数学必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第二课时教案

《诱导公式（第二课时）》教学设计

1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．

2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．

教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．

教学难点：诱导公式的有效识记和应用．

PPT课件．

资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识

【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图

（一）新知探究

引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行．

问题1：通过圆关于原点、x轴、y轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．

预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流．

预设答案：

（1）提出问题：如图1，点P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？

解：如图1，以OP5为终边的角β都是与角－α终边相同的角，即β=2kπ＋(－α)（k∈Z）．因此，只要探求角－α与α的三角函数值之间的关系即可．

设P5（x5，y5），由于P5是点P1关于直线y＝x的对称点，可以证明：x5＝y1，y5＝x1．

根据三角函数的定义，得sin（－α）＝y5，cos（－α）＝x5．

从而得

公式五

（2）提出问题：如图2，点P1关于直线y＝x的对称点P5，再作P5关于y轴的对称点P6，又能得到什么结论？以OP6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？

解：接上一题．如图2，以OP6为终边的角β都是与角＋α终边相同的角，即β=2kπ＋(＋α)（k∈Z）．因此，只要探求角＋α与α的三角函数值之间的关系即可．

设P6（x6，y6），由于P6是点P5关于y轴的对称点，因此有：x6＝－x5，y6＝y5．

根据三角函数的定义，得sin（＋α）＝y6，cos（＋α）＝x6．

从而得

公式六

（3）提出问题：如图3，点P1关于x轴的对称点是P7，再作P7关于直线y＝x的对称点P6，又能得到什么结论？以OP6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？

解：略．

★资源名称：【知识点解析】诱导公式五和六的认识

★使用说明：本资源展现“诱导公式五和六的认识”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．

注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．

追问：除了上面的两次对称关系，角＋α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？

预设的师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到，则由教师提出这个追问，促进学生思考．

预设答案：角α的终边旋转角，就得到角＋α的终边．

如图4，由两个三角形全等易得点P8与P1坐标间关系，进一步可得公式六．

设计意图：通过设置问题1，一方面，使学生更加深入地了解圆具有丰富的对称性，另一方面，让他们通过类比，不断地利用数形结合的思想方法，提高自己提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、几何直观等核心素养．

问题2：回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？

预设的师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善．

预设答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图5所示可以在变成锐角的过程中发生作用．公式一～六都叫做诱导公式(induction formula)．

设计意图：基于前述的求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素养．

例3  证明：（1）sin＝－cos α；（2）cos＝sin α．

例4  化简：．

追问：观察题目中的角，对比诱导公式，根据图4，应该怎样化简转化为公式的形式？

预设的师生活动：学生更具问题的引导，独立思考，并求解．学生展示时紧扣图4进行．

预设答案：

例3  证明：（1）sin＝sin＝－sin＝－cos α；

（2）cos＝cos＝－cos＝sin α．

例4  解：原式＝

＝

＝－

＝－tan ．

设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养．

例5  已知sin（53°－α）＝，且－270°＜α＜－90°，求sin（37°＋α）的值．

追问：观察题目中的角，它们有怎样的关系？和哪个诱导公式接近？能不能通过换元，使得已知角与所求角之间关系更加明了？由此你确定的求解思路是怎样的？

预设的师生活动：让学生通过观察，自己思考并回答．

预设答案：

分析：注意到（53°－α）+（37°＋α）=90°，如果设β＝53°－α，γ= 37°＋α，那么β+γ=90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．

解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．于是

sin γ＝sin（90°－β）＝cos β．

因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°．

由sin β＝＞0，得143°＜β＜180°．

所以cos β＝－＝－＝－．

所以sin（37°＋α）＝sin γ＝－．

设计意图：引导学生学会观察分析，进行理性思考，学会有序求解，提升数学运算素养．

（二）归纳小结

问题3：教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：

（1）你学到了哪些基本知识，它们的作用是什么？能解决什么问题？求解的程序是什么？

（2）我们已经知道诱导公式是三角函数的性质，是圆的对称性的代数化，据此，你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式？此外，仅仅观察6组诱导公式的形式特征，你还能怎样记忆这些公式？

（3）能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？

预设的师生活动：以学生的独立思考，展示交流，互相补充为主．教师予以及时的点拨．

★资源名称：【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图

★使用说明：本资源给出了本节知识结构框图，针对本节内容进行知识点梳理，有助于理解和掌握本节的知识结构．适合教师课堂进行展示．

注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．

预设答案：（1）本单元学习了三角函数的基本性质——诱导公式；这些诱导公式体现了三角函数的对称性，在求三角函数值时，它们还具有转化作用，另外，还可以实现正弦与余弦的相互转化；求解程序略．基本的思想是：负角变正角，大角变小角．（2）只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的，这种变化中点的坐标的关系是怎样的，就可以记住公式，而且还可以进一步推广公式．（3）通过观察发现，如果是一个角加的奇数倍，那么变换后会改变三角函数的名字；如果是一个角加的偶数倍，那么变换后会不改变三角函数的名字．

设计意图：梳理小结，一方面帮助学生进一步明确求解的程序．另一方面，通过帮助学生梳理借助于单位圆记忆公式的过程，进一步认识诱导公式的本质．第三，通过观察形式，分析特点，总结记忆方法，从另一个角度认知诱导公式，进行抽象概括．

（三）布置作业

教科书习题5.3．

（四）目标检测设计

计算或化简：

（1）cosπ；        （2）sin；        （3）tan；

（4）cos；    （5）sin＝－cos α．

预设答案：（1）－；（2）；（3）；（4）sin α；（5）－cos α．

设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况．