2021北京北大附中石景山学校高一（下）期中数学（教师版）

2021北京北大附中石景山学校高一（下）期中

数    学

（时间：120分钟，满分：100分）

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.

1. 下列各角中，与角终边相同的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. ，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 在中，D是BC的中点，如果，那么（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

5 设，且，则（    ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x，都有，那么的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)++f(11)的值等于

A. 2 B.  C.  D.

二.填空题

11. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______.

12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则______.

13. 设向量､的长度分别为4和3，夹角为，则______.

14. 已知，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数__________．

15. 若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为　   　．

16. 已知函数给出下列三个结论：

①是偶函数；

②有且仅有3个零点；

③的值域是.

其中，正确结论序号是______.

三、解答题

17. 已知角的终边经过点，

(1)求值;

(2)写出角的集合.

18. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，

（1）求与的夹角;

（2）当为何值时，向量与互相垂直?

19. 已知，求的值．

20. 已知函数，.

（1）求函数的最小正周期及的图象的对称轴；

（2）完成表格，并在给定的坐标系中，用五点法作出函数在一个周期内的图象.

21. 已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）求对称中心的坐标；

（3）求函数在的区间上的最大值和最小值.

22. 已知向量，设函数.

（1）求的单调增区间;

（2）若函数，其中，试讨论函数零点个数.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.

1. 下列各角中，与角终边相同的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

写出与终边相同角的集合，取k值得答案.

【详解】与角终边相同的角的集合为，

取，可得.

∴与角终边相同的是.

故选：D

【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.

2. ，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

A．分析方向；B．分析夹角；C．根据数量积计算结果进行判断；D．根据模长运算进行判断.

【详解】A．可能方向不同，故错误；

B．，两向量夹角未知，故错误；

C．，所以，故错误；

D．由C知，故正确，

故选：D.

【点睛】本题考查向量的模长和数量积运算以及向量相等的概念，主要考查学生对向量的综合理解，难度较易.

3. 在中，D是BC的中点，如果，那么（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的三角形法则可知，再将用的形式表示出来，则的值可求.

【详解】如图所示：

因为，

所以，

故选：B.

【点睛】本题考查平面图形中向量的线性运算，涉及向量三角形法则的运用，难度较易.

4. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意利用函数的图象变换规律，得出结论.

【详解】解：只要将函数的图象向左平移个单位长度，

即可得到函数的图象，

故选：D.

【点睛】此题考查函数的图象变换，属于基础题

5. 设，且，则（    ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】因为，且，

则或.

故选：A

【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】解：在区间上，，没有单调性，故排除A.

在区间上，，单调递减，故排除B.

在区间上，单调递增，且其最小正周期为，故C正确；

根据函数以为最小正周期，的周期为，可排除D.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.

7. 已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据必要条件、充分条件的定义即可判断.

【详解】解：由可不一定推出四边形为平行四边形，

但由四边形为平行四边形一定可得，

故“”是“四边形为平行四边形”的必要而不充分条件，

故选：B.

【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题

8. 若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用倍角公式、两角差的正弦进行化简，即可得到答案.

【详解】，

.

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数恒等变换求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

9. 已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x，都有，那么的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意分析可知为的最小值，为的最大值，故最小时为半个周期.

【详解】的周期，

由题意可知为的最小值，为的最大值，

的最小值为.

故选：D.

【点睛】本题考查三角函数的图象及性质，属于简单题，分析清楚题目意思是关键.

10. 函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)++f(11)的值等于

A. 2 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】由图可知，，函数的周期为所以.φ=.所以.所=====

==.所以.故选C.

二.填空题

11. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知结合弧长公式即可直接求解.

【详解】由弧长公式可得.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.

12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】利用三角函数的定义进行求解.

【详解】由题意可得点是角终边上一点（不是原点），则一定在角的终边上，

因为，所以.

故答案为：.

13. 设向量､的长度分别为4和3，夹角为，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

对要求的向量的模平方，得到，然后再对求得的结果开方.

【详解】∵､的长度分别为4和3，夹角为，

∴

∵，

故答案为：

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14. 已知，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量的共线定理表示出与的关系，然后列出关于的方程组求解出的值即可.

【详解】因为与共线，设，

又因为不共线，所以，所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值，难度较易.向量与非零向量共线时，有且仅有一个实数使得.

15. 若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为　   　．

【答案】

【解析】

【分析】先由条件判断sinθ＞0，cosθ＜0，得到sinθ﹣cosθ，把已知条件代入运算，可得答案．

【详解】∵θ是△ABC的一个内角，且，

∴sinθ＞0，cosθ＜0，

∴sinθ﹣cosθ，

故答案为 ．

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，把sinθ﹣cosθ  换成是解题的关键．

16 已知函数给出下列三个结论：

①是偶函数；

②有且仅有3个零点；

③值域是.

其中，正确结论的序号是______.

【答案】②③

【解析】

【分析】

判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.

【详解】函数，

①由于，所以是非奇非偶函数，所以①不正确；

②，可得，，，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；

③函数，的值域是，正确；

正确结论的序号是：②③.

故答案为：②③.

【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.

三、解答题

17. 已知角的终边经过点，

(1)求的值;

(2)写出角的集合.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先求得到原点的距离，根据三角函数的定义求得的值，利用诱导公式化简所求表达式，由此求得表达式的值.（2）根据三角函数值以及终边所在象限，确定角的集合.

【详解】（1）点到原点的距离，故，所以.

（2）由（1）知，在内，满足条件的角为，所以角的集合为.

【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式，考查终边相同的角的知识，属于基础题.

18. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，

（1）求与的夹角;

（2）当为何值时，向量与互相垂直?

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】如图建立直角坐标系，从而可得，

（1）利用向量的夹角公式求解即可，

（2）求出的坐标，由与互相垂直，可得，化简计算可求出的值

【详解】解：如图建立直角坐标系，则，

（1）设与的夹角为，则

，

因为，所以，

（2）因为，所以，

因为与互相垂直，所以，

即，解得，

所以当时，与互相垂直

19. 已知，求的值．

【答案】－3．

【解析】

【详解】试题分析：本题考察的是三角函数齐次式的化简求值，观察后可以发现需先通过诱导公式化简然后分子分母同时除以化成跟相关的式子，代入化简后的式子即可得到答案．

试题解析：原式=

，

又原式

考点：三角函数化简求值

20. 已知函数，.

（1）求函数的最小正周期及的图象的对称轴；

（2）完成表格，并在给定的坐标系中，用五点法作出函数在一个周期内的图象.

【答案】（1）最小正周期为，对称性，；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用函数的周期性和对称性，求得的最小正周期和对称轴.

（2）利用五点法作图，结合题意即可列表，进而作出函数一个周期内的图象.

【详解】解：（1）∵，故它的最小正周期为，

令，，

，

（2）由题意可得表格如下：

图象如下：

【点睛】本题考查求正弦型函数的周期与对称性，考查“五点法”画图，掌握正弦函数的性质是解题关键．

21. 已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）求的对称中心的坐标；

（3）求函数在的区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）最小正周期；（2）对称中心的坐标为，；（3）最大值为，最小值为.

【解析】

【分析】

（1）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可

（2）根据三角函数的对称性进行求解

（3）求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可.

【详解】解：（1），

则的最小正周期，

（2）由，，得，，

即的对称中心的坐标为，.

（3）当时，，

则当时，函数取得最大值，最大值为，

当时，函数取得最小值，最小值为.

【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合运用，其中涉及辅助角公式、周期、三角函数对称中心，主要考查学生的化简计算能力，难度一般.

22. 已知向量，设函数.

（1）求的单调增区间;

（2）若函数，其中，试讨论函数的零点个数.

【答案】（1）；（2）当或时，零点为0个；当时函数有两个零点，当或时，函数有一个零点.

【解析】

【分析】（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可；

（2）求出函数在时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数．

【详解】解：（1）函数，，

．

由，即，

所以函数的单调增区间为．

（2），，所以，

，

函数，，其中，

令，

当或时，零点为0个；

当时函数有两个零点，

当或时，函数有一个零点.