人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时课后练习题

8.6.2 直线与平面垂直

第1课时 直线与平面垂直的判定

一、选择题

1．如图，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，则与平面的位置关系是（    ）

A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对

【答案】A

【解析】

连接.

∵几何体是正方体，底面是正方形，

∴.

又∵，∴平面.

∵平面，∴.

∵，∴平面.

故选A.

2．若斜线段是它在平面上的射影长的2倍，则与平面所成的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图所示，作点在平面上的射影，连接，

则即是斜线与平面所成的角，且为直角三角形.

又，所以，

所以.

故选A.

3．正方体中，与平面所成的角为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，连接交于点E，连接AE，

正方体中，证得：平面，

所以与平面所成的角为，

设正方体的边长为，

在中，求得：，，

,所以，

故选：A

4．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（     ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】A

【解析】由题意：，，

，平面

所以平面正确，D不正确；.

又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；

同理平面不正确；

故选：A

5．（多选题）如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】对于A，由与所成角为，

可得直线与平面不垂直；

对于B，由，，，

可得平面；

对于C，由与所成角为，

可得直线与平面不垂直；

对于D，连接，由平面，

可得，同理可得，

又，所以平面.

故选：BD

6．（多选题）如果一条直线垂直于一个平面内的：

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.

那么能保证该直线与平面垂直的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ACD

【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的；

选项A、C、D中给定的两条直线一定相交，能保证直线与平面垂直；而B中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.

故选：ACD.

二、填空题

7．如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为______.

【答案】

【解析】取中点，连接，如下图所示：

正三棱柱，，

则，

因为平面，

平面，所以

而，则平面，

则即为与平面所成角.

因为，

所以

故答案为：.

8．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当_______时，平面.

【答案】或

【解析】由已知得是等腰直角三角形，，是的中点，∴，

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

又∵平面，∴.

若平面，则.

设，则，

，

∴，

解得或.

9．已知平面和直线，给出条件：

①；②；③；④；⑤．

（1）当满足条件         时，有；

（2）当满足条件        时，有．（填所选条件的序号）

【答案】③⑤；②⑤

【解析】

试题分析：若m⊂α，α∥β，则m∥β；

若m⊥α，α∥β，则m⊥β．

故答案为（1）③⑤（2）②⑤

10.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________.

【答案】

【解析】　如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD，则BC⊥AD.

过点A作AG⊥SD于点G，连接GB.

∵SA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，

∴BC⊥SA，又SA∩AD＝A，

∴BC⊥平面SAD.

又AG⊂平面SAD，∴AG⊥BC.

又AG⊥SD，SD∩BC＝D，∴AG⊥平面SBC.

∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角.

∵AB＝2，SA＝3，∴AD＝，SD＝2.

在Rt△SAD中，AG＝＝.

∴sin∠ABG＝＝＝.

三、解答题

11．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.

（I）求异面直线与所成角的余弦值；

（II）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.

因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.

在Rt△PDA中，由已知，得，

故.

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.

又因为BC//AD，所以PD⊥BC，

又PD⊥PB，

所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，

则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，

所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，

由已知，得CF=BC–BF=2.

又AD⊥DC，故BC⊥DC，

在Rt△DCF中，可得,

在Rt△DPF中，可得.

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

12．如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；

（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由得，

所以.

故.

由， 得，

由得，

由，得，所以，故.

因此平面.

（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是与平面所成的角.

由得，

所以，故.

因此，直线与平面所成的角的正弦值是.