2023年山西省临汾市乡宁县中考二模数学试题（含答案）

2022~2023学年山西九年级中考百校联盟考

数学

注意事项：

1.满分120分，答题时间为120分钟．

2.请将各题答案填写在答题卡上．

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.的相反数是（    ）

A.9    B.-9    C.    D.

2.下列感冒胶囊的标识图中，属于中心对称图形的是（    ）

A.    B.    C.    D.

3.新一代人工智能是推动科技跨越发展，产业优化升级，生产力整体提升的驱动力量．当前，我国人工智能领域呈现出技术创新和产业化应用双轮驱动，双向促进的发展特征，根据中国信通院发布的最新报告，2022年我国人工智能核心产业规模达到5080亿元，同比增长18%．其中数据5080亿用科学记数法表示为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若，则的度数为（    ）

A.92°    B.90°    C.88°    D.86°

5.三张形状、大小、质地都相同的正方形卡片，正面分别印有“太谷饼”、“老陈醋”、“石子饼”三个图案，将它们背面朝上，随机抽取一张，记下卡片上的名称后放回，再随机抽取一张，则两次抽到的卡片中至少有一张写有“太谷饼”的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.某校数学社团举行了一次趣味数学比赛，其中七位学生的成绩分别为92，89，96，94，98，96，95，这组数据的众数和中位数分别是（    ）

A.95，95    B.96，96    C.95，96    D.96，95

7.在解答“如图，二次函数的图象与直线相交于两点，结合图形求不等式的解集”的问题时，用到的数学思想是（    ）

A.分类讨论思想    B.整体思想

C.数形结合思想    D.公理化思想

8.如图，在矩形中，是延长线上一点，连接交于点是上一点，连接，若，则与的大小关系是（    ）

A.    B.

C.    D.

9.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接与轴交于点，且轴，是正半轴上一点，连接，，则的面积为（    ）

A.3    B.    C.    D.

10.如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.分解因式：__________．

12.在数学社团课探索数字规律的游戏中，晓晓写出这样一组数：，按此规律，第个数是__________．

13.如图所示的是不倒翁的主视图，分别与不倒翁底部所在的相切于点，若，则的度数为__________．

14.如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：

则该运动员踢出的足球在第__________落地．

15.在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为__________．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

（1）计算：．

（2）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”．

规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一个同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．

请根据下面的接力游戏解答问题：

接力游戏

老师：化简：．

甲同学：原式

乙同学：

丙同学：

丁同学：

任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是依据__________进行变形的．

A.等式的基本性质  B.不等式的基本性质  C.分式的基本性质  D.乘法分配律

②在“接力游戏”中，出现错误的是__________同学，错误的原因是__________．

任务二：在“接力游戏”中，该分式化简的正确结果是__________．

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对化简分式时还需要注意的事项给同学们提一条建议．

17.（本题7分）如图，在正方形中，为边的中点，交于点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．

18.（本题6分）太原市某中学为了解该校1200名学生在校午餐所需的时间，随机抽查了50名学生在校吃午餐所花的时间，并绘制成如图所示的频数直方图（其中组：；组：；组：；组：；组：（分钟）为午餐时间）．根据直方图提供的信息解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图．

（2）估计该校1200名学生午餐所花时间在组的人数．

（3）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择多少分钟为宜？请说明理由．

19.（本题8分）广胜寺位于洪洞县霍泉之滨，始建于唐，所谓“广胜”，就是“广大于天，名胜于世”的意思．广胜寺分上下两寺和水神庙3处．广胜寺上寺的飞虹塔，作为第一批全国重点文物保护单位广胜寺建筑群的重要组成部分，位居广胜寺“三绝”之首，在众多琉璃宝塔中它的高度仅次于开封铁塔，但以其塔形壮观，内外装饰精美和保存的完整程度，堪称中国之最，某校数学兴趣小组在学习了解“直角三角形”之后，开展了测量飞虹塔（AB）高度的实践活动，测量数据如表：

任务：（1）请根据测量数据，求飞虹塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，）

（2）在实际测量的过程中，有哪些措施可以减少测量数据产生的误差？（写出一条即可）

20.（本题9分）太原市某中学为了改进全校师生的饮水质量，需要安装A，B两款净水器，已知A款净水器比B款净水器贵1000元，用12.6万元购买A款净水器的数量是用相同金额购买B款净水器数量的．

（1）购买A，B两款净水器每台各为多少元？

（2）若该中学需要购买A，B两款净水器共30台，且购买的总费用不超过19.8万元，则最多可购买A款净水器多少台？

21.（本题9分）阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务．

规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．

如图，在中，所对的边分别为，若，则．

下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：

证法1：如图1，作的平分线．

设，则．

证法2：如图2，延长到点，使得，连接，

……

任务：

（1）上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）．

（2）请补全证法2剩余的部分．

22.（本题13分）综合与实践

问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．

在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接，分别将和沿翻折，的对应点分别为，且三点共线．

观察发现：

（1）如图1，若为边的中点，，点与点重合，则__________，__________．

问题探究：

（2）如图2，若，求的长．

拓展延伸：

（3），若为的三等分点，请直接写出的长．

23.（本题13分）综合与探究

如图，抛物线与轴交于两点，对称轴为直线，与轴交于点，连接，直线的表达式为．

（1）求抛物线的表达式．

（2）已知点，在线段上有一动点，连接并延长，交抛物线于点，使得，求点的坐标．

（3）在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2022~2023学年山西九年级中考百校联盟考

数学参考答案

1.A    2.D    3.D    4.C    5.A    6.D    7.C    8.B    9.C

9.B  提示：如图，连接．

．

是直径，，

．

，

．

11.    12.    13.    14.

15.  提示：易证．

．

设，则，

．

16.解：（1）原式．

（2）任务一：①C.

②；分式的分子、分母互为相反数时，商为-1.

任务二：-1.

任务三：（答案不唯一）例如：分式化简时，若分子分母能因式分解，一定要先因式分解，再进行化简；结果必须化为最简分式；分式化简过程中要特别注意常见的符号变形等等．

17.解：．

证明：四边形是正方形，

，

．

，

．

，

（ASA），．

为的中点，

．

18.解：（1）组的人数为，

补全频数直方图如图所示．

（2）（人），

估计该校1200名学生午餐所花时间在组的人数为288.

（3）选择20分钟．理由：有46人能按时完成用餐，占比，可以鼓励余下的同学适当加快用餐速度或采用合理照顾如优先用餐等方式，以满足学生午餐用时需求，又提高食堂的运行效率．（本题答案不唯一，只要合理即可）

19.解：（1）由题意，得，

是等腰直角三角形，

．

设米，

则米，米．

在Rt中，，

，

解得．

答：飞虹塔的高度约为47米．

（2）答案不唯一．例如：在实际测量的过程中，多次测量求平均值；改用可调高度的测角仪等等．

20.解：（1）设购买款净水器每台为元，

则购买款净水器每台为元．

根据题意，得，

解得．

经检验，是原方程的解，且符合题意，

．

答：购买两款净水器每台分别为7000元，6000元．

（2）设购买款净水器台，

则购买款净水器台．

根据题意，得，解得．

答：最多可购买款净水器18台．

21.解：（1）相似．

（2），

．

，

．

，

，

，

，

．

22，解：（1）；．

（2）如图1，延长交于点，

由折叠的性质可知，

．

，

和均为等腰直角三角形，

．

，即，

解得，

．

（3）6或．

提示：分两种情况：①当时，

如图2，过点作交的延长线于点，连接，

则四边形为矩形，，

由折叠的性质可知，

．

．

在Rt和Rt中，

，

．

设，

，解得．

②当时，

如图3，过点作交的延长线于点，连接，

则四边形为矩形，．

由折叠的性质可知，

．

．

设，则．

，

，

解得，

．

综上，的长为6或．

23.解：（1）令，代入，得，

点的坐标为．

抛物线对称轴为直线，

，解得，

抛物线的表达式为．

（2）如图1，过点作轴，

过点作轴交

于点，过点作轴交于点．

设点的横坐标为，

则纵坐标为．

，

点的横坐标为，

点的纵坐标为．

轴，轴，

，

，

，

即，

解得，

点的坐标为或．

（3）存在，点坐标为或．

提示：如图2，过点作交于点．

设．

，

．

，

．

在Rt中，

在Rt中，，

，

，

．

点关于轴对称点为，此点也满足，

满足条件的点坐标为或．