第十四章 整式的乘法与因式分解 单元测试卷 2023-2024学年人教版八年级数学上册
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第十四章 整式的乘法与因式分解 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.若(x-1)0=1,则x的取值范围是 ( )A.x≠0 B.x≠1 C.x≠-1 D.x>12.下列选项的括号内填入a3,等式成立的是 ( )A.a6+( )=a9 B.a3·( )=a9 C.( )3=a9 D.a27÷( )=a93.将下列多项式因式分解,结果中不含有x+2因式的是 ( )A.x2-4 B.x2+2x C.x2+2 D.x2+4x+44.在数学课上学习了单项式乘多项式后,小明回家拿出课堂笔记本复习,发现这样一道题:-3x(-2x2+3x-1)=6x3+□+3x,“□”的地方被墨水污染了,你认为“□”内应填写 ( )A.9x2 B.-9x2 C.9x D.-9x5.随着数学学习的深入,数系不断扩充,引入新数i,规定i2=-1,并且新数i满足交换律、结合律和分配律,则(1+i)·(2-i)的运算结果是 ( )A.3-i B.2+i C.1-i D.3+i6.若(mx+3)(x2-x-n)的运算结果中不含x2项和常数项,则m,n的值分别为 ( )A.m=0,n=0 B.m=0,n=3 C.m=3,n=1 D.m=3,n=07.小明是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息“x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应汉字:化,爱,我,数,学,新.”现将3a(x2-1)-3b(x2-1)进行因式分解,则密码信息可能是 ( )A.我爱学 B.爱新化 C.我爱新化 D.新化数学8.已知5x=3,5y=2,则52x-3y= ( )A. B. C. D.9.若a=2 021×2 022+1,b=2 0212-2 021×2 022+2 0222,则下列判断正确的是 ( )A.a<b B.a=b C.a>b D.无法判断10.某中学开展以“筑梦冰雪,相约冬奥”为主题的学科活动,要求设计几何图形作品来表达对冬奥会的祝福.小冬以长方形ABCD的四条边为边分别向外作四个正方形,设计出“中”字图案,如图所示.若长方形ABCD的相邻两边之差为4,且四个正方形的面积和为80,则长方形ABCD的面积是 ( )A.12 B.21 C.24 D.32二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.若(-2)x·24=(-2)7,则x= . 12在“○”处填入一个整式,使关于x的多项式x2+○+1可以进行因式分解,则“○”处可以填 .(写出一个即可) 13.计算:22 022×(-)2 023= . 14.已知x2=2x+1,则x3-5x+2 023= . 15.(已知有甲、乙两个长方形,它们的边长如图所示(0<m<),甲、乙的面积分别记为S1,S2.请比较S1与S2的大小:S1 S2.(填“>”“<”或“=”) 16.在化简求(a+3b)2+(2a+3b)(2a-3b)+a(5a-6b)的值时,亮亮把a的值看错后代入得到的结果为10,而小莉代入正确的a值,得到的正确结果也是10,则他们俩代入的a的值的和为 . 三、解答题(共6小题,共52分)17.(共2小题,每小题4分,共8分)解答下列各题.(1)因式分解:4x2-3y(4x-3y). (2)已知M是一个多项式,且满足M(3x-y2)=y4-9x2,求这个多项式M. 18.(8分)已知2x+y=4,求[(x-y)2-(x+y)2+y(2x-y)]÷(-2y)的值. 19.(8分)阅读理解:因式分解中的换元法是指将多项式中的相同部分换成另一个未知数,然后再因式分解,最后再将其换回来.下面是某同学对多项式(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4进行因式分解的过程.解:设x2-2x=y,原式=(y-1)(y+3)+4 (第一步)=y2+2y+1 (第二步)=(y+1)2 (第三步)=(x2-2x+1)2. (第四步)回答下列问题.(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 . A.提公因式法 B.公式法 C.换元法(2)老师说,该同学因式分解的结果不彻底,请你写出因式分解的最后结果: . (3)请你模仿上述方法,对多项式(x2-4x)·(x2-4x+8)+16进行因式分解. 20.(8分)如图(1),在某住房小区的建设中,为了提供更好的宜居环境,小区准备在一个长为(4a+3b)米、宽为(2a+3b)米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道.(1)求通道的面积.(2)若修建三条宽为b米的通道[如图(2)所示],a=2b,剩余草坪的面积为216米2,求通道的宽度. 图(1) 图(2) 21.(9分)如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“奇巧数”,如12=42-22,20=62-42,28=82-62,…,因此12,20,28这三个数都是奇巧数.(1)52,72都是奇巧数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2n,2n+2(其中n为正整数),由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗?为什么?(3)研究发现:任意两个连续奇巧数之差是同一个数.请给出验证. 22.(11分)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助图的直观性,可以帮助理解数学问题. 图(1) 图(2) 图(3) 图(4)(1)请分别写出图(1)、图(2)、图(3)能解释的乘法公式.(2)用4个全等的长和宽分别为a,b的长方形拼摆成一个如图(4)的正方形,请你写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系.(3)根据(2)中你探索发现的结论,完成下列问题:①当a+b=5,ab=-6时,则a-b的值为 . ②设A=,B=x-y-z,计算:(A+B)2-(A-B)2. 第十四章 整式的乘法与因式分解1.B 2.C 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B 10.A 11.3 12.2x(答案不唯一) 13.- 14.2 02515. < 16.0 17.(1)原式=4x2-12xy+9y2 (2分)=(2x-3y)2. (4分)(2)因为y4-9x2=(y2+3x)(y2-3x)=-(3x+y2)(3x-y2), (2分)所以M=-(3x+y2)=-3x-y2. (4分)18.(整体思想)∵2x+y=4,∴x+y=2, (3分)∴原式=(x2-2xy+y2-x2-2xy-y2+2xy-y2)÷(-2y) (5分)=(-2xy-y2)÷(-2y)=x+y=2. (8分)19.(1)B(2分)(2)(x-1)4 (4分)(3)设x2-4x=t,原式=t(t+8)+16=t2+8t+16=(t+4)2=(x2-4x+4)2=(x-2)4. (8分)20.(1)S通道=b(2a+3b)+b(4a+3b)-b2=2ab+3b2+4ab+3b2-b2=6ab+5b2.答:通道的面积为(6ab+5b2)米2. (4分)(2)S草坪=(4a+3b)(2a+3b)-[2b(2a+3b)+b(4a+3b)-2b2]=8a2+18ab+9b2-(4ab+6b2+4ab+3b2-2b2)=8a2+18ab+9b2-8ab-7b2=8a2+10ab+2b2. (6分)∵a=2b,∴8a2+10ab+2b2=8×(2b)2+10×2b·b+2b2=32b2+20b2+2b2=54b2.令54b2=216,即b2=4,解得b=2(负值已舍去).答:通道的宽度为2米. (8分)21.(1)52是,72不是. (1分)理由:因为52=142-122,68=182-162,76=202-182,所以52是奇巧数,72不是奇巧数. (3分)(2)不是. (4分)因为(2n+2)2-(2n)2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4(2n+1),所以这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数,不是8的倍数. (6分)(3)验证:因为[(2n+4)2-(2n+2)2]-[(2n+2)2-(2n)2]=(2n+4+2n+2)(2n+4-2n-2)-(2n+2+2n)·(2n+2-2n) =4(2n+3)-4(2n+1)=8n+12-8n-4=8.所以任意两个连续奇巧数之差是同一个数. (9分)22.(1)题图(1):(a+b)2=a2+2ab+b2.题图(2):(a-b)2=a2-2ab+b2.题图(3):(a+b)(a-b)=a2-b2. (3分)(2)(a+b)2-(a-b)2=4ab. (5分)(3)①±7 (7分)解法提示:由(2)中得到的结论可知,(a+b)2-(a-b)2=4ab.因为a+b=5,ab=-6,所以52-(a-b)2=4×(-6),得(a-b)2=25+24=49,所以a-b=±7.②因为A=,B=x-y-z,所以(A+B)2-(A-B)2=4×A×B=4××(x-y-z)=(x+y-z)(x-y-z)=[(x-z)+y][(x-z)-y]=x2-2xz+z2-y2. (11分)
