2021学年13.3.2 等边三角形优秀当堂检测题

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专训13.3.2.1 等边三角形的性质与判定
一、单选题
1．如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据边三角形纸片ABC的周长为6可求BC=2，根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【详解】
解：∵等边三角形纸片ABC的周长为6，
∴
∵E，F是边BC上的三等分点，
∴EF=，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是×3=2．
故选：B．
【点睛】
考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．
2．如图，为等边三角形，点D、E分别在边和上，，与交于点，于点，若，则下列结论：①，②，③，其中正确的个数是（ ）

A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】
证明△ACE≌△CBD（SAS），推出∠ACE=∠CBD，可得①②正确，再根据AAS证明△APB≌△BFC，可得结论．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=∠CAE=60°，
在△ACE和△CBD中，，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠ACE=∠CBD，故①正确，
∵∠BPE=∠PCB+∠CBD=∠PCB+∠ACE=∠ACB=60°，故②正确，
∵AP⊥BD，BF⊥CE，
∴∠APB=∠BFC=90°，
∵∠ACB=∠ABC=60°，∠ACE=∠CBD，
∴∠BCF=∠ABP，
在△APB和△BFC中，，
∴△APB≌△BFC（AAS），故③正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交与点．则下列结论：①；②；③平分；④若，则．一定正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】
由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE；由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α；由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，由三角形面积公式可得AH=AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO=AP，可证△APO是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解．
【详解】
解：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE，故①符合题意；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP，
∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，故②不符合题意；
如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，

∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，
∴BD×AH=CE×AF，且BD=CE，
∴AH=AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③符合题意；
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，

∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，且OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS）
∴AP=AO，
∵∠BPE=180°-α=120°，且AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，且AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD，故④符合题意．
综上，正确有选项有①③④，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△CAE是解本题的关键．
4．如图，C为线段上一动点（不与点A，B重合），在同侧分别作等边和等边与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下四个结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】
根据等边三角形的性质可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE＝∠CDB，通过证明△ACG≌△DCH就可以得出CG＝CH，AG=DH，可以得出△GCH是等边三角形，再判断AC与DH的大小关系，求出∠DFG=∠GCA=60°，利用外角定理即可得到．
【详解】
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°．
∵∠ACB＝180°，
∴∠DCE＝60°．
∴∠DCE＝∠BCE．
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴
即，①正确；
在△ACG和△DCH中，，
∴△ACG≌△DCH（ASA），
∴GC=HC,AG=DH
又∠GCH=60°，
∴为等边三角形，②正确；
又AC≠AG，∴DH≠AC，④错误；
∵∠GAC+∠ACG+∠AGC=180°，∠GDF+∠DFG+∠DGF=180°
又∠AGC=∠DGF，∠GAC=∠GDF
∴∠DFG=∠ACG=60°
又∠DFG=，
∴，③正确；
故选A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
5．如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）

A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】
解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，
∵∠CDQ是公共角，
∴∠PDC=∠QDE，
∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，
∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
6．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；③若平分，则，从而得到为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接、，然后证明，从而得到，从而可证明④．
【详解】
解：如图所示：连接、．

①平分，，，
．
①正确．
②，平分，
．
，
．
，，
．
同理：．
．
②正确．
③由题意可知：．
假设平分，则，
又，
．
．
是否等于不知道，
不能判定平分，
故③错误．
④是的垂直平分线，
．
在和中
，
．
．

又，，
．
故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．


二、填空题
7．如图，点在内部，，若添加一个条件：______．则是等边三角形．

【答案】AD=DE或∠EAD=60°或∠BAC=60°或AB=BC等
【分析】
根据全等三角形的性质定理和等边三角形的判定即可得到结论．
【详解】
解：∵△DAB≌△EAC，
∴AD=AE，
若添加条件：AD=DE，则△EAD是等边三角形；
若添加条件：∠EAD=60°，则△EAD是等边三角形；
若添加条件：∠BAC=60°，
∵△DAB≌△EAC，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=∠BAD +∠CAD =60°，
∴△EAD是等边三角形；
若添加条件：AB=BC，同理可得△EAD是等边三角形．
故答案为：AD=DE或∠EAD=60°或∠BAC=60°或AB=BC等．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为13，△ABC的周长是19，若∠ACD＝60°，则AD＝___．

【答案】6
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等边三角形的性质得到AD＝AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵∠ACD＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴AD＝AC，
∵△ABC的周长是19，
∴AB+BC+AC＝19，
∵△BCD的周长为13，
∴BD+DC+BC＝BD+DA+BC＝AB+BC＝13，
∴AC＝19﹣13＝6，
∴AD＝AC＝6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为1，那么这个三角形底边的长是____．
【答案】或1
【分析】
分①三角形是钝角三角形时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=AB，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABC=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质解答，②三角形是锐角三角形时，判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答．
【详解】
解：①三角形是钝角三角形时，如图1，

∵∠ABD=30°，
∴AD=AB=×1=cm，BD=AB=cm，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=（90°30°）=30°，
∴BC=2BD=cm；
②三角形是锐角三角形时，如图2，

∵∠ABD=30°，
∴∠A=90°30°=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=1cm．
综上所述，其底边长是或1cm．
故答案为：或1．
【点睛】
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．

三、解答题
10．如图，，是边上的两点，且，求的度数．

【答案】
【分析】
由，可得，继而可得，．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，．由此即可求得．
【详解】
因为，所以，
所以，．
因为，，
所以，
．
所以．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
11．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．

（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）30°；（2）2
【分析】
（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，则可得出答案；
（2）先证明是等边三角形，然后由ED＝DC进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴是等边三角形，
∴DE＝DC＝2．
【点睛】
本题主要考查的是等边三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．已知：如图，B、C、E三点共线，，都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、M，连结MN．求证：AE＝BD，MN∥BE．

【答案】见解析
【分析】
本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明；为证明，可先证明为等边三角形，再利用角去转化证明．
【详解】
证明：都是等边三角形
∴
∠1＋∠2＋∠3＝180°
∴∠2＝60°∴
在和中
（已证）
∴（SAS）

∴（全等三角形对应边相等）
（全等三角形对应角相等）
在和中
（已证）
∴（ASA）
∴（全等三角形对应边相等）
∵∠2＝60°
∴是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1
∴（内错角相等，两直线平行）
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟悉以上性质和判定是解题的关键．
13．如图，在等边中，已知点在直线上（不与点、重合），点在直线上，且．

图1

图2
（1）若点为线段的中点时，求证：；
（2）若的边长为2，．求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）的长为1或3．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，求出，得到，从而得到结论；
（2）对进行分类讨论，在线段上或在线段的反向延长线，求出，从而求得的长度．
【详解】
（1）证明：∵是等边三角形，为的中点，
∴，，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴．
（2）解：如图，在线段上时，

∵，，∴点是的中点，
由（1）知，，∴；
如图，在线段的反向延长线上时，
∵，，∴，
∵是等边三角形，
∴，，
过作交的延长线于，

∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的长为1或3．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质，涉及了全等三角形的证明、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握三角形的性质以及全等三角形的证明是解决此题的关键．
14．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数；
（3）若，判断是否为等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）65°；（3）是，理由见解析
【分析】
（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，DE=EF，由（2）知，∠DEF=∠B，于是得到结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
∵，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠B=65°，
∴∠DEF=65°；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE=EF，
由（2）知，∠DEF=∠B，
∵∠A=∠DEF，
∴∠A=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC的等边三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．已知，点P是等边中一点，以线段为边向右边作等边，连接、．

（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）根据证明，则可得出结论；
（2）证明，由勾股定理可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：是等边三角形，
，，
是等边三角形，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）是等边三角形，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键．
16．如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点．

（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）120°
【分析】
（1）欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°．
【详解】
解：（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE=BF；
（2）∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
即：∠BPC=120°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
17．如图，等边△ABC的边长为．点P从点C出发，沿C→B→A→C的方向运动，速度为；同时点Q从点B出发，沿B→A→C的方向运动，速度为，两个点有一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当时，BP= （用含的式子表示）；
（2）当= 时，PQ//BC，此时，△APQ是 三角形；
（3）当时，求的值．

【答案】（1） ；（2） ，等边；（3）当时，或．
【分析】
（1）根据“路程=速度×时间”可判断当时，点P在边AB上，即可求解；
（2）由平行线的性质可求∠APQ＝∠B＝60°，∠AQP＝∠C＝60°，可证△APQ是等边三角形，可得AP＝AQ，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由BP＝2cm，列出方程可求解．
【详解】
解：（1）解：由题意得当时，点P在边AB上，
∴BP=（cm），
故答案为： ；
（2）如图，∵PQ∥BC，
∴∠APQ＝∠B＝60°，∠AQP＝∠C＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴AP＝AQ，
∴20﹣4x＝3x﹣10，
∴，
∴当时，PQ∥BC，此时△APQ是等边三角形；

故答案为：，等边；
（3）当点P在BC上时，
∴10﹣4x＝2，
∴x＝2，
当点P在AB上时，
∴4x﹣10＝2，
∴x＝3，
∴当BP＝2cm时，x＝2或3．
【点睛】
本题为等边三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解决问题的关键．
18．点D、A、E在直线m上（D、E两点分别在点A的左右两边），AB＝AC，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，若∠BAC＝120°，点F为∠BAC平分线上的一点，且AF＝AB，连接DF、EF，试判断DEF的形状并说明理由．

【答案】（1）z证明见解析；（2）DEF为等边三角形，理由见解析
【分析】
（1）利用∠BDA＝∠BAC得到：∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE，得出∠DBA＝∠CAE，进而得出△ABD≌△CAE即可得出答案；
（2）连接BF，证明△ABF为等边三角形，可得∠ABF＝∠BAF＝∠AFB＝60°，证得∠FAC＝60°，由（1）知：△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，得出△FDB≌△FEA，所以FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，进而得到∠DFE＝60°，所以可判断△DEF的形状为等边三角形．
【详解】

解：（1）证明：∵∠BDA＝∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）△DEF为等边三角形．理由如下：
连接BF，如图2所示
由（1）知，△ADB≌△CAE，
∴BD＝EA，∠DBA＝∠CAE，
∵∠BAC＝120°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝60°，
∵AF＝AB，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠ABF＝∠BAF＝∠AFB＝60°，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
在△DBF和△EAF中，

∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
故答案为：△DEF为等边三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
19．如图，是等边三角形，点为边的一个动点，过点作交边于点，延长至点，使，连接，交于点．

（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求证：；
（3）当点为的三等分点（）时，与的位置关系是______．
【答案】（1）是等边三角形；见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）可证明∠A=∠AED=∠D=60°；
（2）可证明△EDG≌△CFG，最后在依据全等三角形的性质解答即可；
（3）证明DE=AE=EG，再根据三角形的外角性质求得∠EDG=∠EGD=30°，即可求解．
【详解】
解：（1）△ADE是等边三角形．
理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB=60°，∠ADE=∠B=60°，
∴∠A=∠AED=∠ADE，
∴△ADE是等边三角形；
（2）∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE．
∵CF=DE，且DE∥BC，
∴∠EDG=∠F，∠DEG=∠FCG．
在△DEG和△FCG中
，
∴△DEG≌△FCG．
∴EG=CG；
（3）DF⊥AB．
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，且AD=AB，
∴AD=DE=AE=AB=AC，
∴DE=AE=EC，
∵EG=CG=EC，
∴DE=AE=EG，
∵∠AED=∠ADE=60°，
∴∠EDG=∠EGD=30°，
∴∠ADG=∠ADE+∠EDG=90°，
∴DF与AB的位置关系是：DF⊥AB．
故答案为：DF⊥AB．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质和判定定理，全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
20．在等边△ABC中，点O在BC边上，点D在AC的延长线上且OA＝OD．
（1）如图1，若点O为BC中点，求∠COD的度数．
（2）如图2，若点O为BC上任意一点，求证：AD＝2BO+OC．
（3）如图3，若点O为BC上任意一点，点D关于直线BC的对称点为点P，连接AP，OP，请判断△AOP的形状，并说明理由．

【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）等边三角形，理由见解析
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出∠CAO＝30°，求出∠AOD的度数即可得出答案；
（2）如图1，过O作OE∥AB，OE交AD于E，证明△COE为等边三角形，根据AAS证明△AOE≌△DOC，得出CD＝EA，则AB＝AC，可得出答案；
（3）如图2，连接PC，PD，延长OC交PD于F，证明△OPE≌△OPF，得出∠POF＝∠DOF，OP＝OD，则△AOP为等腰三角形，过O作OE∥AB，OE交AD于E，证得∠AOP＝∠COE＝60°，则结论得证．
【详解】
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵O为BC中点，
∴ ，
且AO⊥BC，∠AOC＝90°，
∵OA＝OD，
∴△AOD中，∠D＝∠CAO＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣∠D﹣∠CAO＝120°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°；
（2）如图1，过O作OE∥AB，OE交AD于E，

∵OE∥AB
∴∠EOC＝∠ABC＝60°∠CEO＝∠CAB＝60°，
∴△COE为等边三角形，
∴OE＝OC＝CE∠AEO＝180°﹣∠CEO＝120°∠DCO＝180°﹣∠ACB＝120°，
又∵OA＝OD，
∴∠EAO＝∠CDO，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△DOC（AAS），
∴CD＝EA，
∵EA＝AC﹣CE，BO＝BC﹣CO，
∴EA＝BO，
∴BO＝CD，
又∵AD＝AC+CD，AB＝BC，
∴AD＝AB+BO＝BC+BO＝BO+CO+BO＝2BO+CO；
（3）△AOP为等边三角形．
证明：如图2，连接PC，PD，延长OC交PD于F，

∵P、D关于OC对称，
∴PF＝DF，∠PFO＝∠DFO＝90°，
在△OPE与△OPF中，
，
∴△OPE≌△OPF（SAS），
∴∠POF＝∠DOF，OP＝OD，
∴△AOP为等腰三角形，
过O作OE∥AB，OE交AD于E，
由（2）得△AOE≌△DOC∠AOE＝∠DOC，
∴∠AOE＝∠POF，
∴∠AOE+∠POE＝∠POF+∠POE，
即∠AOP＝∠COE＝60°，
∴△AOP是等边三角形．

【点睛】
本题是三几何变换综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出辅助线.
21．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．

（1）求证：；
（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．
（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【分析】
（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；
（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；
（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，
∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2OD，
∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=CG，
∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，
∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，
∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，
∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，
∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，
，
∴△CGB≌△CGF（ASA），
∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：
连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，

∵CA=CB，CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，
∴△OMG是等边三角形，
∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠MGO，
∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，
∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，
，
∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，
∴MF=OA，
∵OF=OM+MF，
∴OF=OG+OA．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
22．（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是　 　；BE＋BF与的BC数量关系是　 　；（写出结论即可，不必证明）

（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是　 　．（直接写出结论即可）
【答案】（1）DE=DF，BE+BF=BC；（2）DE=DF，BE+BF=BC；（3）DE=DF，BF-BE=BC
【分析】
（1）点与点重合，即，因为，所以可得出三者之间的关系；
（2）过作交于点，证明，DE=DF，ME=CF，即可得到结果；
（3）取中点，连接，证明△END≌△FCD，得到DE=DF，从而判断BE、BF、BC的关系．
【详解】
解：（1）等边中，点为的中点，，
，
，
；
（2）；．
过作交于点，

则，，
是等边三角形，
则，，
则，
即：，
在和中，
，
，
，，
∴；
（3）取中点，连接，如图所示
，，，
，
，
，
，
．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．
23．已知，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，，将线段AP绕点A逆时针旋转，得到线段AB，连接OB，再将线段OB绕点O顺时针旋转，得到线段OC，作于点H．
（1）如图1，．
①依题意补全图形；
②连接BP，求的度数；
（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）①见解析；②90°；（2），见解析
【分析】
（1）①按题意画图即可；②由旋转可得是等边三角形，进而求出的度数；
（2）由旋转证，得出，再求出，可得线段OA与CH之间的数量关系．
【详解】
解：（1）①下图即为所求：

② ，
解：∵线段AP绕点A逆时针旋转得到AB，
，且．
是等边三角形．
．
，
，
．
．
（2）
证明：连接BP，BC，
由（2）可知，是等边三角形，
．
∵线段OB绕点O顺时针旋转得到OC，

．
是等边三角形．
．
．
．
．
，
．
．
，
．
，
．
∴在中，．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质准确进行推理证明．
24．如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．
（1）求证：AE＝DC；
（2）求∠BFE的度数；
（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．

【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）18.23cm
【分析】
（1）由等边三角形的性质可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．从而可证∠DBC＝∠ABE．即可利用“SAS”可证明△DBC≌△ABE，得出结论AE＝DC．
（2）过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF．再结合等边三角形的性质可求出∠FDA+∠DAF＝120°，进而求出∠DFA＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”证明△BEH≌△BCN，得出结论BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．
（3）延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ．根据所作辅助线可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即证明△AFQ是等边三角形，得出结论AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．又可证明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可证明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
【详解】
（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，
∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，
∵在△DBC和△ABE中，，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴AE＝DC；
（2）解：如图，过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．

∵△DBC≌△ABE，
∴∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BDA+∠BAD＝120°，
∴∠FDA+∠DAF＝120°，
∴∠DFA＝180°-120°＝60°，
∴∠DFE＝180°-60°＝120°，
在△BEH和△BCN中，
，
∴△BEH≌△BCN（AAS），
∴BH＝BN，
∴BF平分∠DFE，
∴∠BFE＝∠DFE＝×120°＝60°；
（3）解：如图，延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ．
则∠AFQ＝∠BFE＝60°，
∴△AFQ是等边三角形，
∴AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴∠DAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAQ，即∠DAF＝∠BAQ，
在△DAF和△BAQ中，，
∴△DAF≌△BAQ（SAS），
∴DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，
∴CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．

【点睛】
本题为三角形综合题．考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定和性质．正确的作出辅助线也是解答本题的关键．
25．如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC=30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB=PE，连BE．
（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；
（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC=CE；
（3）若AC=6，CE=2，则PD的值为　 　（直接写出结果）．

【答案】（1）∠ABE=90°；（2）PD+AC=CE，见解析；（3）1
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：△BPE为等边三角形，则∠CBE=60°，故∠ABE=90°；
（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，构造含30度角的直角△PCG、直角△CPH以及全等三角形（Rt△PGB≌Rt△PHE），根据含30度的直角三角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；
（3）分三种情况讨论，根据（2）的解题思路得到PD=AC+CE或PD=CE-AC，将数值代入求解即可．
【详解】
（1）解：如图1，∵点P与点C重合，CD是线段AB的垂直平分线，

∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°，
∴∠BPE=∠PAB+∠PBA=60°，
∵PB=PE，
∴△BPE为等边三角形，
∴∠CBE=60°，
∴∠ABE=90°；
（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，

∵CD垂直平分AB，
∴CA=CB，
∵∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
∴∠GCP=∠HCP=∠BCE=∠ACD=∠BCD=60°，
∴∠GPC=∠HPC=30°，
∴PG=PH，CG=CH=CP，CD=AC，
在Rt△PGB和Rt△PHE中，
，
∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．
∴BG=EH，即CB+CG=CE-CH，
∴CB+CP=CE-CP，即CB+CP=CE，
又∵CB=AC，
∴CP=PD-CD=PD-AC，
∴PD+AC=CE；
（3）①当P在C点上方时，由（2）得：PD=CE-AC，
当AC=6，CE=2时，PD=2-3=-1，不符合题意；
②当P在线段CD上时，
如图3，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC于G，

此时Rt△PGB≌Rt△PHE（HL），
∴BG=EH，即CB-CG=CE+CH，
∴CB-CP=CE+CP，即CP=CB-CE，
又∵CB=AC，
∴PD=CD-CP=AC-CB+CE，
∴PD=CE-AC．
当AC=6，CE=2时，PD=2-3=-1，不符合题意；
③当P在D点下方时，如图4，

同理，PD=AC-CE，
当AC=6，CE=2时，PD=3-2=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨论．
26．如图所示，已知ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰AMN，如中存在，请求出此时M、N同时运动的时间？

【答案】（1）10；（2） ；（3） ；
【分析】
（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN，三角形ANM就是等边三角形；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值；
【详解】
（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
∵ AB=AC=BC=10
∴ x×1+10=2x，
解得：x=10．
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN
如图①，

AM=t×1=t，AN=AB-BN=10-2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=10-2t，
解得：
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒。
当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由上一问知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
∴在△ACM和△ABN中，

∴△ACM≌△ABN(AAS)，
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形；
∴CM=y-10，NB=30-2y，CM=NB， y-10=30-2y，
解得： ， 故假设成立；
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒；
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系；
27．已知：在等腰中，，是边的中点，点在直线上，点在的延长线上，是等边三角形．
（1）如图1，当点在线段的延长线上时，求证：
①；②；
（2）如图2，当点在线段上时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，三者之间的数量关系．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）①连接，根据对称性证，再根据等腰三角形的性质可得；
②在上截取，证和是等边三角形即可；
（2）在上截取，证和是等边三角形即可．
【详解】
解：（1）证明：①如图1，连接，


∵，为的中点，
∴直线是等腰的对称轴，
∵在上，
∴由轴对称性质得：，，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，∴，
则．
②如图1，在上截取，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
则．
（2）如图2，（1）中的结论②不成立．
在上截取，由（1）得，
，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
则．
故线段，，三者之间的数量关系为．

【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当的作辅助线，构建全等三角形进行证明．
28．如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．

（1）操作发现：
如图2，固定，使绕点旋转，当点恰好落在边上时．
填空：①线段与的位置关系是________；
②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是________．
（2）猜想论证：
当绕点旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想．
【答案】（1）①DE∥AC；②S1=S2；（2）见解析
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．
【详解】
解：（1）①DE∥AC，
理由如下：
∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
故答案为：DE∥AC；S1=S2；
（2）如图3，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．
29．如图所示，回答下列问题

（1）如图1，在中，，，直线经过点，直线，⊥直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，，试判断的形状，并求出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）等边三角形，6cm
【分析】
（1）根据直线m，直线m，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，于是；
（2）利用，则，得出，进而得出即可得出答案；
（3）通过证明和得到，即可求解．
【详解】
解：（1），，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，．
，
；
（2）成立，理由如下：
，
，
，
，
在和中，
，
，．
，
；
（3）△DEF是等边三角形，理由如下：
，
，
，
，
∵和均为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，，
∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判断与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．