初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定课后复习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定课后复习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版九上1.3正方形的性质与判定
（共19题）

一、选择题（共12题）
1. 下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有    个．
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

2. 正方形的一条对角线长为 4，则这个正方形的面积是   
A． 8 B． 42 C． 82 D． 16

3. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=6，M 是边 AD 上的一点，AM:MD=1:2．将 △BMA 沿 BM 对折至 △BMN，连接 DN，则 DN 的长为   

A． 52 B． 958 C． 3 D． 655

4. 若正方形的周长为 40，则其对角线长为   
A．100 B．202 C．102 D．10

5. 如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为 1,3，则点 C 的坐标为   

A． −3,−1 B． −1,3
C． 3,1 D． −3,1

6. 如图，在平面直角坐标系中有一个 3×3 的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）A 的坐标为 −1,1，左上角格点 B 的坐标为 −4,4，若分布在过定点 −1,0 的直线 y=−kx+1 两侧的格点数相同，则 k 的取值可以是   

A． 52 B． 74 C． 2 D． 32

7. 如图，三个边长均为 4 的正方形重叠在一起，O1，O2 是其中两个正方形的对角线交点，则阴影部分面积是   

A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

8. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，E 为对角线 AC 上与点 A，C 不重合的一个动点，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，EG⊥BC 于点 G，连接 DE，FG，有下列结论：① DE=FG；② DE⊥FG；③ ∠BFG=∠ADE；④ FG 的最小值为 3．其中，正确的结论有   

A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个

9. 如图，正方形 ABCD 和 CEFG 的边长分别为 m，n，那么 △AEG 的面积的值   

A．只与 m 的大小有关 B．只与 n 的大小有关
C．与 m，n 大小都有关 D．与 m，n 大小都无关

10. 如图，P 为 AB 上任意一点，分别以 AP，PB 为边在 AB 同侧作正方形 APCD，正方形 PBEF，设 ∠CBE=α，则 ∠AFP 的度数为   

A． 2α B． 90∘−α C． 45∘+α D． 90∘−12α

11. 如图，在边长为 5 的正方形 ABCD 中，以 A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形 ABCD 的边上，且含边长为 3 的所有大小不同的等腰三角形的个数为   

A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

12. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 CD，AC 上，BF⊥EF，CE=1，则 AF 的长是   

A． 22 B． 322 C． 432 D． 542

二、填空题（共4题）
13. 如图，正方形 AEFG 与正方形 ABCD 的边长分别为 2 和 1，将正方形 ABCD 绕正方形 AEFG 的顶点 A 旋转一周，在此旋转过程中，线段 CG 的长的最小值与最大值之和是 ．


14. 如图，正方形 ABCD 中，AE=BE=3，BF=2，平移线段 EF，使 E，F 两点同时落在正方形上，则平移的距离为 ．


15. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 E，F 分别在 AD，DC 上，AE=DF=2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 ．


16. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，DE 平分 ∠ODA 交 OA 于点 E，若 AB=2，则线段 OE 的长为 ．


三、解答题（共3题）
17. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，AE，BF 交于点 O，∠AOF=90∘．求证：BE=CF．


18. 如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE．易证：CE=CF．

(1) 在图 1 中，若 G 在 AD 上，且 ∠GCE=45∘．试猜想 GE，BE，GD 三线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(2) 运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：
①如图 2，在四边形 ABCD 中 ∠B=∠D=90∘，BC=CD，点 E，点 G 分别是 AB 边，AD 边上的动点．若 ∠BCD=α，∠ECG=β，试探索当 α 和 β 满足什么关系时，图 1 中 GE，BE，GD 三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．
②在平面直角坐标中，边长为 1 的正方形 OABC 的两顶点 A，C 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴上，点 O 在原点．现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线 y=x 于点 M，BC 边交 x 轴于点 N（如图 3）．设 △MBN 的周长为 p，在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值是否有变化？若不变，请直接写出结论．


19. 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 6 cm，点 F 从点 B 出发，沿射线 AB 方向以 1 cm /秒的速度移动，点 E 从点 D 出发，向点 A 以 1 cm /秒的速度移动（不到点 A）．设点 E，F 同时出发移动 t 秒．

(1) 在点 E，F 移动过程中，连接 CE，CF，EF，则 △CEF 的形状是 ，始终保持不变；
(2) 如图 2，连接 EF，设 EF 交 BD 移动 M，当 t=2 时，求 AM 的长；

(3) 如图 3，点 G，H 分别在边 AB，CD 上，且 GH=35 cm，连接 EF，当 EF 与 GH 的夹角为 45∘，求 t 的值．





答案
一、选择题（共12题）
1. 【答案】C
【解析】 ∵ 四边相等的四边形一定是菱形，
∴ ①正确；
∵ 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，
∴ ②错误；
∵ 对角线相等的平行四边形才是矩形，
∴ ③错误；
∵ 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，
∴ ④正确．
其中正确的有 2 个．

2. 【答案】A
【解析】 ∵ 正方形的一条对角线长为 4，
∴ 这个正方形的面积 =12×4×4=8．

3. 【答案】D

4. 【答案】C

5. 【答案】D
【解析】如图所示，过点 A 作 AD⊥ 轴于 D，过点 C 作 CE⊥x 轴于 E，
则 ∠ADO=∠OEC=90∘，
∴∠1+∠2=90∘．
∵ 点 A 的坐标为 1,3，
∴OD=1，AD=3．
∵ 四边形 OABC 是正方形，
∴∠AOC=90∘，OA=OC．
又 ∵∠1+∠3=90∘．
∴∠3=∠2．
在 △OCE 和 △AOD 中，
∠OEC=∠ADO,∠3=∠2,OC=AO.
∴△OCE≌△AODAAS
∴OE=AD=3，CE=OD=1．
∵ 点 C 在第二象限，
∴ 点 C 的坐标为 −3,1．


6. 【答案】B
【解析】 ∵ 直线 y=−kx+1 过定点 −1,0，分布在直线 y=−kx+1 两侧的格点数相同，
由正方形的对称性可知，直线 y=−kx+1 两侧的格点数相同，
∴ 在直线 CD 和直线 CE 之间，两侧格点相同（如图），
∵E−3,3，D−3,4，
∴−2<−k<−32，则 32

7. 【答案】D
【解析】连接 O1B，O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C=90∘，∠FO1C+∠CO1G=90∘，
∴∠BO1F=∠CO1G，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠O1BF=∠O1CG=45∘，
在 △O1BF 和 △O1CG 中，
∠FO1B=∠CO1G,BO1=CO1,∠FBO1=∠GCO1,
∴△O1BF≌△O1CGASA，
∴O1，O2 两个正方形阴影部分的面积是 14S 正方形，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 14S 正方形，
∴S阴影=12S正方形=8．


8. 【答案】C

9. 【答案】B
【解析】 △GCE 的面积是 12⋅CG⋅CE=12n2．
四边形 ABCG 是直角梯形，面积是 12AB+CG⋅BC=12m+n⋅m；
△ABE 的面积是：12BE⋅AB=12m+n⋅m
∴S△AEG=S△CGE+S梯形ABCG−S△ABE=12n2．

10. 【答案】B

11. 【答案】C
【解析】满足条件的所有图形如图所示：
共 5 个．
故选C．


12. 【答案】B

二、填空题（共4题）
13. 【答案】4

14. 【答案】5

15. 【答案】 5
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠BAE=∠D=90∘，AB=AD，
在 △ABE 和 △DAF 中，
∵AB=AD,∠BAE=∠D,AE=DF,
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90∘，
∴∠DAF+∠BEA=90∘，
∴∠AGE=∠BGF=90∘，
∵ 点 H 为 BF 的中点，
∴GH=12BF，
∵BC=8，CF=CD−DF=8−2=6，
∴BF=BC2+CF2=10，
∴GH=5．

16. 【答案】 2−2
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=2，∠ACD=∠ODA=∠ODC=45∘，∠ABC=90∘，OA=OC=12AC，
∵DE 平分 ∠ODA，
∴∠EDO=12∠ODA=22.5∘，
∴∠CDE=∠EDO+∠ODC=22.5∘+45∘=67.5∘，
∴∠CED=180∘−∠CDE−∠ACD=180∘−67.5∘−45∘=67.5∘，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE=2，
∵AB=BC=2，∠ABC=90∘，
∴AC=AB2+BC2=22，
∴OC=12AC=2，
∴OE=CE−OC=2−2．

三、解答题（共3题）
17. 【答案】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90∘，
∵∠AOF=90∘，∠AOB=90∘，
∴∠BAE+∠OBA=90∘，
又 ∵∠FBC+∠OBA=90∘，
∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等），
在 △ABE 和 △BCF 中，
∴∠BCF=∠ABE,AB=BC,∠BAE=∠FBC.
∴△ABE≌△BCFASA，
∴ BE=CF．

18. 【答案】
(1) GE=BE+GD，理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，F 是 AD 延长线上一点，
∴BC=DC，∠FDC=∠EBC=90∘，
在 △EBC 和 △FDC 中，DF=BE,∠FDC=∠EBC,BC=DC.
∴△EBC≌△FDCSAS，
∴∠DCF=∠BCE，CE=CF，
∵∠GCE=45∘，
∴∠BCE+∠DCG=90∘−45∘=45∘，
∴∠DCG+∠DCF=45∘，
∴∠ECG=∠FCG，
在 △ECG 和 △FCG 中，CG=CG,∠ECG=∠FCG,CE=CF.
∴△ECG≌△FCGSAS，
∴EG=GF，
∴GE=BE+GD．
(2) ① α=2β 时，GE=BE+GD；理由如下：
延长 AD 到 F 点，使 DF=BE，连接 CF，如图（2）所示：
∵∠B=∠D=90∘
∴∠B=∠FDC=90∘，
在 △EBC 和 △FDC 中，DF=BE,∠FDC=∠EBC,BC=DC.
∴△EBC≌△FDCSAS，
∴∠DCF=∠BCE，CE=CF，
∴∠BCE+∠DCG=∠GCF，
当 α=2β 时，∠ECG=∠FCG，
在 △ECG 和 △FCG 中，CG=CG,∠ECG=∠FCG,CE=CF.
∴△ECG≌△FCGSAS，
∴EG=GF，
∴GE=BE+GD；
②在旋转正方形 OABC 的过程中，P 值无变化；
【解析】
(2) 延长 BA 交 y 轴于 E 点，如图（3）所示：
则 ∠AOE=45∘−∠AOM，∠CON=90∘−45∘−∠AOM=45∘−∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又 ∵OA=OC，∠OAE=180∘−90∘=90∘=∠OCN．
在 △OAE 和 △OCN 中，∠AOE=∠CON,OA=OC,∠EAO=∠NCO=90∘.
∴△OAE≌△OCNASA．
∴OE=ON，AE=CN．
在 △OME 和 △OMN 中，OE=ON,∠EOM=∠NOM=45∘,OM=OM.
∴△OME≌△OMNSAS．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴ 在旋转正方形 OABC 的过程中，P 值无变化．


19. 【答案】
(1) 等腰直角三角形
(2) 如图 2，过点 E 作 EN∥AB，交 BD 于点 N，
则 ∠NEM=∠BFM．
所以 ∠END=∠ABD=∠EDN=45∘，
所以 EN=ED=BF．
在 △EMN 与 △FMB 中，
∠NME=∠BMF,∠NEM=∠BFM,EN=BF.
所以 △EMN≌△FMBAAS，
所以 EM=FM．
因为 Rt△AEF 中，AE=4，AF=8，
所以 AE2+AF2=EF=42+82=45，
所以 AM=12EF=25．
(3) 如图 3，连接 CE，CF，
设 EF 与 GH 交于 P．
由（1）得 ∠CFE=45∘，又 ∠EPQ=45∘，
所以 GH∥CF，
又因为 AF∥DC，
所以四边形 GFCH 是平行四边形，
所以 CF=GH=35，
在 Rt△CBF 中，得 BF=CF2−BC2=45−36=3，
所以 t=3．
【解析】
(1) 等腰直角三角形．理由如下：
如图 1，
在正方形 ABCD 中，DC=BC，∠D=∠ABC=90∘．
依题意得：DE=BF=t．
在 △CDE 与 △CBF 中，
DC=BC,∠D=∠CBF,DE=BF.
所以 △CDE≌△CBFSAS，
所以 CF=CE，∠DCE=∠BCF，
所以 ∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠DCE+∠BCE=∠BCD=90∘，
所以 △CEF 是等腰直角三角形．