初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀精练

2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）提高

第28章《锐角三角函数》

28.1 锐角三角函数

知识点01：锐角三角函数的定义

1．（2022秋•宝安区校级期中）△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，tanB的值是（　　）

A． B． C． D．

解：如图：

∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，

∴AC＝＝＝12，

∴tanB＝＝，

故选：D．

2．（2022秋•荔城区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列四个选项，正确的是（　　）

A． B． C． D．

解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，

∴BC＝＝3，

∴tanB＝＝，所以A选项不符合题意；

tanA＝＝，所以B选项不符合题意；

sinB＝＝，所以C选项符合题意；

cosB＝＝，所以D选项不符合题意．

故选：C．

3．（2022秋•姑苏区校级期中）在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值（　　）

A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的一半 

C．都没有变化 D．不能确定

解：根据锐角三角函数的概念，知

如果各边都扩大原来的2倍，则其锐角的三角函数值不变．

故选：C．

4．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 　．　．

解：在△ABC中，∠C＝90°，

∴c2＝a2+b2，

∵b2＝ac，

∴c2＝a2+ac，

等式两边同时除以ac得：

＝+1，

令＝x，则有＝x+1，

∴x2+x﹣1＝0，

解得：x1＝，x2＝（舍去），

当x＝时，x≠0，

∴x＝是原分式方程的解，

∴sinA＝＝．

故答案为：．

5．（2022•昭阳区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cosB的值为 　　．

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，

∴设BC＝x，则AC＝2x，

∴AB＝x，

则cosB＝＝＝．

故答案为：．

6．（2021秋•井研县期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinB＝　　．

解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5，

∴sinB＝＝．

故答案为：．

7．（2015秋•醴陵市校级月考）已知，如图Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求sin∠A和tan∠A．

解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AC＝＝10，

sin∠A＝＝＝；

tan∠A＝＝＝．

8．（2022•淮北模拟）在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．

（1）求证：CD＝2AD；

（2）当α＝90°时，求DE的长；

（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．

（1）证明：如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，

∴∠ODB＝∠CBD，

∵BD是角平分线，

∴∠OBD＝∠CBD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴OB＝OD，

∵OD∥BC，

∴＝，△AOD∽△ABC，

∴＝，

∴＝＝＝，

∴＝，

∴CD＝2AD；

解：（2）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，

当α＝90°时，BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，

∵△BEC为等腰直角三角形，BC＝12，

∴∠EBC＝45°，BE＝6，

∴∠DBE＝90°，

由（1）可得AB＝6，＝＝，

∴OB＝4，

∴BD＝4，

∴DE＝＝2；

（3）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，DE交BC于点F，

设BC中点为点G，连接EG，

∴BG＝6，

当α变化时，OB的长度不变，

∴点O在以点B为圆心，半径为4的圆弧上，

令圆弧与BC交于点F，

∴BF＝4，

此时，点D在以点F为圆心，半径为4的圆弧上，

当点D，E，F三点共线时，DE最大，

∴GF＝BG﹣BF＝2，

∴EF＝＝2，

∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．

9．（2018•青浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．

（1）求线段CD的长；

（2）求△ADE的面积．

解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，

∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，

∴DH＝DC＝x，

则AD＝3﹣x．

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5，

∵，

∴，

∴，即CD＝；

（2），

∵BD＝2DE，

∴，

∴．

知识点02：同角三角函数的关系

10．（2021秋•邵东市期末）在△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，则cosA＝（　　）

A． B． C． D．

解：在△ABC中，∠C＝90°，

∵tanA＝，

∴＝，

设BC＝3k，则AC＝4k，

∴AB＝＝＝5k，

∴cosA＝＝＝，

故选：B．

11．（2021秋•南岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．

解：∵∠C＝90°，sinA＝，

∴＝，

∴设BC＝2k，AB＝3k，

∴AC＝＝＝k，

∴tanA＝＝＝，

故选：D．

12．（2021秋•瑶海区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（　　）

A． B． C． D．

解：∵∠C＝90°，sin2A+cos2A＝1；

∴cosA＝＝＝，

∴tanA＝＝＝．

故选：D．

13．（2021•蒙阴县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sinA＝，则cos∠BCD的值为　　．

解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sinA＝＝，

∴设BC＝3x，AB＝5x，

由勾股定理得：AC＝4x，

∴cosA＝＝＝，

∵∠ACB＝∠ADC＝90°，

∴∠A+∠B＝∠B+∠BCD＝90°，

∴∠A＝∠BCD，

∴cos∠BCD＝cosA＝，

故答案为：．

14．（2020•浙江自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：　a2+b2＝c2+d2　．

解：由①得 asinθ+bcosθ＝c，

两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③

由②得 acosθ﹣bsinθ＝﹣d，

两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④

③+④得

a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2

∴a2+b2＝c2+d2．

故答案为：a2+b2＝c2+d2．

15．（2018•姜堰区二模）若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝　　．

解：∵tanα＝1（0°＜α＜90°），

∴∠α＝45°，

则sinα＝，

故答案为．

16．（2015秋•迎泽区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝．求cosA，sinB，tanB的值．

解：∵sinA＝＝，

∴设AB＝13x，BC＝12x，

由勾股定理得：AC＝＝＝5x，

∴cosA＝＝，

sinB＝cosA＝，

tanB＝＝．

17．（2009秋•滁州期末）若α为锐角，tanα＝4，求的值．

解：由tanα＝4知，如果设a＝4x，则b＝x，结合a2+b2＝c2得c＝x；

∴sinα＝，cosα＝，

∴＝＝﹣．

18．（2008秋•闸北区校级期末）对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sinA+cosA＝．

试求：（1）sinA•cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．

解：（1）∵sinA+cosA＝，

∴sin2A+cos2A+2sinAcosA＝，

即1+2sinAcosA＝，

∴sinAcosA＝；

（2）∵（sinA﹣cosA）2＝sin2A+cos2A﹣2sinAcosA，

＝1﹣，

＝，

∴sinA﹣cosA＝±．

知识点03：互余两角三角函数的关系

19．（2021秋•雁江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（　　）

A．a2+b2＝c2 B．sinB＝cosA 

C． D．sin2A+cos2A＝1

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，

由勾股定理可得a2+b2＝c2，因此选项A不符合题意；

由锐角三角函数的定义可得sinB＝＝cosA，因此选项B不符合题意；

由锐角三角函数的定义可知，tanA＝，因此选项C符合题意；

由于sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝＝1，因此选项D不符合题意；

故选：C．

20．（2021秋•滦州市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB＝（　　）

A． B． C． D．

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，

∴＝，

设AC＝4a，AB＝5a，

∴BC＝＝＝3a，

∴tanB＝＝＝，

故选：B．

21．（2021秋•合肥期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（　　）

A． B． C． D．

解：在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝，

∴设AC＝4a，AB＝5a，

∴BC＝＝＝3a，

∴sinA＝＝＝，

故选：A．

22．（2020秋•富川县期末）如果∠A是锐角，∠A+∠B＝90°，且sinA＝，那么cosB＝　　．

解：∵∠A+∠B＝90°，

∴cosB＝sinA＝．

故答案为：．

23．（2020秋•中方县期末）在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝　　．

解：在直角△ABC中，∠C＝90°，

sinA＝＝＝cosB，

所以cosB＝，

故答案为：．

知识点04：特殊角的三角函数值

24．（2022秋•丰泽区校级月考）在△ABC中，若sinA＝，cosB＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）

A．105° B．90° C．75° D．120°

解：∵sinA＝，cosB＝，∠A，∠B都是锐角，

∴∠A＝45°，∠B＝60°．

∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝75°．

故选：C．

25．（2022•石家庄模拟）下列说法中正确的是（　　）

A．在Rt△ABC中，若，则a＝4，b＝3 

B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则 

C．tan30°+tan60°＝1 

D．tan75°＝tan（45°+30°）＝tan45°+tan30°＝1+

解：A、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则a＝3x，b＝4x，x≠0，故A不符合题意；

B、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则，故B符合题意；

C、tan30°+tan60°＝+＝，故C不符合题意；

D、tan75°＝tan（45°+30°）＝＝2+，故D不符合题意；

故选：B．

26．（2021秋•市中区期末）若锐角α满足tanα＝，则角α＝（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

解：若锐角α满足tanα＝，则角α＝60°，

故选：C．

27．（2020秋•紫金县期末）已知α、β均为锐角，且满足|cosα﹣|+＝0，则α+β的度数为 　120°　．

解：由题意得，cosα﹣＝0，tanβ﹣＝0，

解得，α＝60°，β＝60°，

则α+β的度数为120°，

故答案为：120°．

28．（2020秋•隆回县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么sinA＝　　．

解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，得

A＝45°．

sinA＝sin45°，

故答案为：．

29．（2021春•凉州区校级期中）在△ABC中，∠A，∠B为锐角，sinA＝，tanB＝．则△ABC的形状为　等腰三角形　．

解：在△ABC中，

∵∠A，∠B为锐角，sinA＝，tanB＝，

∴∠A＝30°，∠B＝30°，

则∠C＝120°，

故△ABC为等腰三角形．

故答案为：等腰三角形．

30．（2021•佛冈县校级模拟）在△ABC中，|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是 　75°　．

解：∵|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，

∴cosA﹣＝0，1﹣tanB＝0，

∴cosA＝，tanB＝1，

∴∠A＝60°，∠B＝45°，

∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．

故答案为：75°．

31．（2019秋•工业园区期末）计算：tan45°﹣4sin30°cos230°．

解：原式＝1﹣4××（）2

＝1﹣

＝﹣．

32．（2020秋•瑶海区校级月考）计算：+sin45°．

解：原式＝+

＝1+

＝