数学人教版第二十七章 相似27.3 位似优秀课后测评

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2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第27章《相似》
27.3 位似

知识点01：位似变换
1．（2022秋•宽城区校级月考）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：AD的值为（　　）

A．4：7 B．4：3 C．6：4 D．9：5
解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，
∵△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，
∴＝，
∵AC∥DF，
∴△AOC∽△DOF，
∴＝＝，
∴AO：AD＝4：7，
故选：A．
2．（2022秋•晋州市期中）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形ABCD的边长为3，则F点坐标为（　　）

A．（16.5，9） B．（18，12） C．（16.5，12） D．（16，12）
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴＝＝，即＝＝，
解得：EF＝12，OB＝4，
∴F（16，12）．
故选：D．
3．（2022秋•青龙县期中）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，能够与四边形ABCD是位似图形的为（　　）

A．四边形NGMF B．四边形NGME C．四边形NHMF D．四边形NHME
解：如图，

四边形ABCD的位似图形是四边形NGMF．
故选：A．
4．（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，2），C（﹣2，1），以A为位似中心，把△ABC在点A同侧按相似比1：2放大，放大后的图形记作△A'B'C'，则C'的坐标为（　　）

A．（﹣6，2） B．（﹣5，2） C．（﹣4，2） D．（﹣3，2）
解：∵以A为位似中心，把△ABC按相似比1：2放大，放大后的图形记作△AB'C'，
∴AC＝AC′，
∴点C是线段AC′的中点，
∵A（1，0），C（﹣2，1），
∴C'的坐标为（﹣5，2）．
故选：B．
5．（2022秋•槐荫区期中）如图，在直角坐标系中，矩形ABCD与矩形EFGO位似，矩形ABCD的边CD在y轴上，点B的坐标为（﹣4，4），矩形EFGO的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为（2，1），则矩形ABCD与EFGO的位似中心的坐标是 　（0，2）　．

解：连接BF交y轴于点P，
∵C和F是对应点，
∴点P为位似中心，
由题意得，GF＝2，AD＝4，GC＝4﹣1＝3，
∵BC∥GF，
∴△BPC∽△FPG，
∴＝，即＝2，
解得，GP＝1，
∴OP＝2，
∴位似中心的坐标是（0，2），
故答案为：（0，2）．

6．（2022•钟楼区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，则点B的对应点B′的坐标为 　（6，2）　．

解：作BE⊥OA于E，
则∠BEO＝90°，
∵∠ABO＝90°，∠BOA＝30°，
∴OB＝OA•cos30°＝4×＝2，
∴BE＝OB＝，OE＝OB•cos30°＝2×＝3，
∴点B的坐标为：（3，），
∵以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，
∴点B的对应点B'的坐标为：（3×2，×2），即（6，2），
故答案为：（6，2）．

7．（2022•朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（0，2），C、D两点的坐标分别为C（0，﹣1）、D（2，﹣1）．若线段AB和线段CD是位似图形，且位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为 　（0，1）　．

解：连接AD交BC于E，则点E为位似中心，
∵A（﹣1，2）、B（0，2），C（0，﹣1）、D（2，﹣1）．
∴AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∵线段AB和CD是位似图形，
∴AB∥CD，
∴＝，即＝，
解得BE＝1，
∴OE＝OB﹣BE＝1，
∴位似中心点E的坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）．

8．（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 　4π　．

解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．

∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，
又∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形A′B′C′D′的面积为16，
∴A′B′＝A′D′＝4，
∵∠B′A′D′＝90°，
∴B′D′＝A′B′＝4，
∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，
故答案为：4π．
9．（2021秋•雁江区期末）如图，△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，则点A（1，2）在第一象限的对应点A1的坐标是 　（2，4）　．

解：∵△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，
∵A（1，2），点A（1，2）在第一象限的对应点是A1，
∴点A1的坐标为：（2，4）．
故答案为：（2，4）．
10．（2022秋•天桥区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，以点O为位似中心，△A1B1C1和△ABC相似比为2：1，在网格中画出新图象△A1B1C1，若每个小正方形边长均为1，请写出A1，B1，C1的坐标．

解：如图，△A1B1C1即为所求，A1（0，8），B1（6，6），C1（6，2）．

11．（2021秋•乐平市校级月考）如图所示，由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…正△AnBn∁n组成的相似图形，其中第一个△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点…An是OAn﹣1的中点，顶点B2，B3，…，Bn．C2，C3，…，∁n都在B1C1边上．
（1）试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；
（2）求出第n个三角形△AnBn∁n（n≥2）的周长．

解：（1）∵△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，
∴正△A2B2C2的边长为，
正△A3B3C3的边长为（）2，
正△A10B10C10和的边长为（）9，正△A7B7C7的边长为（）6，
∴正△A10B10C10和正△A7B7C7的相似比＝＝；它们的位似中心为点O；
（2）∵第n个三角形△AnBn∁n（n≥2）的边长为（）n﹣1，
∴第n个三角形△AnBn∁n（n≥2）的周长为．
12．（2020•如皋市一模）如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M'在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．
（1）求证：四边形PQMN为正方形；
（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．

（1）证明：∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，
∴四边形PQMN为矩形，
∵四边形P'Q'M'N'是正方形，
∴PN∥P′N′，
∴＝，
∵MN∥M′N′，
∴＝，
∴＝，
而P′N′＝M′N′，
∴PN＝MN，
∴四边形PQMN为正方形；
（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，
∵△ABC的面积＝1.5，
∴AB•AC＝1.5，
∴AB＝2，
∴BC＝＝2.5，
∵BC•AD＝1.5，
∴AD＝＝，
设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AE＝﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝，
即PN的长为m．

13．（2019春•海淀区校级期末）（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴t，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是 　0　，若点B′表示的数是2，则点B表示的数是 　3　；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E'点E重合，则点E表示的数是 　　．

（2）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4），对△ABC及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同个实数a，将得到的点先向右平移m单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到△A′B′C′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′（1，2），B′（3，2）．△ABC内部是否存在点F，使得点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，若存在，求出点F的坐标；若不存在请说明理由．

解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，
设点B表示的数为a，则a+1＝2，
解得a＝3，
设点E表示的数为b，则b+1＝b，
解得b＝；
故答案为：0，3，；

（2）根据题意，得：，
解得：，
设点F的坐标为（x，y），
∵对应点F′与点F重合，
∴x+2＝x，y+2＝y，
解得x＝y＝4，
所以，点F的坐标为（4，4），
∵点F的坐标为（4，4）不在△ABC内，
故△ABC内部不存在点F，使得点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合．
14．（2022•陈仓区二模）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）连接AC、BC，以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△A1B1C，其中点A1、B1分别是点A、B的对应点，如何平移抛物线L才能使其同时经过点A1、B1，求出所有的平移方式．

解：（1）在y＝﹣x2+x+2中，令y＝0，即0＝﹣x2+x+2，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（2，0），
令x＝0，即y＝2，
∴C（0，2）；
（2）如图，当抛物线经过A1（2，6），B1（﹣4，6）时，设抛物线的解析式，y＝﹣x2+bx+c，
则有，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+14＝﹣（x+1）2+15，
当抛物线经过A2（﹣2，﹣2），B2（4，﹣2）时，同法可得抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7．

∵原来的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣）2+，
∴+1＝，15﹣＝，
∴原来抛物线向左平移，再向上平移单位得到y＝﹣x2﹣2x+14．
1﹣＝，7﹣＝，
原来抛物线向右平移单位，再向上平移单位得到y＝﹣x2+2x+6．
知识点02：作图-位似变换
15．（2020秋•郏县期末）如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．
故选：A．
16．（2021•路南区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　）

A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），
解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），
k的值为：＝．
故选：B．

17．（2016秋•鄱阳县校级期末）如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　）

A．（m，n+3） B．（m，n﹣3）
C．（m，n+2） D．（m，n﹣2）
解：过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，

设C（x，y），
则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m，
∵△AB′C′与△ABC的位似比为2：1，
∴＝＝，即＝＝，
解得：x＝﹣m，y＝﹣n+3，
∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3），
故选：A．
18．（2021秋•花都区期末）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 　（1，2）或（﹣1，﹣2）　．

解：由题意得，点A与点C是对应点，
△AOB与△COD的相似比是3，
∴点C的坐标为（3×，6×），即（1，2），
当点C值第三象限时，C（﹣1，﹣2）
故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．

19．（2021•牡丹区三模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，①AB∥A'B'；②△ABC∽△A'B'C'；③AO：AA'＝1：2；④点C、O、C'三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是 　①②④　．

解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，
∴AB∥A'B，△ABC∽△A'B'C'；AO：AA'＝2：1；点C、O、C'三点在同一直线上，
①①②④正确，
故答案为：①②④．
20．（2017•长安区二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是　（﹣1，）　；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是　（﹣，）　．

解：∵OA＝2．OC＝1，
∴B（﹣2，1），
∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（﹣1，），
∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，
∴B1（﹣3，），
同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），
∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是 （﹣，）．
故答案为 （﹣1，），（﹣，）．
21．（2017秋•河南月考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（2，﹣5），若以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2：1，且点A1和点A不在同一象限内，则点A1的坐标为　（﹣1，2.5）．　．
解：在同一象限内，
∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），
∴则点A′的坐标为：（1，﹣2.5），
不在同一象限内，
∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），
∴则点A′的坐标为：（﹣1，2.5），
故答案为：（﹣1，2.5）．
22．（2016•营口）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是　（4，2）或（﹣4，﹣2）　．

解：如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，
点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）．
故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．

23．（2022秋•莲湖区期中）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，0），B（3，1），C（2，3）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似三角形△DEF，△ABC与△DEF的位似比为；
（2）如果△ABC内部一点M的坐标为（a，b），请写出M的对应点M'的坐标（ 　﹣2a　，　﹣2b　）．

解：（1）如图，△DEF即为所求；
（2）M′（﹣2a，﹣2b）．
故答案为：﹣2a，﹣2b．

24．（2022秋•桥西区期中）如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．
（1）在平面直角坐标系中画出位似中心；
（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，确定点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标．

解：（1）如图点O即为位似中心；
（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，则点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标（2a，2b）．


25．（2022秋•南召县期中）如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1．
（1）在图中标出△ABC和△A1B1C1的位似中心M点的位置并写出M点的坐标．
（2）若以点A1为位似中心，请你帮小明在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为2：1．
（3）直接写出（2）中C2点的坐标．

解：（1）如图，点M为所作，M点的坐标为（0，2）；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）C2（﹣4，2）．

26．（2022秋•安溪县期中）如图，△ABC三个顶点分别为A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移5个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并写出A2的坐标．

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．A2的坐标（﹣2．，﹣2）．

27．（2022•涡阳县二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求．

28．（2022春•广饶县期末）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标．
解：（1）如图，

（2）2：1，
（3）A′（﹣6，0），B′（﹣3，2），C′（﹣4，4）