高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第一课时教案

《等式性质与不等式性质（第一课时）》教学设计

1．会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式，提升学生的数学抽象素养；

2．理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较两个代数式的大小；

3．经历重要不等式a2+b2≥2ab的发现过程，并予以证明，提升学生的逻辑推理素养．

教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用．

教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式．

GEOGEBRA、PPT课件，用纸做四个全等的直角三角形．

一、整体感知

问题1：请同学们阅读本章引言的文章，说说本章要学习的内容是什么？和初中所学的哪些内容有联系？对我们今后学习数学有什么作用？用什么方法来研究本章内容？

师生活动：学生自主阅读后、讨论交流．

预设的答案：1．本章主要研究的内容是方程和不等式，包括不等关系和不等式，基本不等式和一元二次不等式的研究，通过回顾、梳理初中学习的等式内容，提炼出其中蕴含的思想方法，用一次函数的观点看一次方程、不等式中蕴含的思想方法，用于研究不等式和一元二次不等式有关问题．

2．方程和不等式是重要的数学工具，可以解决数学内外的各种问题，为今后学习作工具上的准备，另外，用函数的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法，体现了数学知识之间的联系性和整体性，为今后的学习作思想方法上的准备．

设计意图：一章的起始课，首先要从整体上把握所学内容，让学生明确本章内容的地位、作用、内在联系及研究方法，有助于学生良好认知结构的建立和完善．

引语：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，首先来学习等式性质和不等式性质．（板书：等式性质和不等式性质）

★资源名称： 【情景演示】等式性质与不等式性质引入

★使用说明：本视频中从现实生活中的不等关系出发引出不等式，并提出了类比等式性质探究不等式性质的方法.

注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．

二、新知探究

1．从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式

问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

（1）某路段限速40 km/h；

（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系．

预设的答案：（1）设速度为v km/h，则0＜v≤40；

（2）；

（3）设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞c，a-b＜c；

（4）设C是线段AB外任意一点，CD⊥AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE．

追问1： 你还能举出几个具有相等与不等关系的实际问题的例子吗？这些不等关系如何用式子表示？

师生活动：学生自己举例，并用等式和不等式表示，在这个过程中教师不断启发学生，使得结论更科学和严谨．

追问2：在上述问题的解决中，你经历了怎样的思考过程？

师生活动：学生总结，教师完善：阅读实际问题——引入变量——将实际问题的文字语言转化为符号语言——找到量之间的关系——获得需要的不等式．

设计意图：通过创设问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出不等式，明确数学的价值和作用，提高学生数学抽象素养．并通过这组问题的解决，提炼出所用的方法，为后面解决问题做好铺垫．

2．研究不等式性质的必要性

问题3：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？

师生活动：学生独立思考，分析数量关系后用不等式表达．

根据问题1总结的程序求解．

设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为万元．于是不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为≥20．①．

求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围．

追问：如何解不等式①？解方程的依据是什么？类比解方程的依据，解不等式的依据是什么？

师生活动：学生回忆初中解方程方法，教师引导学生得到解方程的依据为等式的性质．因些解不等式要用不等式的性质，为此我们需要先研究不等式的性质．

设计意图：从实际情境出发，得到不等式，并通过将类比等式的解决，引出不等式性质研究的必要性．

3．两个实数大小关系的基本事实

问题4：若要研究不等式的性质，首先要用到两个实数大小关系的基本事实．如何比较两个式的大小关系呢？

师生活动：让学生回忆初中两个数比较大小的方法，从而得出结论：

；

；

．

追问：这三条就是“两个实数大小关系的基本事实”．据此，要比较两个实数的大小，可以转化为什么运算完成？

预设的答案：转化为减法运算，并将求得的结果与0比较．

设计意图：学生通过回忆实数比较大小的方法，明确基本事实，了解把大小比较转化为数学运算的思路，提高学生的化归能力．

★资源名称： 【知识点解析】两个实数大小关系的基本事实

★使用说明：本微课讲解了两个实数大小关系的基本事实，为实数比较大小提供了基本依据.

注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．

例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)大小．

师生活动：学生独立完成之后展示交流．师生总结求解思路：将问题转化为两个多项式的差与0的大小．教师点拨：0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”．

预设的答案：

因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2＞0，

所以(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)．

设计意图：两个实数大小关系的基本事实的初步应用，让学生体会作差比较法在比较大小中的作用．

4．重要不等式的探究和证明

问题5：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？

师生活动：首先让学生用四个全等的直角三角形拼接出图形，小组交流不同人的拼接图形中的不同，之后教师利用几何画板进行动态演示：改变直角三角形两直角边长，让学生直观感觉图形的变化．然后按照前面的程序，引入符号，比如用a，b表示直角三角形的两条直角边，寻找关系，写出不等式．然后以小组为单位合作探究，展示成果．

预设方案1：学生已经发现重要不等式，让学生展示其发现过程．

预设方案2：学生没有发现重要不等式，可以进一步启发．

追问1：你能用字母表示出图中四个直角三角形和大正方形的面积吗？

预设的答案：用a，b表示直角三角形的两条直角边，则直角三角形的面积为2ab，大正方形的面积为a2+b2．

追问2：在变化过程中四个直角三角形的面积和大正方形面积之间存在着相等和不等关系，你能表示出来吗？

师生活动：学生得到a2+b2＞2ab．教师进一步变化图形，引导学生观察当a=b时，小正方形的面积为0，这时a2+b2=2ab．综合两类情况，得到a2+b2≥2ab，当a=b且仅当时取等号．

追问3：上述过程中，a，b为正数，如果a，b∈R，式子是否成立？为什么？

师生活动：引导学生分析问题，回归到用“两个实数大小关系的基本事实”作差比较，并规范证明过程．

证明：∵a2+b2-2ab=( a-b)2≥0，

∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．

设计意图：对实际问题深入分析，发现不等关系，引入符号，表示不等关系，感受到由“形”到“数”的转换过程．利用软件演示图形的动态变化，感受图形从量变到质变的过程，培养学生直观想象素养．通过追问，让学生经历猜想到证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础．对问题情境的分析中让学生感受数学文化的价值．

三、归纳小结，布置作业

问题6：本节课我们主要学习了哪些知识，为什么要研究这些内容？研究这些内容有什么作用？

师生活动：师生一起总结．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质，解决解不等式问题．两个实数大小关系的基本事实使数学运算参与问题解决之中，可以比较两个实数的大小．

作业布置：教科书习题2.1第2，3，4，9，10题．

四、目标检测设计

1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：

（1）某高速公路规定通过车辆的车货高度h从地面算起不超过4 m；

（2）a与b的和是非负实数；

（3）如图，在一个面积小于350 m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍．

设计意图：考查从实际问题中抽象出不等式的能力．

2．比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小．

设计意图：考查用两个实数大小关系的基本事实比较大小应用能力

3．已知a＞b，证明．

设计意图：考查用两个实数大小关系的基本事实比较大小的应用能力．

参考答案：

1．（1）h≤4　（2）a+b≥0　（3）

2．(x+3)(x+7)＜(x+4)(x+6)

3．∵a＞b，

∴，．

∴．