高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件教学设计

《充要条件》教学设计

1．正确理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件， 必要而不充分条件， 既不充分也不必要条件的定义．

2．正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.

3．通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假，．

4．在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

5．激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

重点：1．正确区分充要条件；2．正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

教具准备：与教材内容相关的资料.

教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

学生探究过程：

1.思考、分析

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.

请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件；

又qp，故p是q的必要条件．

此时，我们说， p是q的充分必要条件

2.类比归纳

一般地，如果既有pq ，又有qp 就记作     p  q.

此时，我们说，那么p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.

概括地说，如果p  q，那么p 与 q互为充要条件.

3.例题分析

例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1) p:b＝0，q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2) p:x ＞ 0，y ＞ 0，q: xy＞ 0；

(3) p: a ＞ b ，q: a + c ＞ b + c；

(4) p:x ＞ 5， ，q: x ＞ 10

(5) p: a ＞ b ，q: a2 ＞ b2

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：命题(1)和(3)中，pq ，且qp，即p  q，故p 是q的充要条件；

命题(2)中，pq，但qp，故p 不是q的充要条件；

命题(4)中，pq ，但qp，故p 不是q的充要条件；

命题(5)中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件；

4．类比定义

一般地，

若pq ，但qp，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但qp，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

　　①若pq ，但qp，则p是q的充分但不必要条件；

　　②若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；

　　③若pq，且q，则p是q的充要条件；

　　④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

5．巩固练习：教材对应练习

说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．

6．例题分析

例2 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可．

证明过程略．

例3 设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问(1)s是r的什么条件？(2)p是q的什么条件？

充要条件的判定方法：

如果“若p，则q”与“ 若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．