2022北京石景山高一（下）期末数学（教师版）

2022北京石景山高一（下）期末

数    学

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知正方体棱长为，其八个顶点都在一个球面上，则这个球的半径是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 在△中，点为中点，记，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数（    ）

A. 是奇函数，最小正周期为

B. 是偶函数，最小正周期为

C. 奇函数，最小正周期为

D. 是偶函数，最小正周期为

6. 在锐角△中，，，则下列等式中成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 设向量，，如果，，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ）

A. ，且 B. ，且

C. ，且 D. ，且

9. 记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（    ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

二､填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11. 计算____________.

12. 函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为___________.

13. 如果，那么___________.

14. 已知向量满足，，，则___________.

15. 在正方体中，，为线段上的动点，且与不重合，为线段的中点.给出下列三个结论：

①；

②三棱锥的体积不变；

③平面截正方体所得的截面图形一定是矩形.

其中，所有正确结论的序号为___________.

三､解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.

16. 在△中，，.

（1）如果，求的值；

（2）如果锐角△的面积为，求的长度.

17. 已知函数.

（1）请用五点法做出一个周期内图像；

（2）若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.

18. 如图，已知三棱柱中，侧面和是矩形，分别为和的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：三棱柱为直三棱柱.

19. 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.

（1）求证：；

（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

20. 在△中，，，，为△内部（包含边界）的动点，且.

（1）求；

（2）求的取值范围.

参考答案

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦函数定义即可求出.

【详解】根据正弦函数的定义可得.

故选：D

2. 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标表示即可得出答案.

【详解】因为，，

所以，

解得.

故选：D.

3. 已知正方体棱长为，其八个顶点都在一个球面上，则这个球的半径是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据外接球的直径为正方体的体对角线可求.

【详解】由题可得外接球的直径为正方体的体对角线，设半径为，

所以，所以.

故选：B.

4. 在△中，点为中点，记，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量线性运算的几何表示即得.

【详解】因为点为中点，，，

所以.

故选：C.

5. 将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数（    ）

A. 是奇函数，最小正周期为

B. 是偶函数，最小正周期为

C. 是奇函数，最小正周期为

D. 是偶函数，最小正周期为

【答案】A

【解析】

【分析】根据平移得出即可判断奇偶性和最小正周期.

【详解】向左平移个单位后得，

所以为奇函数，最小正周期为.

故选：A

6. 在锐角△中，，，则下列等式中成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】A.根据正弦定理直接判断；B.根据余弦定理直接判断；C.根据正弦定理和二倍角公式直接判断；D.由正弦定理边角互化直接判断.

详解】解：对于A.由正弦定理可得，所以必成立，故A正确；

对于B.由余弦定理可知，所以，所以不正确；

对于C.由正弦定理可知，

若满足，即 ,即，则，所以只有时，才成立，所以不正确；

对于D.根据正弦定理（其中R为△的外接圆的半径），则，故不正确.

故选：A.

7. 设向量，，如果，，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的垂直关系得到向量的数量积为，再将，分别用坐标表示出来，最后根据坐标形式下的向量垂直对应的关系式求解出的值.

【详解】因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，

又，

所以

故选：C

8. 设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ）

A. ，且 B. ，且

C. ，且 D. ，且

【答案】B

【解析】

【分析】根据线面与面面的位置关系逐一判断即可

【详解】对于A：，且，则，故A错误；

对于B：一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确；

对于C：，且，则或或n与相交均有可能，故C错误；

对于D：，且，则则或或n与相交均有可能，故D错误；

故选：B

9. 记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的最小值，从而得的最大值；

【详解】因为

所以最小正周期，

因为，

又，

所以，

即，

又为的零点，

所以，解得，

因为，

所以当时，

所以的最大值为，

故选：B

10. 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（    ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

【答案】C

【解析】

【分析】角速度为，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为

，进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和，再利用三角函数值域的研究方法求解即可

【详解】因为角速度为，

所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为

，

由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和

，

因为，

所以，

所以，，

所以，

所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，

故选：C

二､填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11. 计算____________.

【答案】##

【解析】

【分析】逆用正弦的和角公式进行计算.

【详解】

故答案为：

12. 函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为___________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据正切函数的单调性求出的取值范围，再写出一个正确答案即可.

【详解】解：因为正切函数的单调递增区间为，，

又函数在区间上为增函数，

所以.

故答案：（答案不唯一）

13. 如果，那么___________.

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意，分式分子分母同除以由已知化弦为切求解．

【详解】由，

得．

故答案为：1．

14. 已知向量满足，，，则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】由平方结合数量积的定义即可求出.

【详解】因为，，，

所以，

所以，因为，所以.

故答案为：.

15. 在正方体中，，为线段上的动点，且与不重合，为线段的中点.给出下列三个结论：

①；

②三棱锥的体积不变；

③平面截正方体所得的截面图形一定是矩形.

其中，所有正确结论的序号为___________.

【答案】①②③

【解析】

【分析】对于①，连接，由线面垂直的性质和判定可证得平面，由此可判断；

对于②，由，点F到平面ABC的距离是正方体的棱长的一半，是定值可判断；

对于③，延长BE交CD于点G，过点G作交于点H，连接，则四边形就是面截正方体所得的截面图形，由此可判断；

【详解】解：对于①，连接，

因为平面，所以，又，所以平面，所以，

同理可证，又，所以平面，故平面，所以，故①正确；

对于②，因为，而为线段的中点，所以点F到平面ABC的距离是正方体的棱长的一半，是个定值，又是定值，所以三棱锥的体积不变，故②正确；

对于③，延长BE交CD于点G，过点G作交于点H，连接，

则四边形就是面截正方体所得的截面图形，

而平面，又平面，所以，

又，，所以，又，所以四边形一定是矩形.

同理可得延长BE交AD于点G时的情形如下图所示，仍得四边形一定是矩形.故③正确；

所以正确的命题为：①②③，

故答案为：①②③.

三､解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.

16. 在△中，，.

（1）如果，求的值；

（2）如果锐角△的面积为，求的长度.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理求解即可；

（2）根据面积公式可得，再根据余弦定理可得

【小问1详解】

由正弦定理，可得.

因为，所以，所以，

所以.

【小问2详解】

由题意知，，

可得.

在锐角中，.

由余弦定理，.

所以.

17. 已知函数.

（1）请用五点法做出一个周期内的图像；

（2）若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据五点法列表描点连线即可求解；

（2）结合图象求解直接写出结果即可

【小问1详解】

列表

【小问2详解】

的取值范围是.

18. 如图，已知三棱柱中，侧面和是矩形，分别为和的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：三棱柱为直三棱柱.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）取中点为，连接，由三角形中位线的性质，平行的传递性，线面平行的判定定理证明即可；

（2）由线面垂直的判定定理证明平面即可得证

【小问1详解】

取中点为，连接.

在中，因为点为的中点，

所以，且.

在三棱柱中，

，且，

又因为点为的中点，

所以.

所以，且.

所以四边形为平行四边形.

所以.

又因为平面平面，

所以平面.

【小问2详解】

因为侧面和是矩形，

所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

所以三棱柱为直三棱柱.

19. 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.

（1）求证：；

（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，点为棱的中点

【解析】

【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直即可.

（2）先假设存在.连接BD，由中位线证得线线平行，故而得到线面平行.

【小问1详解】

因为平面底面，平面底面，

平面，所以平面.

又因为平面，所以.

【小问2详解】

解：存在，点为棱的中点.

连接，交于点，连接，如图所示：

因为底面为平行四边形，所以点为的中点.

在中，因为点分别为的中点.

所以，且.

又因为平面平面，所以平面.

20. 在△中，，，，为△内部（包含边界）的动点，且.

（1）求；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由余弦定理求得，再由平方即可求出；

（2）以A为原点建立直角坐标系，设，则可得，即可求出范围.

【小问1详解】

在中，由余弦定理，，

即，解得或（舍），

所以.

所以.

【小问2详解】

以A为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.

设，则点坐标为.

由（1）知，，，

所以点坐标为，点坐标为.

所以.

所以.

因为，所以.

所以，所以.

所以的取值范围是所以.