初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定随堂练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定随堂练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版九上1.3正方形的性质与判定
（共18题）

一、选择题（共10题）
1. 如图所示正方形格中，连接 AB，AC，AD，观测 ∠1+∠2+∠3=   

A． 120∘ B． 125∘ C． 130∘ D． 135∘

2. 下列命题正确的是   
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

3. 下列说法中正确的是   
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形
D．平行四边形的对角线相等

4. 如图，ABCD 是正方形场地，点 E 在 DC 的延长线上，AE 与 BC 相交于点 F．有甲、乙、丙三名同学同时从点 A 出发，甲沿着 A−B−F−C 的路径行走至 C，乙沿着 A−F−E−C−D 的路径行走至 D，丙沿着 A−F−C−D 的路径行走至 D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是   

A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙

5. 如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足 ∠AEB=90∘，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是   

A． 48 B． 60 C． 76 D． 80

6. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P 从点 A 出发，在正方形的边上沿 A→B→C 的方向运动到点 C 停止，设点 P 的运动路程为 xcm，在下列图象中，能表示 △ADP 的面积 y（cm2）关于 xcm 的函数关系的图象是   

A． B．
C． D．

7. 如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1，l2，l3，l4 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 ℎ1，ℎ2，ℎ3．若 ℎ1=2，ℎ2=1，则正方形 ABCD 的面积为   

A． 9 B． 10 C． 13 D． 25

8. 选一选。
【9】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b。若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）

A．9 B．6 C．4 D．3

9. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE=1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边 △EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为   

A． 0.5 B． 2.5 C． 2 D． 1

10. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E，F 分别在 AD，DC 上，AE=DF=2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为   

A． 25 B． 342 C． 42 D． 853

二、填空题（共4题）
11. 正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，⋯ 按如图所示放置，点 A1，A2，A3，⋯ 和 C1，C2，C3，⋯ 分别在直线 y=x+1 和 x 轴上，则点 B2018 的纵坐标是 ．


12. 如图，四边形 ABCD 是正方形，AB=1，点 F 是对角线 AC 延长线上一点，以 BC，CF 为邻边作菱形 BEFC，连接 DE，则 DE 的长是 ．


13. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点．延长 DE 到点 F，使 DE=EF，得四边形 ADCF，当 ∠ACB= ∘ 时，四边形 ADCF 是正方形．


14. 已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在 AD，DC 上，AE=DF=1，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 ．


三、解答题（共4题）
15. 如图，正方形 ABCD 的边长为 9，E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且 ∠EDF=45∘．将 △DAE 绕点 D 逆时针旋转 90∘，得到 △DCM．

(1) 求证：EF=FM；
(2) 当 AE=3 时，求 EF 的长．

16. 如图，在正方形 ABCD 中，点 P 在线段 CB 的延长线上，连接 PA，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 90∘，得到线段 PE，连接 CE，过点 E 作 EF⊥BC 于 H，与对角线 AC 交于点 F．

(1) 请根据题意补全图形．
(2) 求证：EH=FH．

17. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AC=CD，∠BAC=90∘，点 E 为 BC 边上一点，将 AE 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 后得到线段 AF，连接 FB，FB⊥BC．且 FB 的延长线与 AE 的延长线交于点 G，点 E 是 AG 的中点．

(1) 若 BG=2，BE=1，求 FG 的长；
(2) 求证：2AB=BG+2BE．

18. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 E，F 分别在 CD，AD 上，CE=DF，BE，CF 相交于点 G．

(1) 求 ∠BGC 的度数；
(2) 若 CE=1，H 为 BF 的中点时，求 HG 的长度；
(3) 若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2:3，求 △BCG 的周长．





答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】D

2. 【答案】A
【解析】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；
B．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误，应为对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
C．对角线相等的四边形是矩形，说法错误，应为对角线相等且平分的四边形是矩形；
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，应为对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．

3. 【答案】C

4. 【答案】B
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=90∘，
甲行走的距离是 AB+BF+CF=AB+BC=2AB．
乙行走的距离是 AF+EF+EC+CD．
丙行走的距离是 AF+FC+CD．
∵∠B=∠ECF=90∘，
∴AF>AB，EF>CF，
∴AF+FC+CD>2AB，AF+FC+CD ∴ 甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙．

5. 【答案】C
【解析】 ∵∠AEB=90∘，AE=6，BE=8，
∴ 在 Rt△ABE 中，AB2=AE2+BE2=100，
∴S阴影部分=S正方形ABCD−S△ABE
=AB2−12×AE×BE
=100−12×6×8
=76.

6. 【答案】A
【解析】当 P 点由 A 运动到 B 点时，即 0≤x≤2 时，y=12×2x=x，
当 P 点由 B 运动到 C 点时，即 2 符合题意的函数关系的图象是A．

7. 【答案】C
【解析】过 A 点作 AM⊥l3 分别交 l2，l3 于点 N，M，
过 C 点作 CH⊥l2 分别交 l2，l3 于点 H，G，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，l1∥l2∥l3∥l4，
∴AB=CD，∠ABN+∠HBC=90∘，
∵CH⊥l2，
∴∠BCH+∠HBC=90∘，
∴∠BCH=∠ABN，
∵∠BCH=∠CDG，
∴∠ABN=∠CDG，
∵∠ANB=∠CGD=90∘，
在 △ABN 和 △CDG 中，
∠ABN=∠CDG,∠ANB=∠CGD,AB=CD,
∴△ABN≌△CDGAAS，
∴AN=CG，BE=CH=ℎ2+ℎ3，
即 ℎ1=ℎ3=2，BE=2+1=3，
在 Rt△ABE 中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2=22+32=13，
则正方形 ABCD 的面积 =AB2=13．


8. 【答案】D
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，
∴4×12ab+(a−b)2=25，
∴(a−b)2=25−16=9，
∴a−b=3，
故选：D。

9. 【答案】B
【解析】 ∵G 是动点，
∴ 要求 CG 最小值需知道 G 点运动轨迹．
由题意可知 F 是主动点，G 是被动点，
∴ 要由 F 轨迹推导 G 点轨迹．
F 初始点为 B 点，以 BE 为边在上方作等边三角形 BEG1，G1 为 G 点初始点，
F 终点为 A 点，以 AE 为边作等边三角形 AEG2，则 G2 为 G 的终点，
∴G1G2 为 G 点轨迹，
∴CG 最短时为 CG⊥G1G2 时即 CG3 的长度．
∵∠BEG1=∠AEG2=60∘，
∴∠BEG1+∠G1EA=∠AEG2+∠G1EA，
即 ∠BEA=∠G1EG2．
在 △ABE 和 △G2G1E 中，
BE=G1E,∠BEA=∠G1EG2,AE=G2E,
∴△ABE≌△G2G1ESAS，
∴∠G2G1E=∠ABE=90∘．
过点 E 作 EM⊥CG3 交 CG3 于点 M．
在四边形 G1EMG3 中，∠EG1G3=∠G1G3M=∠EMG3=90∘，
∴ 四边形 G1EMG3 为矩形，
∴∠G1EM=90∘，G1E=G3M=1，
∴∠MEC=30∘，
∴ 在 Rt△EMC 中，MC=12EC=32，
∴CG3=G3M+MC=52=2.5，
即 CG 最小值为 2.5．


10. 【答案】B
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠ADF=90∘，
在 △BAE 和 △ADF 中，AB=DA,∠BAE=∠ADF,AE=DF,
∴△BAE≌△ADFSAS，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90∘，
∴∠DAF+∠BEA=90∘，
∴∠AGE=90∘，
∴∠BGF=90∘，
∵ 点 H 为 BF 的中点，
∴GH=12BF，
又 ∵BC=CD=5，DF=2，∠C=90∘，
∴CF=3，
∴BF=BC2+CF2=52+32=34，
∴GH=342．

二、填空题（共4题）
11. 【答案】 22017
【解析】当 x=0 时，y=x+1=1，
∴ 点 A1 的坐标为 0,1．
∵A1B1C1O 为正方形，
∴ 点 C1 的坐标为 1,0，点 B1 的坐标为 1,1．
同理可得：B23,2，B37,4，B415,8，
∴ 点 Bn 的坐标为 2n−1,2n−1，
∴ 点 B2018 的坐标为 22018−1,22017．

12. 【答案】 3

【解析】延长 CD 交 FE 于点 G，
∴CG⊥FE，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，四边形 CBEF 是菱形，
∴AD∥BC∥EF，
∴∠F=∠DAC=12×90∘=45∘，
∴FG=CG=sin45∘⋅1=22，
∴DG=22+1，EG=1−22，
在 Rt△DGE 中，DE2=DG2+EG2=3，DE=3．


13. 【答案】 90
【解析】 ∵E 是 AC 中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=12BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴ 四边形 ADCF 是矩形，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
∴DE∥BC，
∵∠ACB=90∘，
∴∠AED=90∘，
∴ 矩形 ADCF 是正方形．
故答案为：∠ACB=90∘．

14. 【答案】 52
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠BAE=∠D=90∘，AB=AD，
在 △ABE 和 △DAF 中，
∵AB=AD,∠BAE=∠D,AE=DF,
∴△ABE≌△DAFSAS，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90∘，
∴∠DAF+∠BEA=90∘，
∴∠AGE=∠BGF=90∘，
∵ 点 H 为 BF 的中点，
∴GH=12BF，
∵BC=4，CF=CD−DF=4−1=3，
∴BF=BC2+CF2=5，
∴GH=12BF=52．

三、解答题（共4题）
15. 【答案】
(1) ∵△DAE 逆时针旋转 90∘ 得到 △DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180∘，
∴F，C，M 三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90∘，
∴∠EDF+∠FDM=90∘，
∵∠EDF=45∘，
∴∠FDM=∠EDF=45∘，
在 △DEF 和 △DMF 中，DE=DM,∠EDF=∠MDF,DF=DF,
∴△DEF≌△DMFSAS，
∴EF=MF．
(2) ∵AE=3，
∴CM=AE=3，BE=9−3=6．
设 CF=x，则 BF=9−x，EF=FM=3+x．
在 Rt△EBF 中．有 62+9−x2=3+x2 解得：x=4.5，
∴EF=3+x=7.5．


16. 【答案】
(1) 如图．

(2) ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90∘，∠ACB=45∘，
∴△CFH 为等腰直角三角形，
∴FH=CH，
∵ 线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 90∘，得到线段 PE，
∴PA=PE，∠APE=90∘，
∵∠APB+∠HPE=90∘，∠APB+∠PAB=90∘，
∴∠PAB=∠HPE，
在 △APB 和 △PEH 中，
∠ABP=∠PHE,∠PAB=∠HPE,PA=PE,
∴△APB≌△PEHAAS，
∴PB=EH，PH=AB，
∴PH=BC，
∴PB=CH，
∴CH=HE，
∴EH=FH．


17. 【答案】
(1) ∵BG=2，BE=1，FB⊥BC，
∴EG=BE2+BG2=1+4=5，
∵ 点 E 是 AG 的中点，
∴AE=GE=12AG=5，
∴AG=25，
由旋转的性质得：∠GAF=90∘，AF=AE=5，
∴GF=AF2+AG2=5+20=5．
(2) 作延长 DA 交 BF 于 M，作 AN⊥BC 于 N，如图所示：
则 ∠AMB=∠ANB=∠ANC=90∘，
∵FB⊥BC，
∴ 四边形 AMBN 是矩形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=AC，
∵∠BAC=90∘，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB=AC，BC=2AB，
∵AN⊥BC，
∴AN=12BC=BN=CN，
∴ 四边形 AMBN 是正方形，
∴AM=BM=BN=AN=CN，
∵ 点 E 是 AG 的中点，MD∥BC，
∴BE 是 △AMG 的中位线，
∴BM=BG，AM=2BE，
∴BN=BM=BG=AM=2BE，
∴BE=NE，
∵BC=CN+EN+BE=BG+2BE，
∴2AB=BG+2BE．

18. 【答案】
(1) 90∘

(2) 132

(3) △BGC 的周长为 15+3 .