2021北京石景山高一（下）期末数学（教师版）

这是一份2021北京石景山高一（下）期末数学（教师版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021北京石景山高一（下）期末
数 学
一、单选题（共10题；共40分）
1.复数的 z=1i-1 模为（ ）
A. 12                                         B. 22                                         C. 2                                         D. 2
2.若α为第四象限角，则（    ）
A. cos2α>0                            B. cos2α<0                            C. sin2α>0                            D. sin2α<0
3.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（    ）
A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
4.以角 θ 的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角 θ 终边过点 P(2,4) ，则 tan(θ-π4)= （    ）
A. -3                                        B. -13                                        C. 13                                        D. 3
5.下列函数中，最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是（  ）
A. y=cos(2x+π2)           B. y=sin(2x+π2)           C. y=sin2x+cos2x           D. y=sinx+cosx
6.已知向量 a,b 的夹角为 60∘，|a|=2，|a-2b|=2 ，则 |b|= （   ）
A. 4                                          B. 2                                          C. 2                                          D. 1
7.欧拉公式为 eix=cosx+isinx ,( i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， eπ3i 表示的复数位于复平面中的（    ）
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
8.要得到函数 y=4sin(4x-π3) 的图像，只需要将函数 y=4sin4x 的图像（    ）
A. 向左平移 π12 个单位                                           B. 向右平移 π12 个单位
C. 向左平移 π3 个单位                                            D. 向右平移 π3 个单位
9.已知函数 f(x)=2sinx+cos2x ，则 f(x) 的最大值是（    ）
A. 5                                          B. 3                                          C. 32                                          D. 1
10.如图所示，边长为1的正方形 ABCD 的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则 OB⋅OC 的最大值是（    ）

A. 2                                         B. 1+2                                         C. 3                                         D. 4
二、填空题（共5题；共20分）
11.函数 f(x)=cos22x 的最小正周期是________．
12.已知向量 a =(–4，3)， b =(6，m)，且 a⊥b ，则m=________.
13.已知 tanα=-2 ， tan(α+β)=17 ，则 tanβ 的值为________．
14.ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 2bcosB=acosC+ccosA ，则 B=  ________．
15.设 f(x)=asin2x+bcos2x ，其中 a,b∈R ， ab≠0 ，若 f(x)≤|f(π6)| 对一切 x∈R 恒成立，则对于以下四个结论：
① f(11π12)=0 ；
② |f(7π10)|<|f(π5)| ；
③ f(x) 既不是奇函数也不是偶函数；
④ f(x) 的单调递增区间是 [kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z) ．
正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
三、解答题（共5题；共40分）
16.已知平面上三点A，B，C． BC=(2-k,3) ， AC=(2,-4) ．
（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
（2）若 △ABC 中角C为钝角，求k的取值范围．

17.已知 α∈(π2,π) ， sinα=55 ．
（1）求 sin(α+π4) 的值；
（2）求 cos(2α-5π6) 的值．

18.如图，在 △ABC 中，D为边BC上一点， AD=6 ， BD=3 ， DC=2 .

（1）若 ∠ADB=π2 ，求 ∠BAC 的大小；
（2）若 ∠ADB=2π3 ，求 △ABC 的面积.

19.已知函数 f(x)=2cos2x+23sinxcosx-1 .
（1）求函数 f(x) 的最小正周期;
（2）求函数 f(x) 在区间 [π2,π] 上的最小值和最大值.

20.在 △ABC 中， cosA=78 ， c=3 ，且 b≠c ，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：
条件①： sinB=2sinA ；
条件②： sinA+sinB=2sinC ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（1）b 的值；
（2）△ABC 的面积．

2021北京石景山高一（下）期末数学
参考答案
一、单选题（共10题；共40分）
1.【答案】 B
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】【解答】 z=1i-1=-1-i2=-12-12i,|z|=|-12-12i|=(-12)2+(-12)2=22,
或 |z|=1|i-1|=1(-1)2+12=12=22
故答案为：B
【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用复数模的公式计算.
2.【答案】 D
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式
【解析】【解答】当 α=-π6 时， cos2α=cos(-π3)>0 ，B不符合题意；
当 α=-π3 时， cos2α=cos(-2π3)<0 ，A不符合题意；
由 α 在第四象限可得： sinα<0,cosα>0 ，则 sin2α=2sinαcosα<0 ，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
3.【答案】 C
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】若扇形的半径为 r ，而圆心角的弧度数 α=4 ，则 πr2⋅α2π=2 ，故 r=1 ，
∴扇形的周长 l=αr+2r=6 .
故答案为：C
【分析】由扇形的面积公式即可求出圆的半径，进而得出扇形的周长。
4.【答案】 C
【考点】两角和与差的正切公式，任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题意知： tanθ=2 ，而 tan(θ-π4)=tanθ-tanπ41+tanθtanπ4=2-11+2×1=13 .
故答案为：C
【分析】 利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用两角和的正切公式，求得 tan(θ-π4) 的值.
5.【答案】 A
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性与对称性，余弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】解：y＝cos（2x +π2 ）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x +π2 ）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cos2x =2 sin（2x +π4 ），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+cosx =2 sin（x +π4 ），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故答案为：A．
【分析】 根据函数的关系式，通过关系式的变换和函数的图象的性质求出结果.
6.【答案】 D
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由 |a-2b|=2 ，得 (a-2b)2=|a|2-4a⋅b+4|b|2=2 ，即 |a|2-4|a||b|cos60∘+4|b|2=2 ，则 2|b|2-|b|-6=0 ，解得 |b|=-32 （舍去）或 |b|=1 ，
故答案为：D.
【分析】 根据向量的数量积和向量的模计算即可.
7.【答案】 A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】根据题意 eix=cosx+isinx ，故 eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i ，表示的复数在第一象限.
故选： A .
【分析】计算 eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i ，得到答案.
8.【答案】 B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 y=4sin(4x-π3)=4sin[4(x-π12)] ，
∴将函数 y=4sin4x 的图像向右平移 π12 个单位，可得 y=4sin[4(x-π12)] .
故答案为：B
【分析】 直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果.
9.【答案】 C
【考点】二次函数的性质，二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 f(x)=2sinx+cos2x=-2sin2x+2sinx+1=-2(sinx-12)2+32 ，而 sinx∈[-1,1] ，
∴ f(x)max=f(12)=32 .
故答案为：C
【分析】 由题意利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求出f (x) 的最大值.
10.【答案】 A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：令 ∠OAD=θ ，由于 AD=1 ，故 OA=cosθ ， OD=sinθ ，
∠BAx=π2-θ ， AB=1 ，故 xB=cosθ+cos(π2-θ)=cosθ+sinθ ， yB=sin(π2-θ)=cosθ ，
故 OB=(cosθ+sinθ,cosθ) ，
同理可求得 C(sinθ,cosθ+sinθ) ，即 OC=(sinθ,cosθ+sinθ) ，
∴OB·OC=(cosθ+sinθ , cosθ)⋅(sinθ , cosθ+sinθ)=1+sin2θ ，
OB⋅OC=1+sin2θ 的最大值是2，
故答案为：A．
【分析】 令∠OAD=θ ， 由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B, C的坐标，由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可.
二、填空题（共5题；共20分）
11.【答案】π2
【考点】二倍角的余弦公式，三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】由已知得： f(x)=1+cos(2⋅2x)2=12cos4x+12 ，其最小正周期为 T=2π4=π2 .
故答案为： π2
【分析】 利用三角函数的降幂公式进行化简，结合三角函数的周期公式进行计算即可.
12.【答案】 8
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】向量 a=(-4,3),b=(6,m)，a⊥b，
则 a⋅b=0，-4×6+3m=0，m=8 .
故答案为：8
【分析】由 a⊥b 得a→⋅b→=0 ， 代入坐标求解出m的值。
13.【答案】 3
【考点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 tanβ=tan(α+β-α)=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα=17+21+17×(-2)=3 ，故答案为3。
【分析】利用已知条件结合角与角之间的关系式，从而利用两角差的正切公式，从而求出 tanβ 的值。
14【答案】π3
【考点】正弦定理
【解析】【解答】 由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.
∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.
又sinB≠0，∴cosB＝ 12 .∴B＝ π3 .
解法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝ 12 .
又0 【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换，求出cosB，即可得到角B.
15.【答案】 ①③
【考点】正弦函数的图象，正弦函数的单调性
【解析】【解答】由题设， f(x)=asin2x+bcos2x=a2+b2sin(2x+φ) 且 tanφ=ba ，
∵ f(x)≤|f(π6)| 对一切 x∈R 恒成立，
∴ sin(π3+φ)=±1 ，即 π3+φ=kπ+π2(k∈Z) ，则 φ=kπ+π6 ,
① f(11π12)=a2+b2sin(11π6+kπ+π6)=a2+b2sin(k+2)π=0 ，正确；
② f(7π10)=a2+b2sin(7π5+kπ+π6)=a2+b2sin[(k+1)π+17π30] ，而 f(π5)=a2+b2sin(2π5+kπ+π6)=a2+b2sin(kπ+17π30) ，所以 |f(7π10)|=|f(π5)| ，错误；
③ f(-x)=a2+b2sin(-2x+kπ+π6) ，故 f(-x)±f(x)≠0 ，即 f(x) 是非奇非偶函数，正确；
④因为 f(x) 在 2k1π-π2≤2x+kπ+π6≤2k1π+π2(k1,k∈Z) 上单调递增，所以 (2k1-k)π2-π3≤x≤(2k1-k)π2+π6 ，令 k'=2k1-k ，则 k'π2-π3≤x≤k'π2+π6 等价于 k'π2+π6≤x≤k'π2+2π3 上 f(x) 单调递增，错误；
故答案为：①③
【分析】由 f(x)≤|f(π6)|可知x=π6是函数f (x) 的对称轴，然后根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可.
三、解答题（共5题；共40分）
16.【答案】 （1）由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，
即向量 BC 与 AC 平行，
∴ -4(2-k)-2×3=0 ，解得 k=72 ；
（2）当角C是钝角时， AC⋅BC<0 ，
∴ 2×(2-k)+3×(-4)<0 ，解得 k>-4 ，
又向量 BC 与 AC 不平行，则 k≠72 ，
综上： k 的取值范围是 (-4,72)∪(72,+∞) ．（1） k=72 ；（2） (-4,72)∪(72,+∞) ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算
【解析】【分析】 (1)由三点A，B, C不能构成三角形，可得三点A, B, C在同-条直线上，即BC与Ac共线，利用向量共线定理，即可得出实数k应满足的条件；
(2) 当角C是钝角时， AC⋅BC<0 ， 解得 k>-4  ， 又向量 BC 与 AC 不平行，则 k≠72  ， 即可得出 k的取值范围 .
17.【答案】 （1）∵ α∈(π2,π) ， sinα=55 ，
∴ cosα=-1-sin2α=-255 ．
∴ sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsinπ4=22(sinα+cosα)=-1010 ；．
（2）∵ sin2α=2sinαcosα=-45 ， cos2α=cos2α-sin2α=35 ，
∴ cos(2α-5π6)=cos2αcos5π6+sin2αsin5π6=35×(-32)+(-45)×12=-33+410 ．（1） -1010 ；（2） -33+410 ．
【考点】两角和与差的余弦公式，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】 (1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosa的值，进而利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解；
(2)由(1)利用二倍角公式可得sin2a，cos2a的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解.
18.【答案】 （1）设∠BAD＝α，∠CAD＝β，
则 tanα=BDAD=12 ， tanβ=CDAD=13 ，
所以 tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1 ，
因为α+β∈（0，π），
所以 α+β=π4 ，
即 ∠BAC=π4 ．
（2）过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，

因为 ∠ADB=2π3 ，
所以 ∠ADC=π3 ，
所以 AH=AD⋅sinπ3=33 ；
所以 S△ABC=12BC⋅AH=1532 ．
【考点】两角和与差的正切公式，三角形中的几何计算
【解析】【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，利用诱导公式求出结果；
（2）利用解直角三角形和三角形的面积公式求出结果.
19.【答案】 （1）f(x)=2cos2x+23sinxcosx-1=cos2x+3sin2x
=2(12cos2x+32sin2x)   =2sin(2x+π6)  
所以周期为 T=2π2=π .
（2）因为 π2≤x≤π ，
所以 7π6≤2x+π6≤13π6 .
所以当 2x+π6=13π6 时，即 x=π 时 f(x)max=1 .
当 2x+π6=3π2 时,即 x=23π 时 f(x)min=-2 .（1） π ；（2） f(x)max=1 ， f(x)min=-2
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求函数f (x) 的最小正周期；
（2）通过角的范围求解相位的范围，利用正弦函数的单调性求解函数的最值即可.
20.【答案】 （1）选条件①： sinB=2sinA ．
在 △ABC 中，因为 bsinB=asinA ，所以 b=asinBsinA=2a ．
因为 cosA=b2+c2-a22bc ，且 c=3 ， cosA=78 ， b=2a ，所以 4a2+9-a212a=78 ．
化简得 2a2-7a+6=0 ，解得 a=2 或 a=32 ．
当 a=32 时， b=2a=3=c ，与题意矛盾．
所以 a=2 ，所以 b=4 ．
选条件②： sinA+sinB=2sinC ．
在 △ABC 中，因为 asinA=bsinB=csinC ，所以由 sinA+sinB=2sinC 得 a+b=2c=6 ．
因为 cosA=b2+c2-a22bc ，且 c=3 ， cosA=78 ， a=6-b ，所以 b2+9-(6-b)26b=78 ．
解得 b=4 ．
（2）选条件①： sinB=2sinA ．
因为 cosA=78 ， A∈(0,π) ，所以 sinA=158 ．
所以 S△ABC=12bcsinA=12×4×3×158=3154 ．
选条件②： sinA+sinB=2sinC ．
由（1）知 b=4 ，所以 a=6-b=2 ．
因为 cosA=78 ， A∈(0,π) ，所以 sinA=158 ．
所以 S△ABC=12bcsinA=12×4×3×158=3154 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】 (1)选择条件①：利用正弦定理化角为边，得b=2a，再由余弦定理求得a的值，从而得解；
选择条件②：利用正弦定理化角为边，得a+b=2c=6,再由余弦定理求得b的值；
(2)先由同角三角函数的平方关系得sinA的值，再由 S△ABC=12bcsinA 得解.