【重难点讲义】人教版数学九年级下册-提高练【27.2 相似三角形】讲义

2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）提高

第27章《相似》

27.2 相似三角形

知识点01：平行线分线段成比例

1．（2022秋•尤溪县期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝4，则线段BC的长是（　　）

A．2 B．4 C．1 D．

2．（2022秋•红花岗区期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得CD＝CE，延长DE交AB于点F，若∠A＝60°，EF＝2cm，则DF的长为（　　）

A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm

3．（2022秋•蜀山区校级月考）如图，已知直线AB∥CD∥EF，且AC＝8，CE＝12，BD＝6，DF＝（　　）

A．14 B．15 C．16 D．9

4．（2022秋•黄浦区期中）如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝6，EO＝4，BO＝5，AF＝6，那么AD＝　   　．

5．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB＝4，AC＝9，那么的值是 　   　．

6．（2022春•余杭区期末）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于点F．已知，（a，b为不小于2的整数），则的值是 　   　．

7．（2022秋•怀远县期中）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24

（1）求BC的长；

（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．

8．（2020秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AE＝6cm，EC＝4cm，且．

①求AD的长；②求证：．

9．（2017秋•松江区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．

（1）求线段BF的长；

（2）求AE：EC的值．

知识点02：相似三角形的性质

10．（2022秋•青羊区校级期中）如图，△ABC∽△ACP，若∠A＝60°，∠APC＝75°，则∠B的大小为（　　）

A．40° B．45° C．60° D．75°

11．（2021秋•滕州市期末）两个相似三角形对应中线的长分别为6cm和12cm，若较大三角形的面积是12cm2，则较小的三角形的面积为（　　）

A．6cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．1cm2

12．（2022秋•雁塔区校级期中）已知△ABC的三边长分别为6cm，8cm，9cm，△DEF的两边长分别为12cm，18cm，若这两个三角形相似，则△DEF的第三条边长是（　　）

A．14cm B．16cm C．21cm D．27cm

13．（2022秋•静安区校级期中）如图，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC＝4cm，如果图中的两个直角三角形相似，那么BD＝　   　．

14．（2022秋•西湖区校级月考）如图Rt△AOB∽△DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P点，连接MP，△AOB保持不动，将△COD绕O点旋转，则MP的最大值是 　   　．

15．（2022•福州模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD有交点，且∠ABC+∠ADC＝90°．点E与点C在BD同侧，连接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE．

（1）求证：DC⊥CE；

（2）若，BD＝20，，求△BDE的面积．

16．（2021秋•交城县期末）阅读理解：

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．

（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD为△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．

17．（2021秋•耒阳市期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；

（2）如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

知识点03：相似三角形的判定

18．（2022秋•长安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　）

A．1 B．4 C．7 D．4或7

19．（2022秋•永年区期中）已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（　　）

A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．

20．（2022秋•奉贤区期中）如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与△ABC相似的三角形是（　　）

A． B． 

C． D．

21．（2022秋•长泰县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在 　   　s时，△ABC与△PQC相似．

22．（2022秋•惠山区期中）如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α＝　   　时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．

23．（2022秋•泌阳县校级月考）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E为AD边中点，点P为射线BC上一动点，过点P作PQ⊥BE，当△BAE与△PQE相似时，BP的长度为 　   　．

24．（2022秋•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s；动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为3cm/s的速度．当P、Q运动 　   　时，△ABC与△QBP相似．

25．（2021秋•肃州区期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．

26．（2021秋•兰州期末）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动．点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

27．（2021秋•金台区期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？

知识点04：相似三角形的判定与性质

28．（2022•保定一模）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，点D，E分别在AB，AC上，AD＝2，∠AED＝∠B，则DE＝（　　）

A． B． C．3 D．2

29．（2022•前进区三模）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．4

30．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE∥BC，，AE＝6cm，则AC的长为（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm

31．（2021秋•抚州期末）如图，正方形ABCD，AB＝4，E、F点分别是CD、AD边上的点，AE与BF相交于点H，AF＝DE＝1，G点是BE上的中点，则GH的长为 　   　．

32．（2022•福建模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＞∠C，点D在AC边上，且DB＝DC．P是BC边上一点，作∠BPE＝∠CPF＝∠ABC，分别交线段BD，AC于点E，F．下列4个结论：

①△ABC∽△EPB；②∠A＝∠EPF；③BE＝AF；④AB＝PE+PF．其中正确的是 　   　．（写出所有正确结论的序号）

33．（2022•包头二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，，CE＝2DE，则CE的长为 　   　．

34．（2022秋•济阳区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，D是AB的中点．动点P从点A出发，沿线段AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动．设点P的运动时间为t秒．

（1）当t为多少秒时，以点A、D、P为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）若△APD为钝角三角形，请直接写出t的取值范围．

35．（2022秋•大连月考）如图，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR，设运动时间为t秒，△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S．

（1）当t＝　   　时，△PQR的边QR经过点B；

（2）求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．

知识点05：相似三角形的应用

36．（2022•郯城县二模）如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，若动力F动和阻力F阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力F阻不变时，则杠杆向下运动时F动的大小变化情况是（　　）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定

37．（2022秋•沿河县期中）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使A、C、O在同一直线上，且竹竿与旗杆的距离DB＝12m，OD＝6m，则旗杆AB的高为（　　）

A．3m B．6m C．9m D．10m

38．（2022秋•临汾期中）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD和CB相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米，AB∥CD，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（　　）

A．0.8米 B．0.86米 C．0.96米 D．1米

39．（2022秋•洞头区期中）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米．

（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则BD＝　   　米．

（2）投石车投石过程中，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE＝5：1，则点G距地面为 　   　米．

40．（2022秋•二道区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝0.8，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 　   　．

41．（2022秋•市中区校级月考）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，则镜长MM'＝　   　米．

42．（2022•富平县二模）小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时小明测得FG长1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．

43．（2021秋•灯塔市校级期中）小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知CD和地面成30°角，CD＝4m，BC＝10m，且此时测得1m高的标杆在地面的影长为2m．

（1）求电线杆AB的高（结果保留根号）

（2）此时，若CG是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线AD上，则CG＝　   　米，若在山坡上有一建筑物EF高2米，此时它落在坡面上的影长FK＝　   　米（以上结果均保留根号）．

知识点06：作图-相似变换

44．（2020秋•柯桥区月考）如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

45．（2018春•济宁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为　   　．

46．（2017秋•余姚市期末）如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 　   　．

47．（2017秋•浦东新区校级月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图5×5的方格纸中，以A，B为顶点作格点三角形ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则另一个顶点C的坐标为　   　．

48．（2021秋•高州市期中）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与一个格点三角形ABC相似（相似比不为1）．

49．（2020•南关区校级二模）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点D为边AC的中点．分别在图①、图②中△ABC的边AB上确定点P，并作出直线DP，使△ADP与△ABC相似．

要求：（1）图①、图②中的点P位置不同．

（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．