高中人教A版 (2019)1.2 集合间的基本关系教学设计

《1.2 集合间的基本关系》教学设计

1．通过类比实数间的关系，观察、发现、形成集合间关系的概念，理解集合之间的包含与相等的含义，提升学生的数学抽象素养．

2．能识别给定集合的子集，了解空集的含义．

3．对集合之间的关系，能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养．

教学重点：集合间包含与相等的含义，用集合语言表达数学对象或数学内容．

教学难点：对相似概念及符号的理解，例如区别元素与集合、属于与包含等概念及其符号表示．

PPT．

一、概念的引入

问题1：上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么？用什么方法研究？如果有困难可以阅读本节的引言．

师生活动：学生独立思考、讨论交流，教学时要特别关注研究方法的指引．

教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，类比已有的学习经验是一个好方法，比如我们已研究过“实数”，引导学生回顾实数研究了哪些内容，如实数间的关系、实数的运算等，最后确定集合的研究问题：集合间的关系，集合的运算

设计意图：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助于学生掌握研究数学对象的方法，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法．

问题2：阅读教科书第7页“观察”，类比实数之间的相等关系、大小关系，集合与集合之间有哪些关系？

师生活动：学生独立观察，充分思考，交流讨论．

根据学生交流讨论情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问．

追问：（1）你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？（从元素与集合之间的关系．）

（2）上述三个具体例子有什么共同特点？请你概括．（在每组的两个集合中，第一个集合中的任何一个元素都是第二个集合中的元素．）．

（3）上述三组集合中，前两组的两个集合间的关系与第三组的两个集合间的关系有什么不同之处？（不同之处是：前两组集合中，集合B中有的元素属于集合A，有的元素不属于集合A；第三组集合中，集合A中的任何一个元素都属于集合B，反过来，集合B中的任何一个元素也都属于集合A．）

师生活动：教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括形成数学定义，介绍子集、包含关系和相等关系．

一般地：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．记作：A⊆B（B⊇A）读作：A包含于B（或B包含A）．

设计意图：让学生通过观察、比较、归纳、概括出集合间的基本关系．并创设情境，让学生运用类比、联想、抽象、概括的思维方法解决问题，提升学生数学抽象素养．教学时要确保学生独立思考、讨论交流的时间．

二、概念的理解

问题3：阅读教科书第7页观察之后至第8页思考之前的内容，你有什么疑问？如果没有疑问，请你回答下列问题：

（1）你能举几个具有包含关系、相等关系的集合，并用符号语言和Venn图表示吗？

（2）子集和真子集的区别与联系是什么？

（3）什么是空集？请你再举几个空集的例子．

师生活动：让学生独立阅读这段内容，然后分别提出自己感到困惑的问题．

教师根据学生回答的情况，进行补充，帮助学生提升对概念的理解，比如集合“{0}”是否为空集等例子．

设计意图：对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，通过阅读，熟悉自然语言、符号语言和图形语言，并建立它们之间的对应关系；通过阅读，提出自己的困惑，学会质疑，深入理解概念；通过举例子，抽象概念具体化，深入理解概念．

问题4：包含关系｛a｝⊆A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例作出解释．

师生活动：让学生独立思考，然后讨论交流，教师提问．

预设的答案：｛a｝⊆A表示集合与集合间的关系，集合｛a｝是集合A的子集；而a∈A表示元素a与集合A间的关系．如针对集合A＝{0，1，2}，{0}⊆{0，1，2}而0∈{0，1，2}．

本图片为微课《【知识点解析】包含于的含义》及《【知识点解析】属于》的含义的知识讲解，微课中分别讲解了包含于和属于的意义，并进行了辨析，若需使用，请插入相应微课．

设计意图：通过新学习的知识和已学习知识的对比，学生更容易区别集合的子集、元素与集合的关系，以及符号间的区别．

问题5：通过类比实数关系的性质，你能发现集合之间的关系有哪些性质？

师生活动：学生回顾、讨论、交流，教师提问．

预设的答案：（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A

（2）对于集合A⊆B，B⊆C，那么A⊆C．

设计意图：类比实数关系的对称性、传递性等性质，得出两个集合间的关系的性质．在旧知识的基础上学习新知识有生长点，学生容易类比、掌握．

三、概念的巩固应用

例1  写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．

师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范，特别突出有规律地列举．

答案：子集有Φ，{a}，{b}，{a，b}，其中真子集是Φ，{a}，{b}．

设计意图：巩固子集和真子集的概念和性质，体会分类的原则和方法，为保证不重不漏，要按照一定顺序写出子集，比如可以根据子集中元素的个数分类．

例2  判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：

（1）A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；

（2）A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．

师生活动：学生判断，教师给出解答示范．

答案：（1）A＝{1，2，3}，

B＝{x|x是8的约数}＝{1，2，4，8}，

其中3 ∉ B，

所以集合A不是集合B的子集．

（2）A＝B．

设计意图：检验学生对子集概念的掌握情况，进一步明确判断两个集合之间关系的基本方法——定义法．

例3  （1）已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

（2）已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⫋A，则实数m的取值范围为________．

师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．

答案：（1）(－∞，3] ；（2）(－∞，3)．

设计意图：巩固两个集合的基本关系．两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．特别要注意易错点：丢掉空集．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．

练习：教科书第8－9页练习1，2，3题．

四、归纳总结、布置作业

问题6：本节课你有哪些收获？可以从以下几方面思考：

（1）两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？

（2）你是如何研究集合间基本关系的？

（3）包含关系与属于关系有什么区别？

设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．

布置作业：教科书习题1.2第1，2，3题．

五、目标检测设计

1．用适当的符号填空：

（1）0______{x|x2＝x}；  （2）－1______{x|x2＝x}；   （3）Φ______ {x|x2＝x}；

（4）{0}______{x|x2＝x}；（5）{0，1}______ {x|x2＝x}；（6）Φ______ {x|x2＜－1}．

设计意图：考查学生对符号语言的掌握程度．

2．已知满足条件{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出满足条件的集合M．

设计意图：考查学生对子集的概念、性质与符号的理解．

3．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C⊆A，则a的取值范围是________．

设计意图：考查学生对符号语言的掌握程度．

参考答案：1．（1）∈；  （2）∉；  （3）⊂；（4）⊂；（5）＝；（6）＝．

2．M＝{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}、{1，2，3，4}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，2，3，4，5}．

3．(－∞，－1]．