北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式综合训练题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式综合训练题，共6页。

1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )
A．5 B．8
C．10 D．14
2．若等差数列的前三项依次是x－1，x＋1，2x＋3，则其通项公式为( )
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
3．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的 eq \f(1,7)是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )
A． eq \f(11,6) B． eq \f(10,3)
C． eq \f(5,6) D． eq \f(5,3)
6．(多选题)若等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中是等差数列的是( )
A．{λan}(λ为常数) B．{an＋bn}
C．{a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －b eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) } D．{anbn}
7．已知等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an＝________．
8．古代中国数学辉煌灿烂，在《张邱建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金________斤．
9．已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点．
(1)求这个数列的通项公式；
(2)画出这个数列的图象；
(3)判断这个数列的单调性．
10．已知三个数组成一个公差为2的等差数列，并且它们的和等于它们的积，求这三个数．
[提能力]
11．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
12．(多选题)已知b是a，c的等差中项，且lg (a＋1)，lg (b－1)，lg (c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15.则a，b，c的值是( )
A．1，5，9 B．5，1，9
C．3，5，7 D．7，5，3
13．若数列{an}满足a1＝15，3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则使ak·ak＋1<0的k值为________．
14．已知数列{an}满足a1＝1，若点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝________．
15．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．
试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)
[培优生]
16．已知等差数列{an}的公差大于零，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝ eq \f(2n2－n,n＋c)，是否存在非零实数c，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数c的值；若不存在，请说明理由．
课时作业(四) 等差数列的概念及其通项公式(二)
1．解析：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.故选B.
答案：B
2．解析：∵x－1，x＋1，2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2.
∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.
答案：B
3．解析：设前三项为a－d，a，a＋d，则
由a－d＋a＋a＋d＝12，知a＝4.
又由(4－d)·4·(4＋d)＝48知d2＝4.
∵{an}为递增数列，∴d＝2.
故选B.
答案：B
4．解析：根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，所以a3＋a99＝2a51＝0，故选C.
答案：C
5．解析：由题意可得中间的那份为20个面包，
设最小的一份为a1，公差为d，
由题意可得[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]× eq \f(1,7)＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝ eq \f(5,3)，故选D.
答案：D
6．解析：等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，对于A，由λan＋1－λan＝λ(an＋1－an)＝λd为常数，知数列{λan}是等差数列；对于B，由an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝2d为常数，知数列{an＋bn}是等差数列；对于C，由a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) －b eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) －(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －b eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) )＝(an＋1－an)(an＋1＋an)－(bn＋1－bn)(bn＋1＋bn)＝d[2a1＋(2n－1)d]－d[2b1＋(2n－1)d]＝2d(a1－b1)为常数，知数列{a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －b eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) }是等差数列；对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝(an＋d)(bn＋d)－anbn＝d2＋d(an＋bn)不为常数，知数列{anbn}不是等差数列．
答案：ABC
7．解析：设等差数列{an}的公差为d，
由题意知a4＝5，a5＝7，∴d＝2，∴an＝2n－3.
答案：2n－3
8．解析：设十人得金按等级依次设为a1，a2，…，a10，
则a1，a2，…，a10成等差数列，
且 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝4，,a7＋a8＋a9＋a10＝3，))设等差数列a1，a2，…，a10的公差为d，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a1＋3d＝4，,4a1＋30d＝3，))
解得d＝－ eq \f(7,78)，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝ eq \f(83,26).
答案： eq \f(83,26)
9．解析：(1)由于 (1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5，
由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，
解得d＝2，于是an＝2n－1.
(2)图象是直线y＝2x－1上在第一象限内一些离散的点，如图所示．
(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列．
10．解析：由已知可设此三数分别为a－2，a，a＋2，由已知可得方程3a＝a(a2－4)，解得a＝0或a＝± eq \r(7).∴三个数分别为－2，0，2或 eq \r(7)－2， eq \r(7)， eq \r(7)＋2或－ eq \r(7)－2，－ eq \r(7)，－ eq \r(7)＋2.
11．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
故选D.
答案：D
12．解析：解法一 ∵2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，∴3b＝15，b＝5.
设等差数列a，b，c的公差为d，
则a＝5－d，c＝5＋d.
∵2lg (b－1)＝lg (a＋1)＋lg (c－1).
∴2lg 4＝lg (6－d)＋lg (4＋d).
∴16＝(6－d)(4＋d)，
∴d2－2d－8＝0，
∴d1＝4或d2＝－2，
∴a，b，c三个数分别为1，5，9或7，5，3.
经验算，上述两组都符合题意．
解法二 由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝15，,a＋c＝2b，,（a＋1）（c－1）＝（b－1）2，)) eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(①,②,③))
由①②两式，解得b＝5，将c＝10－a代入③，整理得a2－8a＋7＝0.
解得a＝1或a＝7.
故a＝1，b＝5，c＝9或a＝7，b＝5，c＝3.
经验算，上述两组数都符合题意．
答案：AD
13．解析：∵3an＋1＝3an－2(n∈N*)
∴an＋1－an＝－ eq \f(2,3)(n∈N*)
∴数列{an}是递减等差数列．
又∵a1＝15，
∴an＝15－ eq \f(2,3)(n－1)＝－ eq \f(2,3)n＋ eq \f(47,3).
令an＝0，即－ eq \f(2,3)n＋ eq \f(47,3)＝0，
解得n＝ eq \f(47,2)＝23.5，
∴a23·a24<0，故k的值为23.
答案：23
14．解析：由题设可得 eq \f(an,n)－ eq \f(an＋1,n＋1)＋1＝0，
即 eq \f(an＋1,n＋1)－ eq \f(an,n)＝1，所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式 eq \f(an,n)＝n，所以an＝n2.
答案：n2
15．解析：设在相同的时间内，
从低到高每档产品的产量分别为
a1，a2，…，a10，
利润分别为b1，b2，…，b10，
则{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，
所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，
bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6，
所以利润f(n)＝anbn
＝(－3n＋63)(2n＋6)
＝－6n2＋108n＋378
＝－6(n－9)2＋864.
显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864.
所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．
16．解析：(1)因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.
又a3·a4＝117，所以得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＋a4＝22，,a3·a4＝117，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＝9，,a4＝13))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＝13，,a4＝9.))
又公差d>0，所以a3所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝4.))所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3.
(2)存在非零实数c，使数列{bn}为等差数列．
若bn＝ eq \f(2n2－n,n＋c)为等差数列，则必有2b2＝b1＋b3，
又b1＝ eq \f(1,1＋c)，b2＝ eq \f(6,2＋c)，b3＝ eq \f(15,3＋c)，其中c≠0，
所以 eq \f(6,2＋c)×2＝ eq \f(1,1＋c)＋ eq \f(15,3＋c)，
所以2c2＋c＝0，所以c＝－ eq \f(1,2)或c＝0(舍去).
将c＝－ eq \f(1,2)代入bn＝ eq \f(2n2－n,n＋c)，得bn＝2n，此时{bn}为等差数列，即存在非零实数c＝－ eq \f(1,2)，使数列{bn}为等差数列．