高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题，共7页。
第八章　8.6　8.6.2

A级——基础过关练
1．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是(　　)
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
【答案】D
【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．
2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)
A．相交　　 B．异面
C．平行　　 D．不确定
【答案】C
【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC．同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m．故选C．
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)
A．有且只有一个　 B．至多一个
C．有一个或无数个　 D．不存在
【答案】B
【解析】若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【答案】B
【解析】如图所示，连接BD，AC，交于点O，连接D1O．由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．设D到平面ACD1的距离为d，DD1与平面ACD1所成的角为θ，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1．由VD－ACD1＝VD1－ACD得××()2·d＝×1×1××1，解得d＝．所以sin θ＝＝．

5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列判断正确的是(　　)

A．A1C⊥平面AB1D1 B．A1C⊥平面AB1C1D
C．A1B⊥平面AB1D1 D．A1B⊥AD1
【答案】A
【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1CA，则A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1所成角，为60°，故C，D不正确．故选A．

6．(多选)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是(　　)

A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
【答案】ABD
【解析】PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确；
⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB．故A正确；同理B正确；C不正确．
7．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是(　　)

A．①　　 B．①②
C．②③　　 D．④
【答案】A
【解析】如图．

在①中，∵BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴AB⊥CD，故①正确；在②中，∵CD∥AE，△ABE是等边三角形，∴AB与CD异面，且所成角为60°，故②错误；在③中，CD∥BE，∠ABE＝45°，∴AB 与CD异面，且所成角为45°，故③错误；在④中，CD∥BE，tan∠ABE＝＝，∴AB与CD异面，且不垂直，故④错误．故选A．
8．若a，b表示直线，α表示平面，给出下列命题：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．其中正确的命题为________．(填序号)
【答案】①④
【解析】由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③错误．
9．如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

【答案】4
【解析】⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC．
10．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．求证：AE⊥BE．

证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE．
又∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC．
∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，
∴AE⊥BF．
又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE．
又∵BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．
B级——能力提升练
11．已知三棱锥P－ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的(　　)
A．外心　　 B．内心
C．重心　　 D．垂心
【答案】D
【解析】如图，连接AO并延长，交BC于D，连接BO并延长，交AC于E．因为PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．因为PO⊥平面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC．同理可证BE⊥AC．故O是△ABC的垂心．故选D．

12．(多选)如图，四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有(　　)

A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD所成的角是∠SAD
D．AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角
【答案】ABCD
【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故C正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故D正确．
13．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________．

【答案】1
【解析】在三棱锥P－ABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC．因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB．因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF．因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以＝1．
14．如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝BC＝a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H．当＝________时，截面EFGH的面积最大，最大面积为________．

【答案】　a2
【解析】∵AD与BC成60°角，∴∠HGF＝60°或120°．设＝x，则＝＝x．又∵BC＝a，∴EF＝ax．由＝＝1－x，得EH＝a(1－x)．∴S四边形EFGH＝EF×EH×sin 60°＝ax×a(1－x)×＝a2(－x2＋x)．当x＝时，S最大值＝a2，即当＝时，截面的面积最大，最大面积为a2．
15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．

(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1．
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1．
又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B．
又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1．
又∵BA1∩A1C1＝A1，
∴AB1⊥平面A1BC1．
(2)解：如图，连接A1D．设AB＝AC＝AA1＝1．

∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝．
在Rt△A1DA中，AD＝＝．
∴sin∠A1DA＝＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为．