专题03 导数的综合问题-2023-2024学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

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专题03 导数的综合问题【题型归纳目录】题型1：构造函数解不等式问题题型2：证明不等式题型3：恒成立问题题型4：能成立问题题型5：零点问题题型6：方程的根问题题型7：双变量问题问题题型8：实际应用问题题型9：极值点偏移问题【考点预测】1、恒成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．2、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．3、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．5、利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形【典例例题】题型1：构造函数解不等式问题例1．（2022·山东·宁津县第一中学高二期末）已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．例2．（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．例3．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．变式1．（2022·河南驻马店·高二期末（理））已知定义在R上的偶函数满足，，若，则关于x的不等式的解集为（    ）A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）变式2．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在上的函数的导函数为，满足，若函数的图像关于直线对称，且，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．变式3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．题型2：证明不等式例4．（2022·河南开封·高二期末（文））已知函数.(1)求在（为自然对数的底）处的切线方程；(2)证明：当时，．例5．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））已知函数.(1)当时，，求实数的取值范围；(2)证明：.例6．（2022·重庆市实验中学高二期末）已知函数f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．(1)求函数f(x)在区间[]上的最大值；(2)证明：．变式4．（2022·江西吉安·高二期末（理））已知函数.(1)求的极值；(2)证明：.变式5．（2022·重庆市实验中学高二期末）已知函数.(1)判断的零点个数；(2)当时，证明：.变式6．（2022·广东·中山纪念中学高二阶段练习）已知函数的最小值为．(1)求实数的值；(2)求证：当时，．题型3：恒成立问题例7．（2022·河北张家口·高二期末）已知函数.(1)证明：；(2)若时，恒成立，求的取值范围.例8．（2022·广西河池·高二期末（理））设为实数，函数，.(1)若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.例9．（2022·四川凉山·高二期末（文））已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，求a的取值范围．变式7．（2022·山东菏泽·高二期末）已知函数.(1)求函数的极值；(2)已知对于恒成立，求整数的最大值.变式8．（2022·四川遂宁·高二期末（文））已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围．变式9．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知函数，．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．变式10．（2022·河南驻马店·高二期末（理））已知函数（其中，e为自然对数的底数）．(1)当时，讨论函数f（x）的单调性；(2)当时，，求a的取值范围．题型4：能成立问题例10．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数，设在点处的切线为（1）求直线的方程；（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．（1）求证：在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方;（2）若存在，，使成立，求满足上述条件的最大整数m．例12．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中）已知函数.（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范围.变式11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）若，讨论函数的单调性；（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.变式12．（2022·广东·广州科学城中学高二期中）已知函数（）．（1）若，讨论函数的单调性；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．变式13．（2022·全国·高二课时练习）函数，．（1）求的单调区间；（2）若，，使得成立，求实数的取值范围．题型5：零点问题例13．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若存在两个不同的零点，求实数a的取值范围.例14．（2022·江苏·高二期末）已知，其中.(1)讨论的单调性；(2)取，，其中，求最小的k，使有两个零点.例15．（2022·山东济南·高二期末）已知函数，．(1)若存在极大值点，求a的取值范围；(2)试判断的零点个数，并说明理由．变式14．（2022·北京丰台·高二期末）已知函数.(1)当时，求曲线点处的切线方程；(2)求证：当时，函数存在极值；(3)若函数在区间上有零点，求的取值范围.变式15．（2022·陕西·咸阳市教育局高二期末（文））已知函数，．(1)求的最小值；(2)记为的导函数，若函数有且只有一个零点，求a的值．变式16．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)已知若函数没有零点，求的取值范围.题型6：方程的根问题例16．（2022·广东·红岭中学高二期中）已知函数，在处有极值.(1)求、的值；(2)若，有个不同实根，求的范围.例17．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知．(1)若2是函数的极值点，求a的值，并判断2是的极大值点还是极小值点；(2)若关于x的方程在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．参考数据：例18．（2022·湖北·高二期中）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．变式17．（2022·陕西·西安中学高二期末（文））已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为.(1)求切线的倾斜角的取值范围；(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.变式18．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数（e为自然对数的底数），（），.(1)若直线与函数，的图象都相切，求a的值；(2)若方程有两个不同的实数解，求a的取值范围.变式19．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）已知函数，其中为常数，．(1)求单调区间；(2)若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根．题型7：双变量问题问题例19．（2022·山东潍坊·高二期中）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）实数，满足，求的最大值．例20．（2022·江苏常州·高二期末）已知函数（为自然对数的底数）．（1）求曲线在点处的切线方程：（2）若方程有两个不等的实数根，而，求证：．例21．（2022·贵州·遵义航天高级中学高二阶段练习（理））已知函数，R．（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；（2）若，为的两个不同极值点，证明：．变式20．（2022·北京大兴·高二期末）已知函数.（1）求证：当时，；（2）设斜率为的直线与曲线交于两点，证明：.变式21．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知函数（）有两个极值点为，（）．（1）求实数的取值范围；（2）求证：．变式22．（2022·湖北·高二期末）已知函数（）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.题型8：实际应用问题例22．（2022·河北·石家庄市第二十七中学高二期中）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加0.5万元.种植万千克莲藕的销售额(单位：万元)是(是常数)，若种植2万千克莲藕，利润是1.5万元，求：(1)种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为的解析式；(2)要使利润最大，每年需种植多少万千克莲藕，并求出利润的最大值.例23．（2022·江苏徐州·高二期末）已知，两地的距离是.根据交通法规，，两地之间的公路车速（单位：）应满足.假设油价是7元/，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，当车速为时，汽车每小时耗油，司机每小时的工资是91元.(1)求的值；(2)如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？例24．（2022·河南省实验中学高二期中（理））如图，在半径为6 m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长|AB|x m，圆柱的体积为V m3.(1)写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大 最大体积是多少?变式23．（2022·全国·高二课时练习）某食品厂生产某种食品的总成本C（单位：元）和总收入R（单位：元）都是日产量x（单位：kg）的函数，分别为，，试求边际利润函数以及当日产量分别为200kg，250kg，300kg时的边际利润，并说明其经济意义.（总利润y关于产量x的函数的导函数称为边际利润函数）题型9：极值点偏移问题例25．（2022·浙江大学附属中学高二期中）已知函数，．(1)记，当时，求的单调区间．(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，．①求实数a的取值范围；②证明：．例26．（2022·四川泸州·高二期末（文））已知函数，e为自然对数的底数.(1)若函数在上有零点，求的取值范围；(2)当，，且，求证：.例27．（2022·广东深圳·高二期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.(1)求的值，并讨论函数的单调性；(2)若，其中，证明：.变式24．（2022·辽宁·高二阶段练习）已知函数.(1)求的极大值；(2)设、是两个不相等的正数，且，证明：.变式25．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知函数(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)设是两个不相等的实数，且．求证：