八年级上册13.3.2 等边三角形完整版ppt课件

第十三章   轴对称

13.3 等腰三角形

13.3.2  等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质

一、教学目标

【知识与技能】

掌握有一个角为30°的直角三角形的性质并简单应用.

【过程与方法】

经历“探索──发现──猜想──证明”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.

【情感、态度与价值观】

体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时

四、教学重难点

【教学重点】 

含30°角的直角三角形性质定理的发现与证明.

【教学难点】

 含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。

学生：三角尺、直尺、圆规。

六、教学过程

（一）导入新课

用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由.

由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究含30°角的直角三角形的性质

教师问1：我们学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形.拿出三角尺，做一做：

用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？

学生回答：拼出一个等腰三角形.如下图：

(1)　　　　　  　(2)

教师问2：能拼出一个等边三角形吗？

学生讨论并回答：能拼出一个等边三角形.

教师问3：如何证明你的结论呢？

学生回答：如图1，∵∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAC=60°，又∵AB=AC，∴△BAC是等边三角形.

教师问4：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系？

学生观察图形后回答：线段AB=AC=BC，线段BD=CD，线段AB=AC=BC=2BD=2CD.

教师问5：你能得到什么结论？

师生共同讨论后解答如下：其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD＝AB.

教师问6：如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？（出示课件4）

学生回答：BC=AB

教师问7：由此我们可以得到什么结论？

学生回答：在直角三角形中，直角边等于斜边的一半.

教师问8：这个直角三角形是一般的直角三角形吗？

学生回答：不是，有一个角是30°.

教师问9：因此我们如何描述我们得到的结论呢？

师生共同讨论后解答如下：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（出示课件6）

教师问10：如何证明我们的结论是正确的呢？

学生先试答，教师总结如下：

已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB．（出示课件7）

师生共同解答如下：

证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.
在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．
∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
∴BC = BD．

∴BC = AB．

总结点拨：倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……（出示课件8）

教师问11：同学想一下，还有其他的证明的方法吗？

师生共同讨论后解答如下：（出示课件9）

证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，     
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = AB．

总结点拨：（出示课件10）

在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.
归纳总结：（出示课件11）

含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
    应用格式：

∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，

∴　BC = AB．

例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)（出示课件12）

A．3cm           B．6cm     C．9cm          D．12cm

师生共同解答如下：

解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
答案：D.

总结点拨：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
    例2：如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)（出示课件14）

A．3              B．2           C.1.5              D．1

师生共同解答如下：

解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.
又∵PC＝3，
∴PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝1.5.
答案：C.

总结点拨：（出示课件15）

含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．（出示课件18）

解：CD=DB

理由如下：
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.

∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.

又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).
（出示课件19）

∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.

∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.

∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，

∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，

∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
总结点拨：（出示课件20）

含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．

例4：如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC,DE 有多长？（出示课件22）

师生共同解答如下：（出示课件23）

解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，

∴BC= AB,    DE= AD.
∴BC= AB=   ×7.4=3.7(m).
又AD=  AB,

∴DE= AD= ×3.7=1.85  (m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.

（三）课堂练习（出示课件25-30）

1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(    )
    A．6米        B．9米 
    C．12米      D．15米

2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(    )
    A．300a元     B．150a元
    C．450a元      D．225a元

3.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC =___________ .
4.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______cm.

5. 在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．

6. 在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.

7. 如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC,AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.

参考答案：

1.B

2.B

3.5

4.8

5. 解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC= AE= BE=2.5．

6. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，   ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
7. 证明：∵△ABC为等边三角形，

∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，

∵CD=AE，

∴△ADC≌△BEA.
∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵ BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，

∴∠PBQ=30°，

∴BP=2PQ.
（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

（五）课前预习

预习下节课（13.4）的相关内容。

了解最短路径问题的解题思想.

七、课后作业

1、教材81页练习

2、如图,一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发,小岛P在轮船的北偏西15°方向,轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B处,小岛P此时在轮船的北偏西30°方向.

(1)求PB的距离;

(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.

八、板书设计：

九、教学反思：

1.本节课难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”和“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，由于设计了三角尺操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂上学生思维非常灵活，方法多样，取得较好的效果.

2.本节的主要内容是直角三角形的性质,应用两个三角板拼成的等边三角形猜测得到性质,进而从理论证明,尽量为学生提供“做中学”的时间,让学生在探究的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,营造思维驰骋的空间,在经历知识的发现过程中,培养学生分类、探究、合作、归纳的能力.