人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.3 幂函数教案

《幂函数》教学设计

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y＝x ， y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数的图象与性质。在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习。

【知识与能力目标】

了解幂函数的概念，会画简单幂函数的图象，并能结合幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。

【过程与方法目标】

通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。使学生进一步体会数形结合的思想。

【情感态度价值观目标】

通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

【教学重点】

从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用。

【教学难点】

画常见的幂函数的图象，引导学生概括出幂函数的性质。

回顾初中所学习的一次函数、二次函数和反函数的相关知识。

一、新课引入：

（1）边长为的正方形面积，这里是的函数；

（2）面积为的正方形边长，这里是的函数；

（3）边长为的立方体体积，这里是的函数；

（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；

（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数。

观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）

二、讲授新课：

幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（power function），其中是自变量，是常数。

【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）

结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数

对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数

试一试：判断下列函数那些是幂函数

（1） （2） （3） （4）[来源:Z|xx|k.Com]

我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质）

（二）几个常见幂函数的图象和性质

【探究二】观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内。

【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：的共同性质。

（1）       函数的图象都过点

（2）       函数在上单调递增；

归纳：幂函数图象的基本特征是，当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升，函数在区间上是单调增函数。

请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况探讨时幂函数图象的基本特征。

归纳： 时幂函数图象的基本特征：过点，且在第一象限随的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。

三、例题讲解：

例1         证明幂函数上是增函数

证：任取＜则

                =[来源:学科网ZXXK]

                 =

    因＜0，＞0

    所以，即上是增函数。

例2  比较大小：与；与；与。

例3  已知函数，m为何值时，是：

（1）       正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数。

解：（1）若为正比例函数，

则

（2）若为反比例函数，

则

(3) 若为二次函数，

则

（4）若为幂函数，

则。

四、巩固练习：

练习1  （1）已知函数为偶函数，且，（1）求m的值，并确定的解析式；

（2）若是否存在实数，使在区间[2，3]上为增函数。

练习2  若求证：

（1）

（2）

练习3  某工厂1968年的产值100万元增加到40年后2008年的500万元，如果每年年增长率相同，则每年年产值增长率是多少？

五、课堂小结

本节主要学习了幂函数的含义及其图象与性质，及利用图象研究函数性质的方法。

六、布置作业

1．    必做题：教材P82复习参考题（A组） 第10题。

2．    选做题：教材P83复习参考题（B组） 第5、6题。

略。