人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形获奖教学设计

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人教版数学八年级上册
第十三章 轴对称
13.3.1.1 等腰三角形
1.理解并掌握等腰三角形的性质；
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题；
3.培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力.
1.等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍，则该三角形的底边长是_____cm，腰长是______cm.
7
14
x
2x
2x+2x+x=35
x=7
2.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为( ) A.20cm B.22cm C.20cm或22cm D.都不对
等腰三角形的三边长分别为
8cm，6cm，6cm
或8cm，8cm，6cm
因此它的周长为20cm或22cm.
C
4.已知等腰三角形的一个外角等于130°，那么底角的度数是( )A.50° B.65° C.50°或65° D.以上都不对
C
C
3.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是( )A.110° B.55° C.35° D.以上都不对
对应的内角等于110°
对应的内角等于50°
问题1：如下图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的三角形有什么特点？
探究点一
等腰三角形中相等的两边叫做________，另一边叫做_______，两腰所夹的角叫做________，底边与腰的夹角叫__________.
相等
AB
AC
等腰
两条边
腰
底边
顶角
底角
操作结论
剪刀剪过的两条边_______，即△ABC中的边____=_____，所以得到的三角形是_______三角形.
等腰三角形的定义：有_________相等的三角形是等腰三角形.
问题2：如图，把剪出的三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段与角，由这些重合的线段与角，你能发现等腰三角形的性质吗？重合的角___________，重合的线段___________.
∠B、∠C
AB、AC
探究点一
性质1 等腰三角形的两个_______相等(简写“等边对等_____”)
数学符号表示：在△ABC中，∵AB=AC ∴∠_____=∠_____
底角
角
B C
通过操作可以得到等腰三角形的以下性质：
即在等腰△ABC中，AB=AC，∵AD⊥BC，∴____= ____，∠_____ = ∠_____ ；
性质2 等腰三角形的顶角_______线、底边上的_____线、底边上的_____相互重合(简写成“三线合一”)
(1)等腰三角形底边上的高AD，既是底边上的______，又是顶角________；
平分
中
高
中线
平分线
BD CD
BAD CAD
问题2：如图，把剪出的三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段与角，由这些重合的线段与角，你能发现等腰三角形的性质吗？
探究点一
即在等腰△ABC中，AB=AC，∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____；
(2)等腰三角形的底边上中线AD，既是底边上的______，又是顶角______.
即在等腰△ABC中，AB=AC，∵AD是角平分线，∴_____ =_____，____ ⊥____ .
中线
平分线
AD BC
BAD CAD
中线
高
BD CD
AD BC
(3)等腰三角形的顶角的平分线AD，既是底边上的_____，又是底边上的____，
你能利用三角形全等来证明性质1(等边对等角)吗？(你有几种方法？)已知：如图△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C.
∵ 在△BAD与△CAD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∴ △BAD≌△CAD(SSS)
∴ ∠B=∠C
证明1：作底边BC的中线AD
你能利用三角形全等来证明性质1(等边对等角)吗？(你有几种方法？)已知：如图△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C.
证明2：作BC的垂线AD，垂足为D，
因为AB=AC，AD=AD
所以△ADB≌△ADC全等（HL）
所以∠B＝∠C
则△ADB与△ADC是直角三角形
你能利用三角形全等来证明性质1(等边对等角)吗？(你有几种方法？)已知：如图△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C.
证明3：作∠A的平分线AD
因为AB＝AC，AD＝AD，
∠BAD＝∠CAD，
所以△ABD≌△ACD
所以∠B＝∠C
探究点二
问题2：你能证明性质2(等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合)吗 ?
方法1.已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．
求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD．
证明：因为AD是高，所以∠ADB=∠ADC=90°，
因为AB=AC，AD=AD，
所以直角△ABD全等直角△ACD,
所以BD=CD，∠BAD=∠CAD．
探究点二
问题2：你能证明性质2(等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合)吗 ?
方法2.已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
证明：因为AB=AC，AD=AD，BD=CD，
所以△ABD≌△ACD，
所以∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=90° ，即有AD⊥BC．
探究点二
问题2：你能证明性质2(等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合)吗 ?
方法3.已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
求证：AD⊥BC，BD=CD．
证明：因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD，
所以∠ADB=∠ADC，BD=CD，
因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=90°，即有AD⊥BC．
解：设∠C=x
∵ AB=AC
∴ ∠ABC=∠C=x，∠A=180°-2x
∵ BD=BC=AD
∴ ∠A=∠ABD，∠C=∠BDC=x
∵ ∠BDC是△ABD的外角,
即x=360°-4x
∴ x=72°
则∠ABC=∠C=72°，∠A=36°
∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
例2. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F.(1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?请给出证明.(2)过C点作AB边上的高CG，请问DE，DF，CG的长度之间存在怎样的关系?并加以证明.
例2. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F.(1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?请给出证明.
解：(1)当D为BC的中点时，DE=DF.
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°,
∴△BED≌△CFD(AAS)
∴DE=DF.
解：(2) CG=DE+DF.
连接AD，
∵S△ABC=S△ADB+S△ADC，
∴AB×CG=AB×DE+AC×DF，
又AB=AC，
∴CG=DE+DF.
例2. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F.(2)过C点作AB边上的高CG，请问DE，DF，CG的长度之间存在怎样的关系?并加以证明.
1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是(　　)A．80° B．80°或20°C．80°或50° D．20°
B
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(　 　)A．36° B．54° C．18° D．64°
B
72°
72°
18°
54°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于(　 　)　　　　 A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
A
4．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(　 　)A．50° B．100° C．120° D．130°
B
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE.如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( 　 )A．BD＝CE B．AD＝AEC．DA＝DE D．BE＝CD
C
6．如图，直线 m∥n ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，则∠1 ＝______．
45°
7．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO＝AC，∠A＝48 °，则∠D＝_______．
66°
解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=36°
∵CD=AC
∴∠1=∠CDA
 
 
∴∠2=∠CDA-∠B=72°-36°=36°　
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAD=∠BAD．
∴∠CBE=∠BAD．
解：相互全等的三角形有△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD
以△ABE≌△ACE为例，证明如下：
∵ AB=AC
∵AD为角平分线，
∴ ∠ BAE= ∠CAE，
∵ AE=AE ，
∴△ABE≌△ACE（SAS）
课程结束
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