2022北京昌平高一（下）期末数学（教师版）

2022北京昌平高一（下）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．在复平面内，复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设向量，，则　　

A．1 B．5 C．7 D．

3．　　

A． B． C． D．

4．在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面且垂直的可以是　　

A． B． C． D．

5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则　　

A． B． C． D．

6．下列函数中，最小正周期为的奇函数是　　

A． B． 

C． D．

7．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则　　

A． B． C． D．20

8．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，则的值可以为　　

A． B． C． D．

9．在中，，则“”是“是钝角三角形”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．如图，在正方体中，点，分别为线段，上的任意一点．给出下列四个结论：

①存在点，，使得平面；

②存在点，，使得平面；

③存在点，，使得平面；

④存在点，，使得平面．

其中，所有正确结论的序号是　　

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．若复数，则　　．

12．在中，若，则　　．

13．已知向量，满足，，，则，　　．

14．已知函数，，的部分图像如图所示，则　　．

15．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出下列五个论断：

①；②；③；④；⑤．

以其中两个论断作为条件，使得成立．这两个论断可以是 　　（填上你认为正确的一组序号）

16．已知函数，．给出下列三个结论：

①是偶函数；

②的值域是，；

③在区间，上是减函数．

其中，所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求的值及的最小正周期；

（Ⅱ）求在区间，上的最大值和最小值．

18．（14分）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面．

19．（14分）在中，，，．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求边上的高．

20．（14分）如图，在直角梯形中，，，，以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，使得平面平面，点为线段上一点，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若平面与直线相交于点，试确定点的位置，并求线段的长．

21．（14分）已知函数的定义域为，满足如下两个条件：

①对于任意，，都有成立；

②函数的所有正数零点中存在最小值为．

则称函数具有性质．

（Ⅰ）若函数具有性质，求的值；

（Ⅱ）若函数，具有性质（2），求和的值；

（Ⅲ）判断函数和是否具有性质，说明理由．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出对应点的坐标得答案．

【解答】解：，

在复平面中对应的点在第二象限，

故选：．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2．【分析】利用平面向量数量积的坐标运算法则即可求得向量的数量积．

【解答】解：由题意可得：．

故选：．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．

3．【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用求出三角函数的值．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

4．【分析】根据题意，依次分析选项中直线与直线的关系，即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，与直线异面，但不垂直，不符合题意，

对于，与直线异面，但不垂直，不符合题意，

对于，与直线异面且垂直，符合题意，

对于，与相交，不符合题意，

故选：．

【点评】本题考查空间直线的位置关系，涉及异面直线的判断，属于基础题．

5．【分析】直接利用三角函数的定义求出三角函数的值．

【解答】解：已知角的顶点与原点重合，终边在直线上，

故．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题、

6．【分析】利用最小正周期公式以及函数的奇偶性定义对各个选项逐个化简判断即可求解．

【解答】解：选项：函数的最小正周期为，故错误，

选项：令，则，所以函数为偶函数，故错误，

选项：因为，所以最小正周期为，

令，则，所以函数为奇函数，故正确，

选项：由已知可得，令，则，所以函数为偶函数，故错误，

故选：．

【点评】本题考查了函数的周期性以及奇偶性，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

7．【分析】由图象可求得，，及，，从而由模的运算性质即可求解．

【解答】解：由图象可得，，，，

所以，，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查向量模的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

8．【分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用和函数的性质的应用整理得，进一步求出结果．

【解答】解：将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图象，所得到的图像关于轴对称，

故；

整理得，

故当时，．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

9．【分析】根据三角形内角和，三角不等式，充分与必要条件的概念即可判断．

【解答】解：，，

由可得，

又，

，

，为钝角，

是钝角三角形，

反过来，由是钝角三角形不能得到为钝角，

即可能为钝角，此时不能得到，

故“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查充分与必要条件的概念，三角不等式，属中档题．

10．【分析】利用线面平行、垂直的判定方法，结合正方体的性质，同时辅以排除法迅速解决问题．

【解答】解：如图，连接，与交于点，同理，连接，

易知是的中点，是的中点，故，

由正方体的性质可知，平面，故平面，故与重合时，满足平面，

故结论①成立，排除；

由上可知，故，又在平面外，故平面，存在点，，使得平面，故结论④成立，

故结论①④成立，故选．

【点评】本题考查空间平行与垂直的判定和正方体的性质，属于中档题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．

【解答】解：，

故答案为：．

【点评】本题主要考查复数模长的计算，比较基础．

12．【分析】直接利用余弦定理求出三角函数的值，进一步求出的值．

【解答】解：在中，若，

所以；

由于；

所以．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

13．【分析】根据可得出，进行数量积的运算可求出，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出的值．

【解答】解：，

，，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．

14．【分析】容易求出该函数的周期，然后利用公式求出．

【解答】解：显然，

故．

故答案为：2．

【点评】本题考查三角函数的据图求式问题，属于基础题．

15．【分析】由题中给出的论断结合直线与平面垂直的性质即可得答案．

【解答】解：由②，⑤，可得；

由③，④，可得．

即这两个论断可以是②⑤，也可以是③④．

故答案为：②⑤（或③④．

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

16．【分析】研究函数在一个周期，内的性质，即将化为分段函数解决问题．

【解答】解：易知，

对于①，定义域为，关于原点对称，，故是偶函数，故①正确；

对于②，当，时，，此时；

当，时，，所以，综上可知，的值域是，，故②正确；

对于③，时，，因为在上单调递减，故在上单调递减，故③正确．

故答案为：①②③．

【点评】本题考查三角函数的性质，同时考查了分类讨论思想的体现，学生的逻辑推理能力，属于中档题．

三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值和函数的最小正周期；

（Ⅱ）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．

【解答】解：（Ⅰ）函数；

所以；

函数的最小正周期为；

（Ⅱ）由于，

所以；

故，；

当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为2．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

18．【分析】（Ⅰ）由条件可得，即可证明；

（Ⅱ）根据条件证明、，然后得到平面即可．

【解答】证明：（Ⅰ）因为，分别为，的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）因为，为的中点，所以，

因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，

因为平面，所以，因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

【点评】本题主要考查直线与平面平行、平面与平面平行的证明，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理以及已知建立关于，的方程即可求出，的值，再利用正弦定理即可求出的值；（Ⅱ）设边上的高为，然后利用三角形的面积相等化简即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理可得：，

即，又由已知可得，所以解得，，

由正弦定理可得：，即，解得；

所以，；

（Ⅱ）设边上的高为，则由三角形的面积相等可得：

，即，解得．

【点评】本题考查了正余弦定理的应用，涉及到三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

20．【分析】（Ⅰ）先证明，再结合线面平行的判定定理即可证明；

（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理即可证明；

（Ⅲ）延长交直线于点，由得的长度，再证明，最后由勾股定理即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）证明：平行等于，又也平行等于，

平行等于，四边形为平行四边形，

，又平面，平面，

平面；

（Ⅱ）证明：平面平面，

又，且平面平面，

平面，又平面，

；

（Ⅲ）如图，延长交直线于点，

则，平面，

点即为平面与直线的交点，

又，且，

，

，

又，

由易知平面，又，

平面，平面，

，

．

【点评】本题考查线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理，相似三角形，勾股定理，属基础题．

21．【分析】（Ⅰ）根据函数具有性质，则可取，，即可求解．

（Ⅱ）根据，具有性质（2），可知2是最小的正数零点，结合即可求解．

（Ⅲ）根据函数具有性质的必要条件可判断，根据两角和与差的余弦公式即可验证．

【解答】解：（Ⅰ）对于任意，，都有成立，取，，则，

因为函数的所有正数零点中存在最小值为．所以不恒为0，

因此；

（Ⅱ）令，，

由于，具有性质（2），故可知，

又由（1）知，所以，

所以；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知：若函数是具有性质，则满足可知：，故函数不具有性质，

对任意的，，

，且存在最小的正数使得，

故具有性质．

【点评】本题属于新概念题，考查了学生根据概念进行推理的能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．