2023年山西省临汾市乡宁县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年山西省临汾市乡宁县中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. -9的相反数是( )
A. -9B. -19C. 9D. 19
2. 下列感冒胶囊的标识图中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 新一代人工智能是推动科技跨越发展、产业优化升级、生产力整体跃升的驱动力量.当前，我国人工智能领域呈现出技术创新和产业化应用双轮驱动、双向促进的发展特征.根据中国信通院发布的最新数据测算，2022年我国人工智能核心产业规模达到5080亿元，同比增长18%，5080亿元用科学记数法表示为( )
A. 5.08×108B. 5.08×1010C. 5.08×1011D. 5.08×1012
4. 如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成.在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若∠α=92°，则∠β的度数为( )
A. 92°
B. 90°
C. 88°
D. 86°
5. 三张形状、大小、质地都相同的正方形卡片，正面分别印有“太谷饼”、“老陈醋”、“石子饼”三个图案，将它们背面朝上，随机抽取一张，记下卡片上的名称后放回，再随机抽取一张，则两次抽到的卡片中至少有一张写有“太谷饼”的概率为( )
A. 59B. 49C. 13D. 29
6. 某校数学社团举行了一次趣味数学比赛，其中七位学生的成绩分别为92，89，96，94，98，96，95.这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 95，95B. 96，96C. 95，96D. 96，95
7. 在解答“如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=mx+n相交于A(-1,0)，B(-4,3)两点，结合图形求不等式ax2+bx+c>mx+n的解集”的问题时，用到的数学思想是( )
A. 分类讨论思想B. 整体思想C. 数形结合思想D. 公理化思想
8. 如图，在矩形ABCD中，E是AD延长线上一点，连接BE，BE交DC于点G，F是BE上一点，连接BD，DF，若∠DBF=∠DFB，∠FDE=∠E，则∠GBC与∠DBC的大小关系是( )
A. ∠GBC=14∠DBCB. ∠GBC=13∠DBC
C. ∠GBC=15∠DBCD. ∠GBC=12∠DBC
9. 如图，点A在反比例函数y=3x(x<0)的图象上，点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，连接AB，AB与y轴交于点C，且AB//x轴，BC=2AC，D是x轴正半轴上一点，连接AD，BD，则△ABD的面积为( )
A. 3
B. 72
C. 92
D. 52
10. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°，在直径AB上截取AD=AC，延长CD交⊙O于点E，若CE=2，则图中阴影部分的面积为( )
A. 2
B. π2-1
C. π-2
D. π2
二、填空题（本题共5小题，共15分）
11. 分解因式：a2-8a= ______ ．
12. 在数学社团课探索数字规律的游戏中，晓晓写出这样一组数：12,43,94,165，…，按此规律，第n个数是______ ．
13. 如图所示的是不倒翁的主视图，PA，PB分别与不倒翁底部所在的⊙O相切于点A，B，若∠P=48°，则∠OAB的度数为______ ．
14. 如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(图1)和截面示意图(图2)，足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的关系的部分数据如表：则该运动员踢出的足球在第______ s落地．
15. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=6，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是AB，AD边上的点，且∠ECF=60°，BE=2，CF与BD交于点G，则OGDG的值为______ ．
三、解答题（本题共9小题，共75分）
16. 计算：-15+(-3)0-( 2)2+4×|-14|.
17. 在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一个同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕.请根据下面的接力游戏解答问题：
任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是依据______ 进行变形的；
A.等式的基本性质B.不等式的基本性质C.分式的基本性质D.乘法分配律
②在“接力游戏”中，出现错误的是______ 同学，错误的原因是______ ；
任务二：在“接力游戏”中，该分式化简的正确结果是______ ；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对化简分式时还需要注意的事项给同学们提一条建议．
18. 如图，在正方形ABCD中，E为边CD的中点，BF⊥AE交AD于点F，试猜想AF与CE之间的数量关系，并证明你的猜想．
19. 太原市某中学为了解该校1200名学生在校午餐所需的时间，随机抽查了50名学生在校吃午餐所花的时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图(其中A组：510
(1)补全频数分布直方图；
(2)估计该校1200名学生午餐所花时间在B组的人数；
(3)在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择多少分钟为宜？请说明理由．
20. 广胜寺位于洪洞县霍泉之滨，始建于唐.所谓“广胜”，就是“广大于天，名胜于世”的意思.广胜寺分上下两寺和水神庙3处.广胜寺上寺的飞虹塔，作为第一批全国重点文物保护单位广胜寺建筑群的重要组成部分，位居广胜寺“三绝”之首，在众多琉璃宝塔中它的高度仅次于开封铁塔，但以其塔形壮观，内外装饰精美和保存的完整程度，堪称中国之最.某校数学兴趣小组在学习了解“直角三角形”之后，开展了测量飞虹塔(AB)高度的实践活动，测量数据如表：
任务：(1)请根据测量数据，求飞虹塔(AB)的高度(结果保留整数，参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34)；
(2)在实际测量的过程中，有哪些措施可以减少测量数据产生的误差？(写出一条即可)
21. 太原市某中学为了改进全校师生的饮水质量，需要安装A，B两款净水器，已知A款净水器比B款净水器贵1000元，用12.6万元购买A款净水器的数量是用相同金额购买B款净水器数量的67．
(1)购买A，B两款净水器每台各为多少元？
(2)若该中学需要购买A，B两款净水器共30台，且购买的总费用不超过19.8万元，则最多可购买A款净水器多少台？
22. 阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出______ 三角形来加以证明的(填“全等”或“相似”)；
(2)请补全证法2剩余的部分．
23. 综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在矩形ABCD中，E为AB边上一点，F为AD边上一点，连接CE，CF，分别将△BCE和△CDF沿CE，CF翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．
观察发现：(1)如图1，若F为AD边的中点，AB=BC=10，点G与点H重合，则∠ECF= ______ °，AE= ______ ；
问题探究：(2)如图2，若∠DCF=22.5°，AB=2 2+2，BC=4，求AE的长；
拓展延伸：(3)AB=10，AD=6，若F为AD的三等分点，请直接写出AE的长．
24. 综合与探究：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=32，与y轴交于点C，连接BC，直线BC的表达式为y=-12x+2．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点M(0,-1)，在线段BC上有一动点E，连接ME并延长，交抛物线于点N，使得EN=12ME，求点E的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使得∠OBP+∠OBC=45°，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】
解：-9的相反数是9，
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：A、该图形不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】C
【解析】解：5080亿=508000000000=5.08×1011．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠BCD+∠α=180°，∠α=92°，
∴∠BCD=88°，
∵AB//CD，
∴∠β=∠BCD=88°．
故选：C．
由邻补角的性质求出∠BCD=88°，由平行线的性质即可得到∠β=∠BCD=88°．
本题考查平行线的性质，邻补角的性质，关键是掌握平行线的性质．
5.【答案】A
【解析】解：把“太谷饼”、“老陈醋”、“石子饼”分别记为A、B、C，画树状图如图：

共有9个等可能的结果，两次抽到的卡片中至少有一张写有“太谷饼”的结果有5个，
∴两次抽到的卡片中至少有一张写有“太谷饼”的概率为59．
故选：A．
画树状图，得出所有等可能的结果以及两次抽到的卡片中至少有一张写有“太谷饼”的结果，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】D
【解析】解：将这组数据重新排列为：89，92，94，95，96，96，98，
所以这组数据的众数为96，中位数为95，
故选：D．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】C
【解析】解：由图象可知在A的右侧与B的左侧时，二次函数图象高于一次函数图象．
∴平面直角坐标系的引入，使得我们可以用几何方法研究代数问题，又可以用代数方法研究几何问题，主要体现的数学思想是数形结合思想．
故选：C．
把解不等式的问题转化为解一元二次方程的问题，然后画出二次函数y=ax2+bx+c与y=mx+n图象后利用数形结合的思想解决问题．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠FDE=∠E，∠DFB=∠FDE+∠E，
∴∠DFB=2∠E，
∵∠DBF=∠DFB，
∴∠DBF=2∠E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠E=∠GBC，
∴∠DBF=2∠GBC，
∵∠DBC=∠DBF+∠GBC，
∴∠DBC=3∠GBC，
∴∠GBC=13∠DBC，
故选：B．
根据三角形外角性质求出∠DBF=2∠E，结合矩形的性质求出∠DBF=2∠GBC，根据角的和差即可得解．
此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设点A的坐标是(m,n)，
∵点A在反比例函数y=3x(x<0)的图象上，
∴mn=3，
∵AB//x轴，BC=2AC，点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴点B的坐标为(-2m,n)，
∵点D是x轴正半轴上一点，
∴△ABD的面积为：12×(-2m-m)⋅(-n)=32mn=32×3=92，
故选：C．
设点A的坐标是(m,n)，根据题意得到mn=-3，再根据AB//x轴，BC=2AC表示出点B的坐标，最后根据三角形面积公式计算即可．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，设出点A的坐标，根据反比例函数得到mn=-3是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接OE，OC，BC，

由旋转知AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠ACE=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠BCE=90°-∠ACE=15°，
∴∠BOE=2∠BCE=30°，
∴∠EOC=90°，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE=2，
∴OE=OC= 2，
∴S阴影=S扇形OEC-S△OEC=90π×( 2)2360-12× 2× 2=π2-1，
故选：B．
连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．
11.【答案】a(a-8)
【解析】解：a2-8a=a(a-8)．
故答案为：a(a-8)．
提取公因式a即可得解．
本题考查了提公因式法分解因式，准确确定出公因式为a是解题的关键．
12.【答案】n2n+1
【解析】解：观察题目中数列的分子、分母可发现：
分子是连续的平方数，且从1开始，则第n个数的分子为n2．
分数的分母为连续的正整数，且从2开始，则第n个数的分母为(n+1)．
所以按此规律，第n个数是：n2n+1．
故答案为：n2n+1．
对于连续分数存在的规律，可对分数的分子、分母分别进行寻找规律，便可得出第n个数．
此题考查了实数计算中存在的规律问题，对于分数类型的规律问题，可分别对分子、分母分别观察，可得出第n个数的表达式．
13.【答案】24°
【解析】解：连接OB．

∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=180°-∠P=132°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=12(180°-132°)=24°，
故答案为：24°．
连接OB，利用四边形内角和定理解决问题即可．
本题考查由三视图判定几何体，切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
14.【答案】8
【解析】解：设抛物线解析式h=at2+bt，
将(1,78)，(2,32)代入抛物线解析式，
得，a+b=784a+2b=32，
解得a=-18b=1，
∴抛物线的解析式为：y=-18t2+t，
令h=0，得t=0(舍)或t=8，
故答案为：8．
设抛物线的解析式为：h=at2+bt，将(1,78)，(2,32)代入抛物线解析式，令h=0，求出t的值即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意是关键，同时要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
15.【答案】14或1
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=CD=6，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=6，∠ACB=60°，
∵AC=AD=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∵OA=OC=12AC=3，
∴OD= AD2-OA2= 62-32=3 3，
∵∠ECF=60°，
∴∠ACF+∠ACE=60°，
而∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
∠EBC=∠FACBC=AC∠BCE=∠ACF，
∴△BCE≌△ACF(ASA)，
∴CF=CE=2 7，
过F点作FH⊥AC于H点，如图，
设AH=x，则CH=6-x，FH= 3x，
在Rt△CHF中，( 3x)2+(6-x)2=(2 7)2，
解得x1=1，x2=2，
∴CH=5，FH= 3或CH=4，FH=2 3，
∵DO⊥AC，
∴OG//FH，
∴△COG∽△CHF，
∴OGHF=COCH，
当CH=5，FH= 3时，OG 3=35，解得OG=3 35，此时DG=3 3-3 35=12 35，
∴OGDG=3 3512 35=14；
当CH=4，FH=2 3时，OG2 3=34，解得OG=3 32，此时DG=3 3-3 32=3 32，
∴OGDG=1；
综上所述，OGDG的值为14或1．
故答案为：14或1．
先根据菱形的性质得到AB=BC=AD=CD=6，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，则可判断△ABC为等边三角形，所以AC=BC=6，∠ACB=60°，再证明△ACD为等边三角形得到∠CAD=60°，于是可计算出OOD=3 3，接着证明△BCE≌△ACF得到CF=CE=2 7，过F点作FH⊥AC于H点，如图，设AH=x，则CH=6-x，FH= 3x，在Rt△CHF中利用勾股定理得到( 3x)2+(6-x)2=(2 7)2，解方程求出x，则CH=5，FH= 3或CH=4，FH=2 3，然后证明△COG∽△CHF，利用相似三角形的性质得到OGHF=COCH，则可计算出对应的OG的长，从而得到对应的DG的长，最后计算OG与DG的比．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．
16.【答案】解：-15+(-3)0-( 2)2+4×|-14|
=-1+1-2+4×14
=-2+1
=-1．
【解析】根据实数的相关运算法则进行计算即可．
本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
17.【答案】C 丁 a-11-a计算错误 -1
【解析】解：任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是依据分式的基本性质进行变形的，
故答案为：C；
②在“接力游戏”中，出现错误的是丁同学，错误的原因是a-11-a计算错误，
故答案为：丁；a-11-a计算错误；
任务二：a+11-a⋅a2+aa2+2a+1-11-a
=a+11-a⋅a(a+1)(a+1)2-11-a
=a1-a-11-a
=a-11-a
=-1，
故答案为：-1；
任务三：除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，针对化简分式时还需要注意：分子或分母是多项式的，一般先因式分解，然后再进行计算．
任务一：①根据分式的基本性质，即可解答；
②先算分式的乘法，再算减法，逐一判断即可解答；
任务二：先算分式的乘法，再算减法，进行计算即可解答；
任务三：根据分式的混合运算的步骤，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：AF=CE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠BAF=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠DAE+∠AFB=90°，
∴∠DAE=∠ABF，
在△DAE与△ABF中，
∠ABF=∠DAEAB=AD∠BAF=∠D=90°，
∴△DAE≌△ABF(ASA)，
∴AF=DE，
∵E为边CD的中点，
∴DE=CE，
∴AF=CE．
【解析】根据正方形的性质得出AB=AD，∠D=∠BAF=90°，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出AB=AD，∠D=∠BAF=90°解答．
19.【答案】解：(1)C组的频数为：50-4-12-2-2=30，
补全频数分布直方图如下：

(2)1200×1250=288(人)，
答：估计该校1200名学生午餐所花时间在B组的人数大约为288人；
(3)选择20分钟，理由如下：
样本中有46人能在20分钟内完成用餐，占比92%，可以鼓励20分钟没有完成用餐的同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率．
【解析】(1)用总数50分别减去其它四组的频数可得C组的频数，进而补全频数分布直方图；
(2)用1200乘样本中B组所占百分比即可；
(3)分析每组数据的频数即可得出答案．
本题主要考查了频数(率)分布图，调查数据收集的过程与方法，用样本估计总体，熟练掌握频数(率)分布表，调查数据收集的过程与方法，用样本估计总体的计算方法进行求解是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)在Rt△ADB中，
∵∠ADB=45°，
∴∠DAB=45°．
∴BD=AB．
在Rt△ACB中，
∵tan∠ACB=ABCB，
∴CB=ABtan∠ACB=ABtan37∘≈43AB．
∵CD=CB-BD，
∴15.7=43AB-AB．
∴AB=47.1≈47(米)．
答：飞虹塔(AB)的高度为47米．
(2)在实际测量的过程中，使用精确的测量工具可以减少测量数据产生的误差(不唯一)．
【解析】(1)在直角三角形中，利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系先用AB表示出BD、CB，再根据线段的和差关系得关于AB的方程，求解即可；
(2)减少误差可从测量工具、测量者的认真程度等方面入手．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)设购买每台A款净水器需x元，则购买每台B款净水器需(x-1000)元，
根据题意得：126000x=126000x-1000×67，
解得：x=7000，
经检验，x=7000是所列方程的解，且符合题意，
∴x-1000=7000-1000=6000．
答：购买每台A款净水器需7000元，每台B款净水器需6000元；
(2)设该中学可购买m台A款净水器，则购买(30-m)台B款净水器，
根据题意得：7000m+6000(30-m)≤198000，
解得：m≤18，
∴m的最大值为18．
答：最多可购买A款净水器18台．
【解析】(1)设购买每台A款净水器需x元，则购买每台B款净水器需(x-1000)元，利用数量=总价÷单价，结合用12.6万元购买A款净水器的数量是用相同金额购买B款净水器数量的67，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出购买每台A款净水器所需的费用，再将其代入(x-1000)中，即可求出购买每台B款净水器所需的费用；
(2)设该中学可购买m台A款净水器，则购买(30-m)台B款净水器，利用总价=单价×数量，结合总价不超过19.8万元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】相似
【解析】解：(1)证法1：如图1，作∠BAC的平分线AD，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠BAD=∠CAD=∠B．
∵∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴.ACBC=DCAC=ADAB．
设DC=x，则AD=BD=a-x．
∵AC=b，BC=a，AB=c，
∴ba=xb=a-xc，
∴b2=ax，a2-ax=bc，
∴a2-b2=bc．
故答案为：相似．
(2)证法2：如图2，延长CA到点D，使得AD=AB=c，连接BD，
∴∠ABD=∠D，
∴∠BAC=∠ABD+∠D=2∠D，
∵∠BAC=2∠ABC，
∴2∠ABC=2∠D，
∴∠ABC=∠D，
∵∠ACB=∠BCD，
∴△ACB∽△BCD，
∴ACBC=BCDC，
∴BC2=AC⋅DC，
∵BC=a，AC=b，DC=b+c，
∴a2=b(b+c)，
∴a2-b2=bc．
(1)由证法1的证明过程可知△ACD∽△BCA，所以该解题方法是通过构造相似三角形来加以证明的，于是得到问题的答案；
(2)由AD=AB，得∠ABD=∠D，则∠BAC=∠ABD+∠D=2∠D，而∠BAC=2∠ABC，所以∠ABC=∠D，因为∠ACB=∠BCD，所以△ACB∽△BCD，则ACBC=BCDC，所以BC2=AC⋅DC，则a2=b(b+c)，整理得a2-b2=bc．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，适当选择相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键．
23.【答案】45 203
【解析】解：(1)∵AB=BC=10，四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=10，∠BCD=∠A=90°，
∵F为AD的中点，
∴DF=AF=5，
∵将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点D，B的对应点分别为点G，H，
∴BE=EG，DF=FG=5，
设BE=x，则AE=10-x，
∴EF=EG+FG=x+5，
∵EF2=AE2+AF2，
∴(5+x)2=(10-x)2+52，
∴x=103，
∴BE=103，
∴AE=10-103=203；
∵将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴∠BCE=∠GCE，∠DCF=∠GCF，
∵∠BCD=90°，
∴∠ECF=12∠BCD=12×90°=45°．
故答案为：45；203；
(2)如图2，延长CG交AB于点M，

∵∠3=∠4，∠1=∠2=22.5°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCH=90°-45°=45°，
∵∠EHM=∠B=90°，
∴△CBM和△EHM均为等腰直角三角形，
∴BM=BC=4，EM= 2EH= 2BE，
∴BE+EM=4，
即BE+ 2BE=4，
解得BE=4 2-4，
∴AE=AB-BE=2 2+2-(4 2-4)=6-2 2；
(3)分两种情况：①当AF=2DF时，
如图3，过点E作EP//GH，交FG的延长线于点P，连接EF，则四边形GHEP为矩形，
∴GH=EP，EH=GP，

由折叠的性质可知，CD=CG=10，BC=CH=6，
∴HG=CG-CH=10-6=4，
∵AF=2DF，
∴AF=4，DF=2，
∴AF=EP，
在Rt△EFP和Rt△FEA中，
AF=EPEF=FE，
∴Rt△EFP≌Rt△FEA(HL)，
∴AE=FP，
设BE=EH=a，FP=a+2，AE=FP=10-a，
∴a+2=10-a，
解得a=4，
∴BE=4，
∴AE=10-4=6．
②当DF=2AF时，
如图4，过点E作EP//GH，交FG的延长线于点P，连接EF，则四边形GHEP为矩形，
∴GH=EP，EH=GP，

由①知：EP=4，
∵DF=2AF，
∴AF=2，DF=4．
设BE=EH=a，FP=a+4，AE=10-a，
∵EF2=AF2+AE2=EP2+FP2，
∴22+(10-a)2=42+(a+4)2，
解得a=187，
∴AE=10-a=10-187=527．
综上可知，AE的长为6或527．
(1)证明四边形ABCD是正方形，由正方形的性质得出AD=AB=10，∠BCD=90°，由勾股定理及折叠的性质可得出答案；
(2)延长CG，交AB于点M，证明△CBM和△EHM均为等腰直角三角形，得出BM=BC=4，EM= 2BE，则可求出BE的长，从而可得出答案；
(3)分两种情况：①当AF=2DF时，如图3，过点E作EP//GH，交FG的延长线于点P，连接EF，则四边形GHEP为矩形，GH=EP，EH=GP，证明Rt△EFP≌Rt△FEA(HL)，由全等三角形的性质得出AE=FP，设BE=EH=a，FP=a+2，AE=FP=10-a，列方程可得出答案；②当DF=2AF时，如图4，过点E作EP//GH，交FG的延长线于点P，连接EF，则四边形GHEP为矩形，GH=EP，EH=GP，设BE=EH=a，FP=a+4，AE=10-a，由勾股定理列方程可得出答案．
本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和判定，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)令y=-12x+2=0，得x=4，
∴B(4,0)，
又∵抛物线y=ax2+bx+2的对称轴为直线x=32，
∴16a+4b+2=0-b2a=32，
∴a=-12b=32，
∴y=-12x2+32x+2．
(2)过点N作NQ//y轴交CB于点Q，则△NEQ∽△MEC，
∴NEME=NQCM=12，
∵CM=OC+OM=2+1=3，
∴NQ=12CM=32，
设N(x,-12x2+32x+2)，Q(x,-12x+2)，
∴NQ=-12x2+32x+2-(-12x+2)=-12x2+2x=32，
∴x=1或3，
∴N(1,3)或(3,2)，
设直线MN的表达式为y=kx-1，代入(1,3)得k=4，
∴y=4x-1，
∴4x-1=-12x+2，
∴x=23，
∴E(23,53)，
类似地可求得另一个点E为(2,1)，
∴E(23,53)或(2,1)．

(3)存在点P使得∠OBP+∠OBC=45°，点P的坐标为(0,-43)或(0,43)，理由如下：
过点C作CG⊥PB，垂足为G，则△BCG是等腰直角三角形．
∵OC=2，OB=4，
∴BC=2 5，CG= 10，
∵S△PBC=12×CP×OB=12×PB×CG，
设OP=x，则12×(2+x)×4=12× x2+42× 10，
∴3x2+32x-48=0，
∴x=43或x=-12(舍)，
∴P(0,-43)，
根据对称性，P(0,43)也满足∠OBP+∠OBC=45°，
∴存在点P(0,-43)或(0,43)，使得∠OBP+∠OBC=45°．

【解析】(1)先求出B点的坐标，结合对称轴为直线x=32，利用待定系数法求抛物线的表达式；
(2)过点N作EQ//y轴交CB于点Q，构造△NEQ∽△MEC，求出竖线段NQ，进而求出N点坐标，再求出直线MN的表达式，最后与直线BC联立求出交点E；
(3)过点C作CG⊥PB，垂足为G，对△PBC利用等面积法建立关于OP的方程．
本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，并与三角形相似，45°角结合，渗透了方程和数形结合的思想．(2)的关键是由EN=12ME想到三角形相似．
t/s
0
1
2
3
…
h/m
0
78
32
158
…
接力游戏：
老师：化简：a+11-a⋅a2+aa2+2a+1-11-a；
甲同学：原式=a+11-a⋅a(a+1)(a+1)2-11-a；
乙同学：=a1-a-11-a；
丙同学：=a-11-a；
丁同学：=1．
课题
测量飞虹塔(AB)的高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示意图
说明
A为所测飞虹塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正西方向
测量数据
∠ACB=37°∠ADB=45°
CD=15.7米
规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”.当n=1时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”，当n=2时，称为“2倍角三角形”.小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．
如图，在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC=2∠B，则a2-b2=bc．
下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：
证法1：如图1，作∠BAC的平分线AD，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵∠BAC=2∠B，∴∠BAD=∠CAD=∠B．
∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，
∴.ACBC=DCAC=ADAB．
设DC=x，则AD=BD=a-x．
∵AC=b，BC=a，AB=c，
∴ba=xb=a-xc，
∴b2=ax，a2-ax=bc，
∴a2-b2=bc．
证法2：如图2，延长CA到点D，使得AD=AB=c，连接BD，
…