人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案设计

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同学们，前面我们学习了直线方程的四种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
[问题] (1)你能发现这四种形式的直线有什么共同特征吗？
(2)探究它们的方程能否化简为统一的形式？




知识点 直线的一般式方程
1．定义：关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．系数的几何意义：当B≠0时，则－eq \f(A,B)＝k(斜率)，－eq \f(C,B)＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－eq \f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
提示：都可以．
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都能表示一条直线吗？
提示：都能表示一条直线．
直线x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为eq \f(\r(3),3)，从而倾斜角为30°.
[例1] (链接教科书第65页例5)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是eq \r(3)且经过点A(5，3)；
(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
[解] (1)由点斜式方程得y－3＝eq \r(3)(x－5)，
化为一般式得eq \r(3)x－y＋3－5eq \r(3)＝0.
(2)由两点式方程得eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－（－1）,2－（－1）)，
化为一般式得2x＋y－3＝0.
(3)由截距式方程得eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1，
化为一般式得x＋3y＋3＝0.
eq \a\vs4\al()
求直线一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq \f(B,A)y＋eq \f(C,A)＝0，只需求eq \f(B,A)，eq \f(C,A)的值；若B≠0，则方程化为eq \f(A,B)x＋y＋eq \f(C,B)＝0，只需求eq \f(A,B)，eq \f(C,B)的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
[跟踪训练]
1．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．
解析：点斜式方程为y＋4＝eq \r(3)(x－0)，截距式方程为eq \f(x,\f(4\r(3),3))＋eq \f(y,－4)＝1，斜截式方程为y＝eq \r(3)x－4，一般式方程为eq \r(3)x－y－4＝0.
答案：y＋4＝eq \r(3)(x－0) eq \f(x,\f(4\r(3),3))＋eq \f(y,－4)＝1 y＝eq \r(3)x－4 eq \r(3)x－y－4＝0
2．直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为________．
解析：令y＝0，则直线在x轴上的截距是x＝eq \f(2m,m＋2)，
∴eq \f(2m,m＋2)＝3，∴m＝－6.
答案：－6
[例2] 已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
[解] 法一：由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3，
A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a.
(1)当l1∥l2时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a＋1）－2×3＝0，,a×（－a）－（－3）×3≠0，))
解得a＝2.
(2)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0，
即3a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－eq \f(2,5).
法二：直线l1可化为y＝－eq \f(a,2)x＋eq \f(3,2).
(1)当a＝－1时，l2：x＝－eq \f(1,3)与l1不平行；
当a≠－1时，直线l2：y＝－eq \f(3,a＋1)x＋eq \f(a,a＋1)，
∵l1∥l2，∴－eq \f(a,2)＝－eq \f(3,a＋1)且eq \f(3,2)≠eq \f(a,a＋1)，
解得a＝2.
(2)当a＝－1时，l2：x＝－eq \f(1,3)与l1不垂直；
当a≠－1时，l2：y＝－eq \f(3,a＋1)x＋eq \f(a,a＋1)，
∵l1⊥l2，∴－eq \f(a,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,a＋1)))＝－1，
解得a＝－eq \f(2,5).
eq \a\vs4\al()
1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
[跟踪训练]
1．已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为( )
A．－2 B．2
C．±2 D．2或4
解析：选C 因为直线l2的斜率存在，故当l1∥l2时，直线l1的斜率也一定存在，所以－eq \f(1,m)＝－eq \f(m,4)，解得m＝±2.
2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
解：法一：l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，
∴l的斜率为－eq \f(3,4).
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4).又∵l′过点(－1，3)，
由点斜式知方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq \f(4,3)，又l′过点(－1，3)，
由点斜式可得方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
[例3] 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
[解] (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝eq \f(2m－6,m2－2m－3)，
∴eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq \f(5,3)或m＝3(舍去)．
∴m＝－eq \f(5,3).
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠eq \f(1,2)且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程得
y＝eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq \f(6－2m,2m2＋m－1)，
则eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
[母题探究]
(变设问)若本例中的直线l与y轴平行，求m的值．
解：∵直线l与y轴平行，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－2m－3≠0，,－（2m2＋m－1）＝0，,6－2m≠0，))∴m＝eq \f(1,2).
eq \a\vs4\al()
含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0；
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式；
(3)解分式方程要注意验根．
[跟踪训练]
已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
解：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y－2＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))
所以直线l过定点(1，－1)．
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
解析：选D 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
2．直线eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－eq \f(4,3)x＋4 B．y＝－eq \f(4,3)(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
解析：选C 由eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，得4x＋3y＝12，即4x＋3y－12＝0.
3．在直角坐标系中，直线x＋eq \r(3)y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析：选C 直线斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为150°，故选C.
4．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点( )
A．(0，0) B．(0，1)
C．(3，1) D．(2，1)
解析：选C kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3，1)．
5．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
解析：由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，,m2－4≠0，))
∴m＝3.
答案：3
新课程标准解读
核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式
数学抽象、逻辑推理
2.会进行直线方程的五种形式间的转化
逻辑推理、数学运算
直线的一般式方程
由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直
直线的一般式方程的应用