高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质教案及反思

《等式性质与不等式性质》教学设计

1、知识与技能

（1）能用不等式(组)表示实际问题的不等关系；

（2）初步学会作差法比较两实数的大小；

（3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.

2、过程与方法

使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系.

3、情感态度与价值观

通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量.

【教学重点】

能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质.

【教学难点】

运用不等式性质解决有关问题.

（一）新课导入

用不等式(组)表示不等关系

中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度()不小于第一宇宙速度(记作),且小于第二宇宙速度(记 ).

（二）新课讲授

问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

（1）某路段限速40km/h；

（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40.

对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞c，a-b＜c.

对于（4），如图2.1-1，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE.

以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图2.1-1接着，就可以用不等式研究相应的问题了

问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

解：提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

x≥20.                       ①

求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.

如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质.

实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.

由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a＜b；当点A在点B的右边时，a＞b.

探究一：比较两个数(式)的大小的方法:

   我们用数学符号“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.

判断两个数(式)的大小的依据是:( 作差法)

a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.

这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.

作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.

（三）例题探究

例1　比较（x+2）（x+3）和（x+1）（x+4）的大小.

分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。

解：因为

（x+2）（x+3）-（x+1）（x+4）

=（x2+5x+6）-（x2+5x+4）

=2＞0，

所以

（x+2）（x+3）＞（x+1）（x+4）.

跟踪训练1　已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.

解：　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1

＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2

＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－)2＋]，

∵(x－)2＋＞0，x－1＜0，

∴(x－1)[(x－)2＋]＜0，

∴x3－1＜2x2－2x.

探究二：将图2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为a，b（a≠b），那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2+b2.由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2+b2＞2ab.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

a2+b2=2ab.

于是就有a2+b2≥2ab.

一般地，R，有          

a2+b2≥2ab，

当且仅当a=b时，等号成立

事实上，利用完全平方差公式，得

a2+b2-2ab=（a-b）2.

因为R，（a-b）2=0，当且仅当a=b时，等号成立，所以a2+b2-2ab =0.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.

通过等式性质可以发现，等式在运算中的不变性. 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？

探究三:不等式的基本性质

(1)a＞b⇔b＜a(对称性)；

(2)a＞b，b＞c⇒a＞c(传递性)；

(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c(可加性)；

(4)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；

(5)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(7)a＞b＞0，n∈N，n≥1⇒an＞bn；

(8)a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒＞.

例2　已知a＞b＞0，c＜0，求证：＞.

证明：因为a＞b＞0，所以ab＞0，＞0.

于是a×＞b×，即＞.

由c＜0，得＞.

有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质.

跟踪训练2　如果a＞b＞0，c＞d＞0，证明：ac＞bd.

证明：

⇒ac＞bd.

（四）课堂检测

1、完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　)

A、5x＋4y＜200　　 B、5x＋4y≥200

C、5x＋4y＝200  D、5x＋4y≤200

解析：据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.

2、若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)

A、＞        B、＜        C、＞          D、＜

解析：　∵c ＜d ＜0，∴ ＜ ＜0，∴－＞－＞0，而a＞b＞0，

∴－＞－＞0，∴＜，故选B.

3、比较大小：x2－x________x－2.

解析：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.

因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1＞0，即x2－x＞x－2.

答案：＞

4、若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b的取值范围是________.

解析：∵－10＜a＜8，∴0≤|a|＜10，

又－10＜b＜8，∴－10＜|a|＋b＜18.

答案：(－10,18)

5、比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小.

解：∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)

＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，

∴(a＋3)(a－5)＜(a＋2)(a－4).

6、某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？

解：设该校有初中班x个，高中班y个，则有

（五）课堂总结

1、比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.

a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.

2、作差法比较的一般步骤

第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；

第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；

最后得结论.

概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.

3、不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备.

略.