苏科版八年级上册3.3 勾股定理的简单应用获奖课件ppt

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3 . 3勾股定理的简单应用
从远处看斜拉桥，可以发现有许多直角三角形.
如图，已知桥面以上的索塔 AB 的高，怎样计算拉索 AC、AD、AE、AF、AG 的长?
分别量出 BC，CD(或 BD)，DE(或 BE)，EF(或BF)，BG 的长，由于已知高 AB 的长，因此分别在Rt△ABC，Rt△ABD，Rt△ABE，Rt△ABF，Rt△ABG中，利用勾股定理即可求出AC，AD，AE，AF，AG的长.
常见的应用主要有以下几个类型：
(1) 已知直角三角形的两边求第三边；(2) 已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系；(3) 证明含有平方关系的几何问题；(4) 对于一些非直角三角形的实际问题，首先要建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1. 从实际问题中抽象出几何图形；2. 确定要求的线段所在的直角三角形；3. 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；4. 求得结果.
例 1 《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高 1丈(1 丈＝10尺)，中部有一处折断，竹档触地面处离竹根 3 尺，试问折断处离地面多高?
解：如图，竹子在点 A 处折断，竹梢点 B 着地，△ABC 是直角三角形. 设AC＝x尺，则AB＝(10－x)尺由勾股定理，得 x2＋32＝ (10－x)2. 解得 x＝4.55. ∴折断处离地面 4.55 尺.
一架长 5 m 的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯足距墙脚 3 m，若梯子的顶端下滑1 m，则梯足将滑动 ( ) A. 0 m B. 1 m C. 2 m D. 3 m
例2 如图，AD 是△ABC 的中线，AD＝24，AB＝26，BC ＝ 20. 求 AC .
如图， 在△ABC 中，D 是AB 边的中点，DE⊥AB 于点D， 交AC 于点E， 且 AE2 －CE2＝BC2. (1) 试说明：∠C＝90°； (2) 若DE＝6，BD＝8，求CE 的长．
解：如图所示，连接BE， ∵ D 是AB 边的中点，DE⊥AB 于点D， ∴ DE 垂直平分AB， ∴ AE＝BE．又∵ AE2 － CE2＝BC2， ∴ BE2 － CE2＝BC2，即BE2＝BC2＋CE2． ∴△ BCE 是直角三角形，且∠C＝90°；
(1) 试说明：∠C＝90°；
解：在Rt△BDE 中，∠BDE＝90°， DE＝6，BD＝8，由勾股定理，得62＋82＝BE2．则BE＝10， ∴ AE=10．设 CE＝x，则AC＝10＋x，而AB＝2BD＝16．
(2) 若DE＝6，BD＝8，求CE 的长．
在Rt△ABC 中，BC2＝AB2 － AC2 ＝162 －(10＋x)2，在Rt△BCE 中，BC2＝EB2－EC2 ＝102－x2．∴ 162 －(10＋x)2＝102 － x2．解得x＝2.8， ∴ CE＝2.8．
1. 计算图中四边形 ABCD 的面积.
解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD2＝AD2＋AB2 ＝122＋162＝400， ∴BD＝20.
∵BD2＋CD2＝202＋152＝625， BC2＝252＝625，∴BD2＋CD2＝BC2，∴△BCD 是直角三角形， 且∠BDC 为直角.
2. 一个三角形三边长的比为3∶4∶5，它的周长是60cm. 求这个三角形的面积.
解：设三角形的三边长分别为 3x cm，4x cm，5x cm. 由题意得 3x＋4x＋5x＝60， 解得 x＝5. ∴三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25 cm.
1. 如图，起重机吊运物体，BC＝7.5m，AC＝19.5m. 求AB的长.
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB2＝AC2－BC2 ＝19.52－7.52 ＝324，∴AB＝18 m.∴AB的长为18 m.
2. 如图，育苗棚的顶部是矩形，求育苗棚顶部塑料薄膜 的面积.
解：设育苗棚顶部矩形的宽为x m， 由勾股定理， 得x2＝22＋1.52＝6.25， 解得 x＝2.5. 2.5×20＝50(m2). ∴育苗棚顶部塑料薄膜的面积为50 m2.
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9， AB的垂直平分线分别交AB、AC 于点D、E. 求 AE、EC 的长.
解：如图所示，连接BE.
设 AE＝x，则 EC＝12－x.∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE＝x.
4. 如图，以 Rt△ABC 的三边为直径的 3个半圆的面积之 间有什么关系?请说明理由.
解：分别以两条直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积.
勾股定理是数学史上非常重要的一个定理。 2 000 多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证明方法. 下面是欧几里得编纂的《原本》中证明勾股定理的方法：
如图，四边形 ABFE、AJKC、BCIH 分别是以 Rt△ABC 的三边为一边的正方形.
过点C作AB 的垂线，交AB 于点D，交FE 于点G，连接 HA、CF.
∴ △ABH 的面积＝△FBC 的面积. ∴ 2△ABH 的面积＝2△FBC 的面积，即 正方形 BCIH 的面积 ＝矩形 BFGD 的面积.同理，正方形 AJKC 的面积 ＝矩形 DGEA 的面积.
∴ 正方形 ABFE 的面积＝ 矩形 BFGD 的面积＋矩形 DGEA 的面积＝ 正方形 BCIH 的面积＋正方形 AJKC 的面积，即 c2＝a2＋b2.
直角三角形的三边的长，有的都是整数(即三边的长是“勾股数”有的不都是整数，例如：
勾股数有多少?勾股数有规律吗?
活动1 试构造 5 组勾股数. 构造勾股数，就是要寻找 3 个正整数，使它们满足“两个数的平方和(或差)等于第三个数的平方”，即满足以下形式：( )2＋( )2＝( )2； ①或( )2－( )2＝( )2； ②
要满足上述①、②的形式，不妨从乘法公式入手。我们已经知道：(x＋y)2－ (x－y)2＝4xy. ③ 如果等式③的右边也能写成“( )2”的形式，那么它就符合②的形式。
因此，只要设 x＝m2，y＝n2，③式就可以化成：(m2＋n2)2－(m2－n2)2＝(2mn)2. 于是，当m、n为任意正整数，且m＞n时，“m2＋n2、m2－n2 和 2mn”就是勾股数。 根据勾股数的这种表达式，就可以找出无数组勾股数.
活动 2 在下表中填写勾股数：
活动 3 一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用 2n2＋2n＋1(n 为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，你能找出另外两个数的表达式吗?