高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式教学设计

《诱导公式（习题）》教学设计

1．应用诱导公式解决一些三角函数式的证明、化简、求值等问题，积累解题经验，发展数学运算素养．

2．通过对习题的解决，进一步认识、理解诱导公式，提高运用转化与化归数学思想方法的能力．

教学重点：运用诱导公式进行三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．

教学难点：诱导公式的应用．

PPT课件．

（一）新知探究

引导语：通过前两节课的研究，我们知道了诱导公式是圆对称性的代数解析，那么怎样运用诱导公式解决问题呢？本节课通过一些例子进一步学习诱导公式的应用，并能加深对诱导公式的认识与理解．

例1　已知α是第三象限角，f(α)＝．

（1）若cos＝，求f(α)的值；

（2）若α＝－1920°，求f(α)的值．

预设的师生活动：让学生观察已知条件，根据所给条件先分析出解题思路，并回答，然后再动手解题，可以叫两个同学上黑板书写解题过程．

追问1：根据所给已知条件，首先应该解决什么问题？

预设答案：由于所给f(α)的表达式很繁琐，因此可先化简再代入求值．

追问2：对于式子中的sin(π－α)与cos(2π－α)，可以直接选用诱导公式，那么，对于tan(－α＋)、cos(－α－π)、cos(α－)，该如何选用公式呢？

预设答案：对于tan(－α＋)，因为诱导公式中没有＋α这种形式，可以先将拆开为π＋，然后分别选用诱导公式二和五消去常数，当然也可以采用别的途径消去常数，比如，先用诱导公式三，再用诱导公式一，最后用公式六也可解决；对于cos(－α－π)，可以先用公式一，变为cos(π－α)，再用公式四，即可化简，也可以先用公式三，变为cos(π＋α)，再用公式二，进行化简；对于cos(α－)，可以先用公式一，变为cos(＋α)，再用公式六，即可化简．

解：f(α)＝＝＝－cos α．

（1）∵cos(α－)＝－sin α＝，∴sin α＝－，

∵α为第三象限角，∴cos α＝－，

∴f(α)＝－cos α＝．

（2）∵－1920°＝－5×360°－120°，

∴f(－1920°)＝－cos(－5×360°－120°)＝－cos 120°＝cos 60°＝．

设计意图：通过此题，使学生学会如何选用合适的诱导公式进行化简，提高分析问题、解决问题的能力，同时不断地体会诱导公式在变形过程中的转化作用．

例2　求证：＝．

预设的师生活动：首先学生独立思考，然后可以讨论，并回答证明思路，最后再动手证明，可以叫两个同学上黑板分别书写证明过程．

追问1：根据所给恒等式，应该采用什么样的证明方法？

预设答案：由于恒等式两边都含有k·＋θ（k∈Z）的形式，因此可以考虑从等式两边分别进行化简．

追问2：你能试着分析一下具体的证明过程吗？

预设答案：

．

证明：左边＝

＝

＝

＝＝＝．

右边＝＝＝．

∴左边＝右边，故原式得证．

设计意图：此题是一道诱导公式与同角基本关系式综合应用的题目，要学会根据三角函数式的结构与形式，适时地选用合适的公式进行化简，同时，要学会灵活处理三角恒等式的证明问题，不断地提高自己分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理数学素养．

例3　已知sin(－α)＝a，0＜α＜，求sin(＋α)．

预设的师生活动：可以叫几个学生分别说说自己的想法，教师适当地启发诱导，然后让学生动手求解．

追问：已知角与所求角都不是k·＋α（k∈Z）的形式，怎样利用它们之间的关系求解呢？

预设答案：可以考虑已知角与所求角相加是k·（k∈Z）的形式，再用诱导公式求解．

解：∵0＜α＜，∴－＜－α＜，

∴cos(－α)＞0，

∴cos(－α)＝＝，

sin(＋α)＝sin[π＋(＋α)]

＝－sin(＋α)＝－cos[－(－α)]

＝－cos(－α)＝－．

设计意图：通过此题，让学生逐步地学会当已知条件不能直接用诱导公式时，可以分析所给角之间的关系，通过转化，寻求新的途径，再利用诱导公式求解，这样不断地训练，就可以提高自己的解题能力、数学思维能力．

（二）归纳小结

问题：通过解决以上的几道题，你觉得在应用诱导公式时需要注意哪些问题？你有什么收获？

预设的师生活动：以学生的独立思考，展示交流，互相补充为主．教师予以及时的点拨．

预设答案：（1）适时地运用诱导公式进行转化；（2）学会分析所给角之间的联系；（3）根据已知条件会选择恰当的诱导公式进行变形．

设计意图：梳理小结，一方面帮助学生进一步明确利用诱导公式求解问题的方法．另一方面，不断地提高学生分析问题、解决问题的能力．

（三）布置作业

设tan(α＋)＝m，求证：＝．

（四）目标检测设计

已知sin(－α)＝，求cos2(α－)·sin(＋α)的值．

预设答案：cos2(α－)·sin(＋α)

＝cos2[－(－α)]·sin[π－(－α)]

＝[1－sin2(－α)]·sin(－α)＝×＝．

设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况．