数学第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程学案设计

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第二章　直线和圆的方程
2.4.2　圆的一般方程
基础过关练
题组一　二元二次方程与圆的关系
1.(2023陕西咸阳普集高中期末)若方程x2+y2-2y-m=0表示的图形是圆,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)　　　　D.(-1,+∞)
2.(2022湖北武汉部分重点中学期中)若圆C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(　　)
A.2或1　　　　B.-2或-1
C.1　　　　D.-2
题组二　圆的一般方程
3.(2023江苏南通通州期中)已知圆M:x2+y2-6x+2y+5=0,则该圆的圆心坐标为(　　)
A.(-3,1)　　　　B.(-3,-1)
C.(3,1)　　　　D.(3,-1)
4.(2023河北衡水期中)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,且圆C与y轴的交点分别为A(0,4),B(0,-2),则圆C的一般方程为(　　)
A.x2+y2-2x+2y-8=0　　　　
B.x2+y2+2x-2y-8=0
C.x2+y2-2x+2y+2-10=0　　　　
D.x2+y2+2x-2y+2-10=0
5.(2022安徽安庆一中期中)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
6.(2023河北邢台六校联考)圆x2+y2-4x+3=0关于直线y=33x对称的圆的一般方程是(　　)
A.x2+y2-23x-2y+3=0　　　　
B.x2+y2-4y+3=0
C.x2+y2-2y=0　　　　
D.x2+y2-2x-23y+3=0
7.(2023江苏连云港期中)河道上有一座圆拱桥,在正常水位时,拱圈内部最高点距水面9 m,拱圈内部水面宽22 m.一条船在水面以上部分高6.5 m,船顶部宽4 m,可以通行无阻,近日水位暴涨了2.7 m,为此,必须加重船载,降低船身,才能使船通过桥洞,试问船身应该降低多少?(精确到0.01)




题组三　与圆有关的动点的轨迹问题
8.(2023陕西延安期中)已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是　　　　　. 
9.(2023四川成都双流中学期中)已知点A(-2,0),B(2,0),C(1,3).
(1)求△ABC的外接圆圆O的方程;
(2)在圆O上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程.





能力提升练
题组一　圆的方程
1.(2022湖南岳阳期中)已知直线l经过点(2,0),且与圆O:x2+y2=36交于M,N两点,则线段MN的中点G的轨迹方程为　　　　. 
2.已知定点M(-3,4),动点N在圆O:x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹为　　　　. 
3.(2022浙江台州天台月考,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线AC所在直线的方程;
(2)求正方形ABCD外接圆的方程;
(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点M的轨迹是什么?并求出轨迹方程.





题组二　圆的方程的应用
4.(2022黑龙江哈师大附中期中)若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为(　　)
A.(-∞,-2)　　　　B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)　　　　D.(2,+∞)
5.(2022天津期中)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(　　)
A.5　　B.6　　C.5−1　　D.5+1
6.(2022江苏苏州昆山七校联考)已知直线l:xsinθ+ycosθ=1,θ∈0,π2与两坐标轴的交点分别为A,B,则线段AB的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形的面积为(　　)
A.π2　　B.π4　　C.π8　　D.π16
7.(2023江苏徐州睢宁文华中学检测)已知圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,直线l:(3-2t)x+(t-1)y+2t-1=0恒过定点A.若一条光线从点A射出,经直线x-y-5=0上一点M反射后到达圆C上的一点N,则|AM|+|MN|的最小值为　　　　. 
8.(2023湖北襄阳四中期中)已知动点M与两定点Q,P的距离之比|MQ||MP|=λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P−12,0,且λ=2,若点B(1,1),则2|MP|+|MB|的最小值为　　　　. 
9.(2022江苏苏州实验中学调研)已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,2)和点B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设点P在圆C上,求△PAB的面积的最大值.
答案与分层梯度式解析
第二章　直线和圆的方程
2.4.2　圆的一般方程
基础过关练
1.D
2.C
3.D
4.B
5.D
6.D


1.D　解法一:因为方程表示的图形是圆,所以4+4m>0,解得m>-1.故实数m的取值范围为(-1,+∞).
解法二:方程x2+y2-2y-m=0可化为x2+(y-1)2=m+1,因为方程表示的图形是圆,所以m+1>0,解得m>-1.故实数m的取值范围为(-1,+∞).
故选D.
2.C　由题意得2m2-6m+4=0,解得m=1或m=2.
当m=2时,方程为x2+y2=0,不符合题意,舍去;
当m=1时,方程为x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-1)2=2,满足题意.
综上所述,实数m的值为1.故选C.
3.D　圆M:x2+y2-6x+2y+5=0,其标准方程为(x-3)2+(y+1)2=5,故该圆的圆心坐标为(3,-1).
故选D.
4.B　设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心C的坐标为−D2,−E2,由圆心在直线x+y=0上可得D+E=0.
由圆C与y轴的交点分别为A(0,4),B(0,-2),可得16+4E+F=0,4−2E+F=0,解得E=−2,F=−8,∴D=2,
∴该圆的一般方程是x2+y2+2x-2y-8=0.故选B.
5.D　圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心为a,−3b2.由圆心位于第三象限,得a0,
因为圆O经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3)三点,
所以(−2)2−2D+F=0,22+2D+F=0,12+(3)2+D+3E+F=0,解得D=0,E=0,F=−4,
所以圆O的一般方程为x2+y2-4=0.
(2)设M(x,y),P(xP,yP),则D(xP,0),
∵M为线段PD的中点,即xP=x,yP=2y,
又点P在圆O:x2+y2=4上,
∴x2+(2y)2=4,即x24+y2=1,
故点M的轨迹方程为x24+y2=1.
能力提升练
4.D
5.D
6.D





1.答案　(x-1)2+y2=1
解析　设线段MN的中点G的坐标为(x,y),
当直线l的斜率存在且不为0时,设其为k,则l的方程为y=k(x-2),由题知kMN·kOG=-1,即yx−2·yx=-1,整理得y2+x2-2x=0,即(x-1)2+y2=1(x≠2且x≠0).
当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,此时由圆的对称性可得G(2,0),其坐标也满足(x-1)2+y2=1.
当直线l的斜率为0时,易得G(0,0),其坐标也满足(x-1)2+y2=1.
综上,线段MN的中点G的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
2.答案　以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点−95,125和点−215,285
解析　如图所示.设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为x2,y2,线段MN的中点坐标为x0−32,y0+42.

由于平行四边形的对角线互相平分,所以线段OP与线段MN的中点重合,
所以x2=x0−32,y2=y0+42,即x0=x+3,y0=y−4,故N(x+3,y-4).
又点N(x+3,y-4)在圆x2+y2=4上,
所以(x+3)2+(y-4)2=4.
当点P在直线OM上时,有x=-95,y=125或x=−215,y=285.因此所求轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点−95,125和点−215,285.
3.解析　(1)由直线方程的两点式可知,对角线AC所在直线的方程为y−2−2−2=x−40−4,整理得x-y-2=0.
(2)设G为正方形ABCD外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G(2,0).
设r为正方形ABCD外接圆的半径,则r=12|AC|,
又|AC|=(4−0)2+(2+2)2=42,∴r=22.
∴正方形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
(3)设P(x0,y0),M(x,y),
则x=x0−22,y=y02,∴x0=2x+2,y0=2y.∵点P为外接圆上一点,
∴(2x+2-2)2+(2y)2=8,整理,得x2+y2=2.
∴点M的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2.
4.D　x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0,即(x+a)2+(y-2a)2=4,其圆心为(-a,2a),半径等于2,
所以由题意可得−a0,|−a>2,|2a>2,解得a>2,
所以a的取值范围为(2,+∞).故选D.
5.D　圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),
即(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,
其圆心为C(-1,m),设其半径为r(r>0),
则r2=m2+4m+5=(m+2)2+1,
当圆C的面积最小时,必有m=-2,此时r2=1,
圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=1.
圆心C(-1,-2)到原点的距离d=1+4=5,
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=5+1.故选D.
6.D　不妨设直线l与x轴交点为A,与y轴的交点为B,由直线l的方程可知,A(sin θ,0),B(0,cos θ),
由θ∈0,π2,可得cos θ>0,sin θ>0,
设线段AB的中点为C(x,y),可得x=sinθ2,y=cosθ2,
由sin2θ+cos2θ=1,可得x2+y2=14(x>0,y>0),
故线段AB的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形为14个圆,其面积为14×π×122=π16.故选D.
7.答案　6
解析　直线l的方程可化为3x-y-1-t(2x-y-2)=0,
令2x-y-2=0,3x-y-1=0,可得x=-1,y=-4,
所以点A的坐标为(-1,-4).
设点A(-1,-4)关于直线x-y-5=0的对称点为A'(a,b),则b+4a+1×1=−1,a−12−b−42−5=0,解得a=1,b=−6,所以点A'的坐标为(1,-6).由圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,可知其圆心为C(1,1),半径r=1,则|A'C|=7,
由线段垂直平分线的性质可知,|AM|=|A'M|,
所以|AM|+|MN|=|A'M|+|MN|≥|A'N|≥|A'C|-r=7-1=6,
当且仅当A',M,N,C四点共线时等号成立,
所以|AM|+|MN|的最小值为6.
8.答案　10
解析　由题意可得圆x2+y2=1是关于P,Q的阿波罗尼斯圆,且λ=2,则|MQ||MP|=2,
设M(x,y),Q(m,n),则(x−m)2+(y−n)2x+122+y2=2,
整理得,x2+y2+4+2m3x+2n3y+1−m2−n23=0,
由已知得该圆的方程为x2+y2=1,则4+2m=0,2n=0,1−m2−n23=−1,解得m=−2,n=0,∴点Q的坐标为(-2,0),
∴2|MP|+|MB|=|MQ|+|MB|,
如图,当点M位于M1或M2时,|MQ|+|MB|取得最小值,且最小值为|QB|=(−2−1)2+1=10.

9.解析　(1)取弦AB的中点M,则M(1,3).
∵A(-1,2),B(3,4),∴kAB=4−23−(−1)=12,∴kCM=-2,∴直线CM的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.由2x+y−5=0,x+3y−15=0,得x=0,y=5,即C(0,5).∴半径r=(0+1)2+(5−2)2=10,∴圆C的方程为x2+(y-5)2=10.
(2)设△PAB的底边AB上的高为h.
由(1)可知弦AB的中点M的坐标为(1,3),圆的圆心为C(0,5),∴|CM|=(1−0)2+(3−5)2=5,
∴hmax=|CM|+r=5+10.
又|AB|=(3+1)2+(4−2)2=25,
∴(S△PAB)max=12×25×(5+10)=5+52.