初中人教版27.1 图形的相似优秀练习题

2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）提高

第27章《相似》

27.1 图形的相似

知识点01：比例的性质

1．（2022秋•巨野县期中）如果，那么等于（　　）

A． B． C． D．

2．（2022秋•中原区校级期中）已知（b+d+f≠0），那么（b+d﹣2f≠0）的值为（　　）

A． B． C． D．

3．（2022秋•青龙县期中）若，则的值为（　　）

A． B． C． D．

4．（2022秋•宽城区校级月考）已知＝，则的值为 　   　．

5．（2022春•江阴市期中）已知＝＝，则的值为　   　．

6．（2021秋•黑龙江期中）单独行完同一段路，甲车用5小时，乙车用3小时．甲、乙两车的速度比是（ 　   　：　   　）．

7．（2021秋•雨花区期末）已知x：y：z＝3：5：7，求的值．

8．（2021秋•天长市月考）已知＝＝，求的值．

9．（2017秋•铜山区校级月考）已知 ＝＝，且2x+3y﹣z＝18，求x、y、z的值．

知识点02：比例线段

10．（2022秋•泗县期中）下列各组中的线段，其中a，b，c，d是成比例线段的是（　　）

A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 

C．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6

11．（2022秋•晋州市期中）下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　）

A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6 

C．a＝2，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝3，c＝4，d＝5

12．（2022秋•碑林区校级期中）线段a，b，c，d是成比例线段，已知a＝2，b＝，则d＝（　　）

A． B． C． D．

13．（2022秋•君山区校级期中）对于线段a，b，如果a：b＝2：3，那么下列四个选项一定正确的是（　　）

A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C． D．

14．（2022秋•龙泉驿区期中）如图，在线段AB上找到一个点C，且AC＜BC，满足AC：CB＝CB：AB，设AB＝1m，则线段AC＝　   　m．

15．（2022春•闵行区校级期末）我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是6，那么这个菱形的面积是 　   　．

16．（2021秋•任丘市期末）地图上的比例尺是1：100000，A、B两地是实际距离是30千米，则图上的距离是　   　．

17．（2020秋•渝中区期末）阅读理解：

已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．

证明：∵＝，

∴+1＝+1．

∴＝．

根据以上方法，解答下列问题：

（1）若＝，求的值；

（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．

18．（2021秋•吉安期中）已知a、b、c是△ABC的三边长，且＝＝≠0，求：

（1）的值．

（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．

19．（2020秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？

知识点03：黄金分割

20．（2022秋•沈河区校级期中）已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段BP的长为（　　）

A． B． C． D．

21．（2022秋•常州期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　）

A． B． C． D．

22．（2022秋•靖西市期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列结论错误的是（　　）

A．AC2＝BC•AB B．BC2＝AC•AB C． D．

23．（2022秋•永年区期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为 　   　cm．

24．（2022秋•晋州市期中）如图，点C是线段AB的黄金分割点，CB＞CA，△PAB和△QBC均是等边三角形．若S1表示△PAC的面积，S2表示△QBC的面积，则的值为 　   　；S1与S2的大小关系为 　   　．

25．（2022秋•碑林区校级期中）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．按此比例设计一座高度为3米的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 　   　米．（结果精确到0.1米）

26．（2022秋•靖江市期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如果AC的长度为10cm，则BC的长度为 　   　cm．（结果保留根号）

27．（2022春•旌阳区期末）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此，这个数我们把它叫做黄金分割数．若介于整数n和n+1之间，则n的值是 　   　．

28．（2021秋•河南月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务：

公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（goldensection）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．

如图①，在线段AD上找一个点C，C把AD分为AC和CD两段，其中AC是较小的一段，如果AC：CD＝CD：AD，那么称线段AD被C点黄金分割，点C叫做线段AD的黄金分割点，AC与CD的比值叫做黄金分割数．

为简单起见，设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．

∵AC：CD＝CD：AD，∴……

任务：

（1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．

（2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：

①设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB且使BD＝AB；

②连结DA，在DA上截取DE＝DB；

③在AB上截取AC＝AE；

则点C即为线段AB黄金分割点．你能说说其中的道理吗？

（3）已知线段AB＝1，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长是 　   　．

29．（2021•杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．

（1）求AM，DM的长；

（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？

30．（2019秋•阜南县期末）如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．

（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；

（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．

知识点04：相似图形

31．（2022秋•沈河区校级期中）下列说法正确的是（　　）

A．任意两个菱形都相似 

B．任意两个矩形都相似 

C．任意两个等腰三角形都相似 

D．任意两个正方形都相似

32．（2022秋•黄浦区期中）下列图形中，一定相似的是（　　）

A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形 

B．有一个内角为80°的两个等腰三角形 

C．两个长方形 

D．有一个内角为80°的两个菱形

33．（2022秋•闵行区期中）下列各组图形中一定是相似形的是（　　）

A．两个长方形 B．两个菱形 

C．两个正方形 D．两个平行四边形

34．（2021•锡山区一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　   　．

35．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝　   　．

36．（2021春•肇源县期末）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　   　．

37．如图，矩形花坛ABCD的宽AB＝20m，长AD＝30m．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形EFGH．

（1）如图①，当小路的宽度为2m时，矩形ABCD与矩形EFGH是否相似？请说明理由．

（2）如图②，要使小路的四周围成的矩形EFCH与矩形ABCD相似，并且相对两条小路的宽度相等，求小路的宽度x与y的比值．

知识点05：相似多边形的性质

38．（2021秋•叙州区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠D的度数为（　　）

A．100o B．110o C．120o D．130o

39．（2022秋•大连期中）如图所示的两个五边形相似，则以下a，b，c，d的值错误的是（　　）

A．a＝3 B．b＝4.5 C．c＝4 D．d＝8

40．（2022秋•双柏县期中）如图所示，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（　　）

A．21cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2

41．（2022春•芝罘区期末）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1

42．（2022秋•西安期中）如图所示，在长为8，宽为6的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是 　   　．

43．（2022春•海阳市期末）如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°．若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为 　   　．

44．（2022•尤溪县开学）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为 　   　cm2．

45．（2021秋•椒江区期末）如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的L型放入矩形ABCD中．矩形I的一个顶点落在L型中正方形的顶点E处，其他顶点在矩形ABCD的边上；L型中的正方形有三个顶点恰好在矩形ABCD的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合．若矩形I与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为 　   　．

46．（2021春•张店区期末）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且∠A＝62°，∠B＝75°，∠D′＝140°，AD＝9，A′B′＝11，A′D′＝6，B′C′＝8．

（1）请直接写出：∠C＝　   　度；

（2）求边AB和BC的长．

47．（2022秋•二七区校级月考）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．

（1）求证：EB＝GD；

（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．

48．（2017春•钦南区校级期中）如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．