专题5.1 投影（能力提升）-2023-2024学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

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A．B．C．D．2
【答案】B
【解答】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，
设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FD＝x＝MN，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴＝，
即＝，
∴PN＝x，
∵PN+MN＝PM，
∴x+x＝1.6，
解得，x＝，
故选：B．
2．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为 米．
【答案】9.4
【解答】解：设这棵大树高为x，
根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．
可得树高比影长为＝1.25，
则有＝＝0.8，
解可得：x＝9.4米．
3．如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【解答】解：设小云在B点时，身高为BD，在点A时，身高为AC，
∵∠MAC＝∠MOP＝90°，
∠AMC＝∠OMP，
∴△MAC∽△MOP，
∴＝，
即＝，
解得，MA＝4米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB＝1.2米，
则小云的身影变短了4﹣1.2＝2.8米．
∴变短了，短了2.8米．
4．如图，A、B在一直线上，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，4秒后走到点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续沿AB方向以同样的速度匀速前进4秒后到点F，此时他（EF）的影长为2米，然后他再沿AB方向以同样的速度匀速前进2秒后达点H，此时他（GH）处于灯光正下方．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明沿AB方向匀速前进的速度．
【解答】解：（1）如图所示：FM即为所求；
（2）设速度为x米/秒，
根据题意得CG∥AH，
∴△COG∽△OAH，
∴＝，即：＝＝，
又∵CG∥AH，
∴△EOG∽△OMH，
∴＝，
即：＝，
∴解得：x＝
答：小明沿AB方向匀速前进的速度为米/秒．
5．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）
（1）标出王琳站在P处在路灯B下的影子；
（2）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；
（3）计算路灯A的高度．
【解答】解：（1）线段CP为王琳在站在P处路灯B下的影子；
（2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD，
∴，
∴，
解得：QD＝1.5米；
（3）∵Rt△DFQ∽Rt△DAC，
∴，
∴，
解得：AC＝12米．
答：路灯A的高度为12米．
6．三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：
．
7．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长．
【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE．
∵∠ABC＝∠DEF＝90°
∴△ABC∽△DEF．
∴AB：DE＝BC：EF，
∵AB＝7m，BC＝4m，EF＝8
∴7：4＝DE：8
∴DE＝14（m）．
8．高高的路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿（即AE），这时，他量了一下竹竿的影长（AC）正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度（即AB＝4米），他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度（即BD＝2米）．此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，我知道路灯有多高了！”同学们，请你和小明一起解答这个问题：
（1）在图中作出路灯O的位置，并作OP⊥l于P．
（2）求出路灯O的高度，并说明理由．
【解答】解：（1）
（2）由于BF＝DB＝2（米），即∠D＝45°，
所以，DP＝OP＝灯高，
△COP中AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP
∴△CEA∽△COP，即，
设AP＝x，OP＝h则：
①，
DP＝OP表达为2+4+x＝h②，
联立①②两式得：
x＝4，h＝10，
∴路灯有10米高．
9．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2m，已知AB、CD在路灯光下的影长分别为BM＝1.6m，DN＝0.6m．求标杆EF的影长．
【解答】解：如图，OH为路灯的高，设AB＝CD＝EF＝a，
∵AB∥OH，
∴△MAB∽△MOH，
∴＝，即＝①，
∵CD∥OH，
∴△NCD∽△NOH，
∴＝，即＝②，
由①②得即＝，解得DH＝1.2，
∴＝＝＝，
∴HF＝DF﹣DH＝2﹣1.2＝0.8，
∵EF∥OH，
∴△GEF∽△GOH，
∴＝，即＝＝，
∴FG＝0.4．
答：标杆EF的影长为0.4m．
10．小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前方出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小明能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高 25米．
（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点．
（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）
【解答】（1）如图所示：
汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；
（2）∵小明的视角为30°，A建筑物高25米，
∴AC＝25，
tan30°＝＝，
∴AM＝25 ，
∵∠AEC＝45°，
∴AE＝AC＝25米，
∴ME＝AM﹣AE＝43.3﹣25＝18.3（米）．
答：他向前行驶了18.3米．
11．如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE＝3.9m，窗口底边离地面的距离BC＝1.2m，试求窗口的高度．（即AB的值）
【解答】解：由于阳光是平行光线，即AE∥BD，
所以∠AEC＝∠BDC．又因为∠C是公共角，
所以△AEC∽△BDC，从而有．
又AC＝AB+BC，DC＝EC﹣ED，EC＝3.9，ED＝2.1，BC＝1.2，
于是有，解得AB＝1.4（m）．
答：窗口的高度为1.4m．
12．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.3米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.5米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米．
（2）求出乙树的高度．
（3）请选择丙树的高度为
A、6.5米 B、5.5米 C、6.3米 D、4.9米．
【解答】解：（1）根据题意得：＝，
解得：x＝5．
故答案为：5；
（2）如图1所示：假设AB是乙树，
∴BC＝2.4m，CD＝1.2m，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝0.96（m），
∴＝，
∴AB＝4.2（m），
（3）假设A′B′是丙树，如图2所示：
∵C′D′＝0.3m，D′F＝0.3m，
A′C′＝4.5m，
∴E′F＝4.5+0.3＝4.8（m），
∴＝，
∴＝，
∴B′E′＝6，
∴A′B′＝6+A′E′＝6+0.3＝6.3（m）．
故选：C．
12．如图，两棵树的高度分别为AB＝6m，CD＝8m，两树的根部间的距离AC＝4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D？
【解答】解：设FG＝x米．那么FH＝x+GH＝x+AC＝x+4（米），
∵AB＝6m，CD＝8m，小强的眼睛与地面的距离为1.6m，
∴BG＝4.4m，DH＝6.4m，
∵BA⊥PC，CD⊥PC，
∴AB∥CD，
∴FG：FH＝BG：DH，即FG•DH＝FH•BG，
∴x×6.4＝（x+4）×4.4，
解得x＝8.8（米），
因此小强与树AB的距离小于8.8米时就看不到树CD的树顶D．
13．（1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子；（用线段CD表示）
（2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点P表示）；并在图中画出人在此光源下的影子．（用线段EF表示）
【解答】解：（1）如图1，CD是木杆在阳光下的影子；
（2）如图2，点P是影子的光源，EF就是人在光源P下的影子．