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初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.3 勾股定理的简单应用教学设计
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这是一份初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.3 勾股定理的简单应用教学设计，共12页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
1．能利用勾股定理和勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题；
2．在运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的过程中，感受和体会数学的“转化”思想；
3．进一步发展学生有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．
二．教学重点、难点：
教学重、难点：经历运用勾股定理及其逆定理的数学化过程，体会数学的应用价值．
三．教学方法与教学手段
13m
4m
12m
3m
观察–思考–讨论–归纳，启发式教学，运用多媒体教学手段．
四．教学过程
一．创设情境：
同学们，熊猫盼盼在自己的竹林里幸福的生活。为改善居住环境，它想沿河边开垦出一块四边形的草坪，请你帮它求一下草坪的面积吗？问：如何求不规则图形的面积？(口答)
【设计意图】利用情境问题的解决复习勾股定理及逆定理，激发学生学习兴趣，让学生感悟把不规则图形的面积转化成规则图形面积解决的方法，初步体会“转化”思想的意味.
二．实践探究：
应用1：
1. 已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,x,则= ，斜边上的中线长是 .
2. 三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC.（请试着画图分析作答）
【设计意图】针对学生解直角三角形已知两边求第三边的问题，极易忽视第三边的定性问题导致漏解情况，及涉及画图类型应全面考虑已知两边在高的同侧和异侧两种情况，极易忽视异侧情形导致漏解，通过练习体会数学分类思想的重要.
归纳：分类思想：1.直角三角形中，已知两边长但不知是直角边或斜边时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。
A
B
应用2：如图，盼盼发现一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，求蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？你能帮盼盼出主意吗？
【设计意图】解决“表面最短路程”的实际问题需要转化成数学问题，利用展开方式把立体图形转化成平面图形，构造直角三角形，即成为已知两边求第三边的情形，利用线段公理和勾股定理解决，帮助学生进一步感悟转化思想的数学价值.
归纳：转化思想：1.求几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。
A
B
30
40
50
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
练习：如图，在底面边长为30cm、50 cm和高为40 cm的有盖木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？（请同学尝试画图分析）
【设计意图】尝试练习的设计让学生试着运用转化展开的方法处理立体图形的表面路径问题，但此处又略有梯度，需学生感悟认识到从A到B的展开方式应分类有三种，既能在展开中体会“转化思想”的魅力又能再次捕捉“分类思想”的神韵，达到数学训练和提高学生思维能力和思维品质的目的.
其实我们的古人就很聪明，在距今两千多年前的《九章算术》中记载着这样一个“折竹”问题：
C
B
A
应用3：《九章算术》中有一道“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？
题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
【设计意图】利用古人在“折竹“问题中对勾股定理的研究，激发学生的热爱祖国的情怀，同时也拓展了利用勾股定理解决问题的新途径，让学生体会“方程思想”在勾股定理应用中的作用，感受勾股定理作为数学工具诠释直角三角形三边关系的作用.
练习：小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少？
【设计意图】学生通过训练体会“方程思想”，学会如何在简单背景的实际问题中构建直角三角形寻找量的关系，列方程解决实际问题.
A
C
E
D
B
归纳：方程思想：直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程.
变式1——折叠三角形
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
问：若沿DE折叠纸片将A与B两点重合，求CD的长.（思考如何列方程？）
【设计意图】设置变式训练，在折叠背景问题中，让学生学会寻找“有研究价值”的直角三角形，利用方程思想结合勾股定理解决问题，学会如何有效运用已知元素，将条件和未知元素置于同一研究对象中的思考策略.
另一问的变式设计意在提醒学生通过自己画图关注折叠方式的不同，导致产生不同的结果，从而引发学生更重视审题,发现关键词的重要性.
F
E
D
C
B
A
变式2—折叠四边形
已知：如图，折叠长方形ABCD，使点D落在边BC的点F处，
若AB=8cm，BC=10cm，求①CF ②CE的长.
【设计意图】把折叠背景从三角形变成四边形，让学生在变化中发现
和体会不变的思维途径，进一步强化“转化”和“方程”思想的在勾
股定理应用中的价值.
思维拓展：如图，，在长方形纸片ABCD中，AB=8，BC=10. E、F分别为AB、BC边上两个动点，以EF为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上的点P处，当E、F运动时，点P也在一定范围内移动，则这个移动范围的最大距离为 ．
【设计意图】让学生从折叠的动手操作中感受数学中运动转化思想的魅力.
三、课堂小结：
1.利用勾股定理的常用思路：
若已知直角三角形两边，求第三边，一般直接使用公式变形；
若已知直角三角形一边，一般设未知数，列方程，利用方程思想解决问题．
2.勾股定理中体现的数学思想：分类思想、转化思想、方程思想
四、作业布置：《课课练》P60-62．
五、板书设计：
课题：勾股定理的简单应用
实际问题 转化 数学问题
利用勾股定理 构建
方程思想
分类思想
直角三角形
1．能利用勾股定理和勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题；
2．在运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的过程中，感受和体会数学的“转化”思想；
3．进一步发展学生有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．
二．教学重点、难点：
教学重、难点：经历运用勾股定理及其逆定理的数学化过程，体会数学的应用价值．
三．教学方法与教学手段
13m
4m
12m
3m
观察–思考–讨论–归纳，启发式教学，运用多媒体教学手段．
四．教学过程
一．创设情境：
同学们，熊猫盼盼在自己的竹林里幸福的生活。为改善居住环境，它想沿河边开垦出一块四边形的草坪，请你帮它求一下草坪的面积吗？问：如何求不规则图形的面积？(口答)
【设计意图】利用情境问题的解决复习勾股定理及逆定理，激发学生学习兴趣，让学生感悟把不规则图形的面积转化成规则图形面积解决的方法，初步体会“转化”思想的意味.
二．实践探究：
应用1：
1. 已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,x,则= ，斜边上的中线长是 .
2. 三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC.（请试着画图分析作答）
【设计意图】针对学生解直角三角形已知两边求第三边的问题，极易忽视第三边的定性问题导致漏解情况，及涉及画图类型应全面考虑已知两边在高的同侧和异侧两种情况，极易忽视异侧情形导致漏解，通过练习体会数学分类思想的重要.
归纳：分类思想：1.直角三角形中，已知两边长但不知是直角边或斜边时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。
A
B
应用2：如图，盼盼发现一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，求蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？你能帮盼盼出主意吗？
【设计意图】解决“表面最短路程”的实际问题需要转化成数学问题，利用展开方式把立体图形转化成平面图形，构造直角三角形，即成为已知两边求第三边的情形，利用线段公理和勾股定理解决，帮助学生进一步感悟转化思想的数学价值.
归纳：转化思想：1.求几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。
A
B
30
40
50
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
练习：如图，在底面边长为30cm、50 cm和高为40 cm的有盖木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？（请同学尝试画图分析）
【设计意图】尝试练习的设计让学生试着运用转化展开的方法处理立体图形的表面路径问题，但此处又略有梯度，需学生感悟认识到从A到B的展开方式应分类有三种，既能在展开中体会“转化思想”的魅力又能再次捕捉“分类思想”的神韵，达到数学训练和提高学生思维能力和思维品质的目的.
其实我们的古人就很聪明，在距今两千多年前的《九章算术》中记载着这样一个“折竹”问题：
C
B
A
应用3：《九章算术》中有一道“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？
题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
【设计意图】利用古人在“折竹“问题中对勾股定理的研究，激发学生的热爱祖国的情怀，同时也拓展了利用勾股定理解决问题的新途径，让学生体会“方程思想”在勾股定理应用中的作用，感受勾股定理作为数学工具诠释直角三角形三边关系的作用.
练习：小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少？
【设计意图】学生通过训练体会“方程思想”，学会如何在简单背景的实际问题中构建直角三角形寻找量的关系，列方程解决实际问题.
A
C
E
D
B
归纳：方程思想：直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程.
变式1——折叠三角形
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
问：若沿DE折叠纸片将A与B两点重合，求CD的长.（思考如何列方程？）
【设计意图】设置变式训练，在折叠背景问题中，让学生学会寻找“有研究价值”的直角三角形，利用方程思想结合勾股定理解决问题，学会如何有效运用已知元素，将条件和未知元素置于同一研究对象中的思考策略.
另一问的变式设计意在提醒学生通过自己画图关注折叠方式的不同，导致产生不同的结果，从而引发学生更重视审题,发现关键词的重要性.
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E
D
C
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A
变式2—折叠四边形
已知：如图，折叠长方形ABCD，使点D落在边BC的点F处，
若AB=8cm，BC=10cm，求①CF ②CE的长.
【设计意图】把折叠背景从三角形变成四边形，让学生在变化中发现
和体会不变的思维途径，进一步强化“转化”和“方程”思想的在勾
股定理应用中的价值.
思维拓展：如图，，在长方形纸片ABCD中，AB=8，BC=10. E、F分别为AB、BC边上两个动点，以EF为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上的点P处，当E、F运动时，点P也在一定范围内移动，则这个移动范围的最大距离为 ．
【设计意图】让学生从折叠的动手操作中感受数学中运动转化思想的魅力.
三、课堂小结：
1.利用勾股定理的常用思路：
若已知直角三角形两边，求第三边，一般直接使用公式变形；
若已知直角三角形一边，一般设未知数，列方程，利用方程思想解决问题．
2.勾股定理中体现的数学思想：分类思想、转化思想、方程思想
四、作业布置：《课课练》P60-62．
五、板书设计：
课题：勾股定理的简单应用
实际问题 转化 数学问题
利用勾股定理 构建
方程思想
分类思想
直角三角形
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