北师大版九年级上册第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计及反思

这是一份北师大版九年级上册第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计及反思，共4页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点，教学说明，归纳总结等内容，欢迎下载使用。

2.5　一元二次方程的根与系数的关系

【知识与技能】
掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．
【过程与方法】
经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想．
【情感态度】
通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．

【教学重点】
根与系数的关系及运用．
【教学难点】
对根与系数的关系的理解、推导及运用．

一、创设情境，导入新课
我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：苹果砸在牛顿头上，牛顿发现了万有引力定律。而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律．那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们共同去探究，感受一次当科学家的滋味．
【教学说明】让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣、探究欲望．

二、合作交流，探究新知
游戏：
同学们给老师出一个方程，老师不解方程就能非常快地写出两根之和与两根之积，不信就试试吧！
ax2+bx+c=0(a≠0)(b2-4ac≥0)
x1＋x2
x1·x2















【教学说明】通过游戏激发学生的学习兴趣，使他们产生强烈的求知欲。
实验：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

一元二次方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋6x－16＝0




x2－2x－5＝0




2x2－3x＋1＝0




　　【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法．
猜想：
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)(b2-4ac≥0)的两个根分别是x1 、x2 ，那么,你可以发现什么结论？你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
证明：
已知：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)(b2-4ac≥0)的两个根分别是x1 、x2 ，
求证：x1＋x2＝－，x1·x2＝.
证明：当Δ≥>时，由求根公式得
x1＝，x2＝，
所以x1＋x2＝__________________＋___________________
＝__________________
x1x2＝___________________·___________________
＝_______
＝_____.
、【归纳总结】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知x1＝，x2＝，能得出以下结果：
x1＋x2＝－，x1·x2＝.
【教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程．
三、运用新知，深化理解
口答：求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2－2x－15＝0；
(2)4x2＝1+2x 5x－1＝4x2；
(3)2x2+3x－5＝0
1. 3x2－7x＝0
2. 2x2 ＝5.
例1、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x－1＝0 两个根的；（1）平方和；（2）倒数和。
例2： 已知方程 5x2+kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.


练习：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。

（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值。
例3：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23

（3）
例4：已知方程x2＋kx+k+2＝0的两个实数根是x1，x2且＋x=4，求k的值。
练习：已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少
10，求k的值.
例5：方程mx2-2mx+m-1＝0(m≠0)有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
总结规律：
两根均为负的条件： X1+X2 _____________ 且X1X2_____________
两根均为正的条件： X1+X2 _____________ 且X1X2_____________
两根一正一负的条件： X1+X2 _____________ 且X1X2_____________
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 。
练习：方程x2-(m+1)x+2m-1=0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
引申:1、若ax2+bx+c=0(a≠0)(b2-4ac≥0)
（1）若两根互为相反数,则b______0;
（2）若两根互为倒数,则a______=c;
（3）若一根为0,则c______=0 ;
（4）若一根为1,则a+b+c______=0 ;
（5）若一根为-1,则a-b+c______=0;
（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.





2．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
解：(1)Δ＝b2－4ac＝[2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤；
(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴|2(k－1)|＝k2－1，∵k≤，∴k2－1＝－2(k－1)，
解得k＝3(舍去)或k＝－1.
【教学说明】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积．
3．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
解：设方程的另一个根是x1，
那么2x1＝－，
∴ x1＝__－__，
又x1＋2＝－，
∴k＝__－7__．
4．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根的(1)平方和；(2)倒数和．
解：设方程的两个根分别为x1，x2，
那么x1＋x2＝__－__，
x1x2＝__－__．
(1)∵ (x1＋x2)2＝x＋2__x1·x2__＋x，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2__x1·x2__＝____．
(2) ＋＝＝___3___．
5．已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k的值．
解：∵方程两实根的积为5，
∴
得
∴当k＝4时，方程两实根的积为5.
6．已知关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
解：(1)Δ＝[ 2(k－1)] 2－4(k2－1)，
＝4k2－8k＋4－4k2＋4＝－8k＋8.
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴－8k＋8＞0，解得 k＜1，即实数k的取值范围是 k＜1.
(2)假设0是方程的一个根，则代入得 02＋2(k－1)· 0＋k2－1 ＝ 0，
解得k＝－1或 k＝1(舍去)．
即当k＝－1时，0就为原方程的一个根．
此时，原方程变为 x2－4x ＝ 0，解得 x1＝0，x2＝4，所以它的另一个根是4.
【教学说明】目的是考查学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生了解到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．
(1)先化成一般形式，再确定a，b，c.　
(2)当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．
(3)要注意符号：两个根的和前面有负号，两个根的积前面没有负号．
让学生谈谈本节课的收获与体会，教师可适当引导和点拨．
六、布置作业
1．教材习题2.8第2 、3题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．