人教版九年级上册24.2.1 点和圆的位置关系完整版课件ppt

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

一、教学目标

【知识与技能】

1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.

2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.

3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.

【过程与方法】

通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.

【情感态度与价值观】

形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.

二、课型

新授课

三、课时

1课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.

【教学难点】 

点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法

五、课前准备 

课件、图片、圆规、直尺等.

六、教学过程

（一）导入新课

我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？（出示课件2）

解决这个问题要研究点和圆的位置关系．（板书课题）

（二）探索新知

探究一 点和圆的位置关系

教师问：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？（出示课件4）

学生交流，回答问题.

教师点评：点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.

教师问：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？（出示课件5）

学生答：

教师问：反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？

学生观察思考交流后，师生共同得到结论：（出示课件6）

点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：

教师强调：⑴“    ”表示可以由左边推出右边的结论，也可由右边推出左边结论.读作“等价于”.

⑵要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.

出示课件7,8：例  如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.

（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？

（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：⑴AD=4=r，故D点在⊙A上；

AB=3<r，故B点在⊙A内;

AC=5>r，故C点在⊙A外.

⑵3≤r≤5.

巩固练习：（出示课件9）

1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_______；点B在_______；点C在_______.

2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（       ）

A.大圆内       B.小圆内   C.小圆外    D.大圆内，小圆外

学生独立思考后口答：1.圆内；圆上；圆外  2.D

探究二  过不共线三点作圆

教师问：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？（出示课件10）

学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.

以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；

可作无数个圆.

教师问：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？（出示课件11）

学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.

作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.

教师问：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？（出示课件12）

学生思考后师生共同解答：经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.

经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.

经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.

教师归纳：不在同一直线上的三点确定一个圆.（出示课件13）

出示课件14：例  已知：不在同一直线上的三点A、B、C.

求作：⊙O,使它经过点A、B、C.

学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.

作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；

2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；

3.以O为圆心，OB为半径作圆.

所以⊙O就是所求作的圆.

教师问：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？（出示课件15）

学生动手探究，交流，在教师指导下作图.

作法:

1.在圆弧上任取三点A、B、C;

2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;

3.以点O为圆心，OC长为半径作圆.

⊙O即为所求.

巩固练习：（出示课件16）

如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．

学生独立思考后口答：

∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，

又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，

∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.

探究三  三角形的外接圆及外心

已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.（出示课件17）

学生复述作法.

教师对照图形进行归纳：（出示课件18）

1.外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.

⊙O叫做△ABC的外接圆，△ABC叫做⊙O的内接三角形.

2.三角形的外心

定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

作图：三角形三边中垂线的交点.

性质：到三角形三个顶点的距离相等.

练一练：判断下列说法是否正确.（出示课件19）

(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.(      )

(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.(      )

(3)经过三点一定可以确定一个圆. (      )

(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.(    )

学生口答：⑴√⑵×⑶×⑷√

画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.（出示课件20）

学生动手探究，作图，交流后，教师总结.

锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.

出示课件21,22:例1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．

(1)求∠DAO的度数；

(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．

学生独立思考后师生共同解答.

解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，

∠DOA＝90°，

∴∠DAO＝30°；

⑵∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.

在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，

∴AD为直径.

又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，OA＝.

因此圆的半径为3．

点A的坐标(，0),

∴△AOB外接圆的面积是9π.

教师强调：解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．

巩固练习：（出示课件23）

如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).

(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.

(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.

学生独立解答.

解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).

(2)圆的半径

线段DM所以点D在圆M内.

出示课件24：例2  如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．

学生独立思考后师生共同解答.

解：连接OB，过点O作OD⊥BC.

则OD＝5cm，

在Rt△OBD中,，

即△ABC的外接圆的半径为13cm.

巩固练习：（出示课件25）

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为(　　)

A.5cm            B.6cm            C.7cm        D.8cm

学生思考后口答：A

探究四  反证法

教师问：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？（出示课件26）

学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.

如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P.

那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点.

而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.

所以过同一条直线上的三点不能作圆．

教师归纳：（出示课件27）

1.反证法的定义

先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．

2.反证法的一般步骤

⑴假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；

⑵从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；

⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

出示课件28：例 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.

师生共同解答.

已知：△ABC.

求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，

则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°.

因此∠A+∠B+∠C>180°.

这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．

因此△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

巩固练习：（出示课件29）

利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（      ）

A.有一个锐角小于45° 

B.每一个锐角都小于45°

C.有一个锐角大于45°

D.每一锐角都大于45°

学生口答：D

（三）课堂练习（出示课件30-36）

1.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=______．

2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为______．

3.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?

4.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A______；点C在⊙A______；点D在⊙A______.

5.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（        ）

A.在⊙O内      B.在⊙O上  C.在⊙O外     D.在⊙O上或⊙O外

6.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=______.

7.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．

8.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（       ）

A．点P        B．点Q      C．点R      D．点M

9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.

10.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．

参考答案：

1.

2.

3.解:如图所示.

4.上；外；上

5.B

6.5

7.70°

8.B

9.解：如图所示.

10.解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；

(2)连接AB、BC；

(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；

(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.

（四）课堂小结

本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流 .

（五）课前预习

预习下节课（24.2.2第1课时）的相关内容.

七、课后作业

1.教材95页练习2.

2.配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

本节课通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生动手的能力.