初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形优质课件ppt

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第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定
人教版数学八年级上册
1
2
能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．（难点）
探索等边三角形的性质和判定．（重点）
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
1、等边三角形的性质
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
=60°
探究
结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC. ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗? 等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一
一条对称轴
三条对称轴
总结
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60º
两条边相等
三条边都相等
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE ＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.
例2 △ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为正三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 又∵BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM ＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利 用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角 形的性质，求角度或证明边相等.
2、等边三角形的判定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
两个角相等的三角形是等腰三角形
两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不是
是
是
是
是
不一定是
例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴ ∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴ ∠A =∠ADE =∠AED. ∴ △ADE 是等边三角形.
变式1　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
变式2　若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠D，∠C =∠E． ∴　∠EAD =∠D =∠E． ∴　△ADE 是等边三角形．
变式3 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
例4 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．证明如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC. ∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°， ∴△APQ是等边三角形．
总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角 形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角 形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.

2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
D
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　）A．105° B．120° C．135° D．150°
B
3、在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数 是 （　） A．10° B．15° C．20° D．25°
4、如图,△ABC和△ADE都是等边三角形， 已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则 △ADE的周长是 cm.
12
B
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以 AB 为边在△ABC 外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．
 
等边三角形
定义
 
性质
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
三边法
三角法
等腰三角形法
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