高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第一课时教案设计

《 基本不等式(第一课时)》教学设计

1．理解基本不等式 (a＞0，b＞0)，会利用不等式性质证明，发展逻辑推理素养；

2．了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；

3．结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养．

教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题．

教学难点：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值．

PPT课件，及GEOGEBRA制作的动画课件．

一、创设情境

★资源名称： 【情景演示】基本不等式引入

★使用说明：本资源以欧拉智改羊圈的小故事为出发点，引出基本不等式的知识.

注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．

问题1：请同学们阅读课本第44页，说一说今天我们将要学习的内容是什么？在不等式中起着怎样的作用？

师生活动：学生自主阅读课本，思考并回答，教师给予简单总结．

预设的答案：基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，与乘法公式在代数运算的地位一样，在解决不等式问题中有重要的作用，它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石。

设计意图：让学生从整体上把握本节内容，了解基本不等式在解决不等式问题有重要的作用．

二、新知探究

1．基本不等式的定义

问题2：阅读课本，思考：什么是基本不等式？它是怎样得到的？

师生活动：学生阅读课本回答，教师总结：基本不等式是将上节课所学的重要不等式a2+b2≥2ab中用，代替a，b并变形得到的，并板书：．

追问：不等式中a，b的范围是什么？它和原不等式中的范围一样吗？

师生活动：学生自主反思后回答，a，b均为非负数，如果a，b中有负数，该不等式不成立．教师指出基本不等式的定义要求a，b均为正数．同时总结：我们称其为基本不等式，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做a，b的几何平均数，基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于几何平均数．

设计意图：通过上一节的重要不等式得到基本不等式，同时明确两个不等式之间的联系，通过分析其特征，得到基本不等式的代数解释，进一步加深对其的理解．

2．基本不等式的证明

问题3：你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？请你试一试。

师生活动：学生根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明 ，教师给与肯定．

追问1：在前面我们学习过充分条件和必要条件，你能否从所证明的式子出发，寻找使不等式成立的充分条件，从而形成证明思路？

师生活动：师生共同分析，要证明，只需证明，从而只需证，只要证，而显然成立．教师指出只要把过程倒过来，就可证明出基本不等式了，并要求学生自己写出证明过程．

追问2：上述证明中，每一步推理的依据是什么？

师生活动：学生对照自己所写的证明分别回答每一步的依据．

追问3：上述证明叫做“分析法”．你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？

师生活动：学生讨论后回答．教师指出分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．

追问4：根据教科书上的证明过程，你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？

师生活动：学生思考后回答．教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”．

设计意图：利用不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，提高学生逻辑推理的数学素养．

3．基本不等式的几何解释

问题4：如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

师生活动：如图1，连接OD，教师引导学生先寻找图中的不等关系，利用动画，观察从弦DE长和圆的直径AB这两个几何元素在变化中的不等关系，及半弦CD≤OD，并将此不等关系用符号表示．学生独立思考，并说出思路：半径OD为，利用射影定理可得弦DE长的一半CD为，由 ，得到．教师评价并总结，基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释．当且仅当弦DE过圆心时，二者相等．

设计意图：让学生观察图形，先将图形中的不等关系找出来，再用代数语言表示，从而获得基本不等式的几何解释，提高学生数学直观的核心素养．

★资源名称： 【数学探究】基本不等式a+b≥2根号（ab）

★使用说明：本资源通过交互式动画展示了基本不等式的几何意义，运用本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．

注：此图片为“动画”截图，如需使用资源，请于资源库调用．

4．基本不等式的简单应用

例1  已知，求的最小值．

追问：求解的依据什么？怎样应用？

师生活动：教师通过追问引导学生分析，明确求解的依据是基本不等式，再引导学生将问题与公式对比，找到和基本不等式的联系，让学生独立思考后，进行书写，教师基于学生书写的不规范进行纠正．

预设的答案：因为，所以，

当且仅当时，即，x=1时，等号成立．因此最小值为2．

变式：（1）已知，求的最小值；

（2）求的最小值．

师生活动：学生独立完成。教师依据学生的解答或困难，对比例1分析其求解中存在的问题，并用软件展示函数y=的让学生观察。

追问1：比较三个问题，你能总结什么条件的代数式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？

师生活动：学生自主反思后，发表自己的意见，相互补充，形成共识．教师将讨论结果进行汇总，并进行总结，明确若代数式能转化为两个正数积为定值，可以利用基本不等式求和的最小值；若代数式能转化为两个正数和为定值，可以利用基本不等式求积的最大值．

在利用基本不等式求最值时，应注意“一正，二定，三相等”的条件．

设计意图：通过典例分析，让学生掌握利用基本不等式解决哪些代数式的最值问题，及在利用不等式时应注意的三个条件，在具体情境中理解基本不等式，为学生求解代数式的最值问题提供示范．同时，为下一道例题应用基本不等式求最值的代数式提供范例．

例2  已知x，y都是正数，求证：

（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2；

（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值．

师生活动：学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善．教师总结用基本不等式解决最值问题有两个基本模型：“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”．

设计意图：本题是例1的总结和提升，看似简单，但是给出了用基本不等式能够解决的两个数学模型，为用基本不等式解决实际问题创造了条件．提升学生数学模型的思想．

三、归纳总结

问题5：本节课我们主要学习了基本不等式，请同学们回顾今天所学内容，思考以下问题：（1）什么是基本不等式？如何推导基本不等式？

（2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上进行解释？

（3）基本不等式可以解决哪两类数学问题？使用的条件是什么？应注意什么？

师生活动：先由学生反思回答，教师纠正并提升．

设计意图：引导学生回顾所学内容，对所学的基本不等式有初步的掌握，为下一节基本不等式的实际应用做好铺垫．

作业布置：习题2.2  第1，2，4，5题．

四、目标检测设计

1．已知a，b∈R，求证．

设计意图：考查证明不等式的思路，并注意不能用基本不等式去求证，进一步掌握基本不等式使用的条件．

2．（1）已知，求的最小值及相应的x值．

（2）已知，求的最大值及相应的x值．

设计意图：考查学生利用基本不等式求最大值和最小值的能力．

3．已知x，y都是正数，且，求证：

（1）；       （2）．

设计意图：考查学生利用基本不等式证明不等式及分析问题解决问题的能力．

4．已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？

设计意图：考查学生利用基本不等式解决实际问题能力．

参考答案：

1．证明：要证明，只需证明，

即，即，即需证

而显然成立，只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立．

2．（1）解：∵，∴，

当且仅当，即时，等号成立．

所以的最小值为，这时．

（2）∵，∴，由

当且仅当，即时取等号．

3．证明（1）∵x，y都是正数，

∴，又由于，所以等号取不到．

∴．

（2）∵x，y都是正数，∴，又由于，所以等号取不到．

∴，两边同乘，得．

4．设直角三角形两边为a，b，则由已知得，即ab=100，

∵，当且仅当a=b=10时取等号．

当两条直角边的长度各为10 cm时，两条直角边的和最小，最小值为20．