．a<2    B．a≠2    C．a>1    D．a>1且a≠2

14．当x=__________时，的值相等．

15．规定，若，则x为__________．

16．已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2-2m的值．

17．某校为美化校园，计划对面积为1800 m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．

（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？

（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？

18．（2018·湖北荆州）解分式方程-3=时，去分母可得

A．1-3（x-2）=4       B．1-3（x-2）=-4

C．-1-3（2-x）=-4      D．1-3（2-x）=4

19．（2018·四川甘孜州）若是分式方程的根，则的值为

A．6    B．-6    C．4    D．-4

20．（2018·甘肃兰州）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是

A．        B．

C．且      D．且

21．（2018·黑龙江绥化）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为

A．      B．

C．       D．

22．（2018·辽宁阜新）甲、乙两地相距600 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，设特快列车的平均行驶速度为x km/h，根据题意可列方程为

A．=4       B．=4

C．=4       D．=4×2

23．（2018·贵州铜仁）分式方程=4的解是x=__________．

24．（2018·四川达州）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为__________．

25．（2018·广西贺州）解分式方程：+1=．

26．（2018·辽宁盘锦）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．

（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；

（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？

1．【答案】D

2．【答案】B

【解析】去分母，得．去括号，得．故选B．

3．【答案】A

【解析】去分母得：2x-1=x-2，解得x=-1，经检验x=-1是分式方程的解，则分式方程的解为x=-1．

故选A．

4．【答案】A

【解析】把x=2代入分式方程得，解得a=4，故选A．

5．【答案】A

【解析】设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：．故选A．

6．【答案】（x+2）（x−2）

【解析】方程两边都乘最简公分母（x+2）（x−2）．故答案为：（x+2）（x−2）．

化简得-4x=-16，

解得x=4．

经检验，x=4是原方程的解．

所以原方程的解是x=4．

（2）方程两边都乘以（x+1）（x-1），去分母，得4-（x+1）（x+2）=-（x+1）（x-1）．

解得x=．

经检验，x=是原方程的解．

所以原方程的解是x=．

10．【解析】设这列火车原来的速度为x千米/时，根据题意，

得+，

解得x=75，

经检验x=75是原方程的解，

答：这列火车原来的速度为75千米/时．

11．【解析】（1）原方程去分母并整理，得（3-a）x=10．

因为原方程的增根为x=2，所以（3-a）×2=10，

解得a=-2．

12．【答案】A

【解析】∵分式方程无解，∴．把原方程去分母得：，

把代入方程，得．故选A．

13．【答案】D

【解析】去分母得：，则且，解得：a>1且a≠2．故选D．

14．【答案】-14

【解析】，解得：，

经检验：符合题意．故答案为：．

15．【答案】-1

【解析】∵，，

∴，

解此分式方程得；，经检验：是这个方程的根，故的值是．故答案为：-1．

16．【解析】解分式方程，得x=3．

经检验，x=3是该方程的解．

将x=3代入=，得，

解得m=，

∴m2-2m=（）2-2×=-．

17．【解析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：

，

答：至少应安排甲队工作10天．

18．【答案】B

【解析】方程两边同时乘以（x-2），得1-3（x-2）=-4，故选B．

19．【答案】A

【解析】由题意得：，解得a=6，故选A．

20．【答案】D

【解析】分式方程去分母得：，即，

因为分式方程解为负数，所以，且，

解得：且，故选D．

21．【答案】C

【解析】乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运件电子产品，

依题意得：，故选C．

22．【答案】C

【解析】设特快列车的平均行驶速度为x km/h，由题意得

=4，故选C．

23．【答案】-9 学科@网

【解析】去分母得：3x-1=4x+8，解得：x=-9，

经检验x=-9是分式方程的解，故答案为：-9．

24．【答案】1或

25．【解析】方程两边同时乘以（x+1）（x-1），得：

4+x2-1=x2-2x+1，

解得：x=-1，

检验：x=-1时，（x+1）（x-1）=0，所以x=-1是增根，

原分式方程无解．

26．【解析】（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，

根据题意得：，

解得：x=25，

经检验，x=25是原分式方程的解．

答：第一批悠悠球每套的进价是25元．

（2）设每套悠悠球的售价为y元，

根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，

解得：y≥35．

答：每套悠悠球的售价至少是35元．