数学必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时复习练习题

这是一份数学必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时复习练习题，共12页。试卷主要包含了解得φ=2kπ+π3等内容，欢迎下载使用。

1.[探究点一·2023河南郑州金水期末]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,为了得到y=sin 2x的图象,可将y=f(x)图象上所有的点( )
A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度
C.向左平移π12个单位长度D.向右平移π12个单位长度
2.[探究点二]函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则其解析式为( )
A.y=5sin43x+π3B.y=5sin23x+π3
C.y=5sin23x+π6D.y=5sin23x-π3
3.[探究点三]已知ω>0,函数f(x)=csωx+π3的图象的一条对称轴为直线x=π3,一个对称中心为π12,0,则ω有( )
A.最小值2B.最大值2
C.最小值1D.最大值1
4.[探究点一]将函数y=sin(2x+φ)图象上所有的点向左平移π8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的取值为( )
A.3π4B.π4
C.0D.-π4
5.[探究点二]已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称,则φ的值为 .
6.[探究点二]若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则函数的解析式f(x)= .
7.[探究点三]已知函数y=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2在一个周期内,当x=π12时有最大值2,当x=7π12时有最小值-2,则ω= ,φ= .
B级 关键能力提升练
8.如果函数y=sin 2x+acs 2x的图象关于直线x=-π8对称,那么实数a的值为( )
A.2B.-2
C.1D.-1
9.[2023陕西延安模拟]函数f(x)=sin ωx(ω>0)图象上所有的点向右平移π12个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间π6,π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则实数ω的值为( )
A.10B.18
C.2D.8
10.将函数f(x)=cs2x-π4图象上所有的点向左平移π8个单位长度后得到函数g(x)的图象,则关于函数g(x)的正确结论是( )
A.奇函数,在0,π4上单调递减
B.最大值为1,图象关于直线x=π2对称
C.最小正周期为π,图象关于点3π8,0对称
D.偶函数,在-3π8,π8上单调递增
11.(多选题)将函数y=sin(x+φ)图象F上所有的点向左平移π6个单位长度后得到图象F',若F'的一个对称中心为π4,0,则φ的取值不可能是( )
A.π12B.π6
C.5π6D.7π12
12.(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于直线x=π2对称
B.函数f(x)的图象关于点-π12,0对称
C.函数f(x)在区间-π3,π6上单调递增
D.直线y=1与函数y=f(x)-π12≤x≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为8π3
13.将函数f(x)=2sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半,再向左平移π12个单位长度得到g(x)的图象,则g(x)= ;若函数g(x)在区间0,a3,2a,7π6上单调递增,则实数a的取值范围是 .
14.若函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2,且该函数的图象关于点(x0,0)中心对称,x0∈0,π2,则x0= .
15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的最小正周期为π,且图象上的一个最低点为M2π3,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈0,π12时,求f(x)的最大值和最小值.
16.若函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在区间π2,π上单调递减”,试求实数ω的取值范围.
C级 学科素养创新练
17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.
答案：
1.C 解析 由图可知,T4=7π12-π3=π4,解得T=π,又ω>0,则ω=2ππ=2.
∵函数f(x)的图象过点π3,1,
∴2×π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=-π6+2kπ,k∈Z.
∵|φ|<π2,∴φ=-π6,∴f(x)=sin2x-π6.
∵f(x)=sin 2x-π12,
∴为了得到y=sin 2x的图象,
可将y=f(x)图象上所有的点向左平移π12个单位长度.故选C.
2.B 解析 由题图知,A=5,由T2=5π2-π=3π2,知T=3π,
又ω>0,∴ω=2πT=23,则y=5sin23x+φ.
由题图知最高点坐标为π4,5,
将其代入y=5sin23x+φ,得5sinπ6+φ=5,
∴π6+φ=2kπ+π2(k∈Z).解得φ=2kπ+π3(k∈Z).
∵|φ|<π,∴φ=π3,∴y=5sin23x+π3.
3.A 解析 由题意知π3-π12≥T4,故T=2πω≤π.
∵ω>0,∴ω≥2.
4.B 解析 将函数y=sin(2x+φ)图象上所有的点向左平移π8个单位长度后,
得到y=sin2x+φ+π4的图象.
因为y=sin2x+φ+π4是偶函数,所以φ+π4=π2+kπ,k∈Z,
即φ=π4+kπ,k∈Z.当k=0时,φ=π4.
5.-π6 解析 由题意可得sin2π3+φ=±1,解得2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),
即φ=-π6+kπ(k∈Z).
因为-π2<φ<π2,所以k=0,φ=-π6.
6.2sin2x+π3 解析 根据图象可得A=2.
又T=2π3--π6=2π|ω|,ω>0,解得ω=2.
又fπ3=2sin2×π3+φ=0,则2π3+φ=π+2kπ,k∈Z,即φ=2kπ+π3,k∈Z,
因为-π<φ<π,可得φ=π3,故f(x)=2sin2x+π3.
7.2 π3 解析 由题意知,周期T=2×7π12-π12=π,
又ω>0,所以ω=2πT=2.
又因为当x=π12时有最大值2,
所以fπ12=2sin2×π12+φ=2sinπ6+φ=2,
所以π6+φ=π2+2kπ,k∈Z.
又|φ|≤π2,所以φ=π3.
8.D 解析 根据对称轴的定义,
因为函数y=f(x)=sin 2x+acs 2x的图象以直线x=-π8为对称轴,
那么到x=-π8距离相等的x值对应的函数值应相等,
所以fx-π8=f-x-π8对任意x∈R成立.
令x=π8,得fπ8-π8=f(0)=sin 0+acs 0=a,
f-π8-π8=f-π4=sin-π2+acs-π2=-1,所以a=-1.
经检验,当a=-1时,满足题意.
9.C 解析 函数f(x)=sin ωx(ω>0)图象上所有的点向右平移π12个单位长度得到函数y=g(x)=sinωx-π12的图象,即g(x)=sinωx-ωπ12.
由于函数g(x)在区间π6,π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,
所以当x=π3时,函数g(x)取得最大值,
即ωπ3-ωπ12=π2+2kπ,k∈Z,解得ω=2+8k,k∈Z.
由函数的单调性可知T2≥π3-π6,所以2π|ω|≥π3,
又ω>0,所以0<ω≤6,故k=0,ω=2.故选C.
10.B 解析 将函数f(x)=cs2x-π4图象上所有的点向左平移π8个单位长度后得到函数g(x)=cs2x+π4-π4=cs 2x的图象,则函数g(x)为偶函数,故A错误;
g(x)的最大值为1,当x=π2时,g(x)=cs π=-1,为最小值,
故g(x)的图象关于直线x=π2对称,故B正确;
g(x)的最小正周期为2π2=π,当x=3π8时,g(x)=cs 3π4=-22,故C错误;
当x∈-3π8,π8时,2x∈-3π4,π4,g(x)的图象先增后减,故D错误.故选B.
11.ABC 解析 图象F'对应的函数为y=sinx+π6+φ,
因为F'的一个对称中心为π4,0,所以π4+π6+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-5π12,k∈Z.
令k=1,得φ=7π12,φ的取值不可能是π12,π6,5π6.
12.BCD 解析 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的图象可得,
A=2,T4=2π3-5π12=π4,
因此T=π,所以ω=2ππ=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).
因为函数图象过点2π3,-2,所以4π3+φ=3π2+2kπ,k∈Z,
又0<|φ|<π,所以φ=π6,所以f(x)=2sin2x+π6.
当x=π2时,fπ2=-1≠±2,故A错误;
当x=-π12时,f-π12=0,故B正确;
当x∈-π3,π6时,2x+π6∈-π2,π2,
所以f(x)=2sin2x+π6在-π3,π6上单调递增,故C正确;
当-π12≤x≤23π12时,直线y=1与函数y=f(x)-π12≤x≤23π12的图象有4个交点,设这4个交点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,
则x1+x2+x3+x4=π6×2+7π6×2=8π3,故D正确.
13.2sin2x+π6 π3,π2 解析 将函数f(x)=2sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半,
可得y=2sin 2x的图象;
再向左平移π12个单位长度,可得g(x)=2sin2x+π6的图象.
令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z),得-π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z).
令k=0,得g(x)在-π3,π6上单调递增.
又g(x)在0,a3上单调递增,所以0,a3⊆-π3,π6,即0令k=1,得g(x)在2π3,7π6上单调递增.
又g(x)在2a,7π6上单调递增,
所以2a,7π6⊆2π3,7π6,即2π3≤2a<7π6,得π3≤a<7π12.
综上,π3≤a≤π2.
14.5π12 解析 由f(x)=sinωx+π6(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为T2=π2,
知T=π,ω=2,又图象关于点(x0,0)中心对称,得2x0+π6=kπ(k∈Z),
而x0∈0,π2,则x0=5π12.
15.解 (1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M2π3,-2,得A=2.
由最小正周期T=π,ω>0,得ω=2πT=2ππ=2.
由点M2π3,-2在图象上,得2sin4π3+φ=-2,
即sin4π3+φ=-1,所以4π3+φ=2kπ-π2(k∈Z),
故φ=2kπ-11π6(k∈Z),又φ∈0,π2,所以k=1,φ=π6.
所以函数的解析式为f(x)=2sin2x+π6.
(2)因为x∈0,π12,所以2x+π6∈π6,π3,
所以当2x+π6=π6,即x=0时,函数f(x)取得最小值1;
当2x+π6=π3,即x=π12时,函数f(x)取得最大值3.
16.解 依题意T2≥π-π2=π2,即T≥π,
又T=2πω,所以2πω≥π,ω>0,解得0<ω≤2.
又x∈π2,π,所以ωx+π6∈π2ω+π6,πω+π6,
所以π6<π2ω+π6≤7π6,π6<πω+π6≤13π6,
因为函数f(x)在π2,π上单调递减,
所以π2ω+π6≥π2,πω+π6≤3π2,解得23≤ω≤43,即ω∈23,43.
17.解 (1)由题图,知A=2,由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin φ=12.
又|φ|<π2,所以φ=π6.
设函数f(x)的最小正周期为T,又3T4<11π120,T=2πω,所以1811<ω<2411,
又f(x)的图象过点11π12,0,所以11π12ω+π6=2kπ,k∈Z,所以ω=2.
因此所求函数的解析式为f(x)=2sin2x+π6.
(2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示.
因为f(x)的最大值为2,令lg x=2,得x=100,
令11π12+kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z).
而11π12+31π>100,且11π12+30π+π2<100,
所以在区间(0,100]内有31个形如11π12+kπ,17π12+kπ(k∈Z,0≤k≤30)的区间.
在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,
故这两个函数的图象在11π12,100上有2×31=62(个)交点.
另外,两函数的图象在0,11π12内还有一个交点,
所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解.